初二年级几何证明例题精讲

1、基础义务教育资料欢迎使用本资料，祝您身体健康万事如意，阖家欢乐愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量。5初二年级几何证明例题精讲【例1】.已知：如图6,A BCE、 ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE二AD , CDE是等边三角形求证： ABC是等边三角形.证明：I / BCE=90 / ACD=90在厶 ECB ACD中/ BCE/ BCA/ ACEbE=ad/ ACD/ ACE/ ECD/ BCE/ ACD/ ACB/ ECDEC=CD图6 ECBA DCA( HL )/ ECD=60 CD=EC即 ACB=60祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 BC=ACv

2、/ ACB=60欢迎使用本资料，祝您身体健康万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为 ABC是等边三角形欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量/ A= / BED AD= DE vAD=DC DE=DC得 / DEC=/Cv/ BED+ / DEC=180/ A+ / C=180D【例2】、如图，已知BC AB , AD=DC。BD平分/ ABC。求证：/ A+ / C=180 .证明：在BC上截取BE=BA,连接DE, v BD 平分/ BAC/ ABD = / EBD在厶ABD和厶EBD中AB=EB/ ABD

3、= / EBDI BD=BD ABD 也 EBD (SAS)1、线段的数量关系：通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。倍长中线【例 3】如图，已知在厶ABC中，.C=90，. B=30，AD平分 BAC，交BC于点D.求证：BD =2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AE vZ C=90 AC 丄 CDvCD=CE AD=AEvZ B=30Z C=90Z BAC=60 v AD 平分 Z BAC Z BAD=30 DB=DA Z ADE=60 vZ ADE=60 AD=AE ADE为等边三角形AD=DEvDB=DA BD=DE BD=2DC【例4.】 如图，

4、D是 ABC的边BC上的点，且CD = AB , ADB =/BAD , AE是. ABD 的中线。求证：AC =2AE。证明：延长AE到点F使得EF=AE联结DFF在厶ABE和厶FDE中BE =DE Z AEB= Z FED.AE=FE ABE 也 FDE ( SAS) AB=FD ZABE= ZFDEvAB=DC FD = DCvZ ADC= Z ABD+ Z BADv WADB ZBAD Z ADC= Z ABD+ Z BDA vZ ABE= Z FDE Z ADC= Z ADB+ Z FDE 即 Z ADC = Z ADF 在厶ADF和厶ADC中 AD=ADZ ADF = Z ADCD

5、F =DC ADF 也 ADC(SAS) AF=AC AC=2AE【变式练习】、如图， ABC中, BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分Z BAE.证明：延长AE到点F使得EF=AE联结DF在厶ACE和厶FDE中CE =DE耳 Z AEC= Z FED.AE=FE ACE 也 FDE ( SAS) AC=FD Z ACE= Z FDEvDB=AC DB = DFvZ ADB= Z ACD+ Z CADv AC=DC Z CAD= Z CDA Z ADB= Z ACD+ Z CDA vZ ACE= Z FDE Z ADB= Z ADC+ Z FDE 即 Z ADB = Z ADF 在厶

6、ADF和厶ADB中 AD=ADZ ADF = Z ADBD F =DB ADF 也 ADB(SAS) Z FAD=Z BAD AD 平分Z DAE【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果AD至点G,使得DG=AD ,联结BD BG= BF/ BFG= / BGFvZ CAD = / BGD/ BFG= Z CADvZ BFG=Z AFEZ AFE= Z FAE AE =AF【变式练习】：如图所示，AD是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且 AC=BF。求

7、证：AE=EF。证明：延长在厶ADC和厶GDB中AD=GD/ ADC= / GDBBD=DC ADCGDB (SAS)得 AC= BG / CAD = / BGD AC=BF、借助角平分线造全等【例5】如图，已知在 ABC中, Z B=60, ABC的角平分线AD,CE相交于点0,AO = AO在厶 AOE?3 AOFAE=AFZ EAOZ FAOv AD 平分 Z BAC 在厶CO丙 COF中 Z BAC= 2Z OACZ DCO Z FCOv CE 平分Z ACB求证：0E=0D证明：在AC上截取AF=AE ,联结0F中在厶 ABC中, Z B+Z BADZ ACB=180vZ B =60

8、 Z BADZ ACB=120 AOEA AOF( ASA Z AOEZ AOE OE=OFvZ AOE=60CO=CO:丄 ACB= 2/ ACO/ AOE+Z AOE#FOC=180/ DOC/ FOC 2 / OAC+2/ ACO=120 CODA COF( ASA/ OAC+/ ACO=60 OD =OF / AOE= / OAC+/ ACO OE=OF / OE=OD/ FOC=6O/ AOE=/ COD / COD=60AOE=60【例6】.如图， ABC中，/ BAC=90度，AB=AC , BD是/ ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F

9、.求证：工FBD=2CE.证明：延长BA, CE交于点F,在 BEF和 BEC中,/ 1 = / 2, BE=BE , / BEF=/ BEC=90 , BEF A BEC, EF=EC，从而 CF=2CE 又/ 1 + / F=/ 3+/ F=90o ,故/ 仁/3。在 A ABD和 A ACF中,v/ 仁/3 , AB=AC , / BAD= / CAF=9(0 ,AD A ABDA ACF, BD=CF , BD=2CE。【小结】解题后的思考： _x0001_于角平行线的问题,常用两种辅助线; 见中点即联想到中位线。旋转【例7】正方形ABC呼,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+D

10、F=EF求/ EAF的度数.延长EB到点G使得BG =BE 先证明 ADF也 ABE可得至y AF =AG / DAF = / GAB EF =BE +DF EF = BE+BG =GE GAE 也 FAE/ GAEM FAE/ DAFM BAF=90 / GAB =/ FAD / GAF = 90/ EAF = 45 【例8】.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，贝匚CBD的大小为 90;IILA例 9】.女口图，已知/ ABC= / DBE=90 , DB=BE , AB=BC . (1)求证：AD=CE ,AD丄CE 若 DBE绕点B旋转到 ABC外部，其他条件不变，则(

11、1)中结论是否仍成立？请证明提示：/ ABC/ DBE =90 / ABC-/ DBCM DBE - / DBC即/ ABD/ CBE/ ECBM AHB=90/ ECBM CHF=90/ HFC=90 ABD 也 CBE13AD丄AD=CE/ BAD/ ECB/ BAD/ AHB=90【例10】如图在Rt ABC中,AB=AC, / BAC=90 ,O为BC中点.写出O点 到厶ABC三个顶点A、B、C的距离关系(不要求证明)(2)如果M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动过程中保持 AN=BM,请判 断厶O M N的形状，并证卡 明你的结论.Af 1联结OA则厶0人(和厶OABtlE为等腰

12、直角三角形 OA=OB=OC ANO BMO(/ NOAM OBM可得 ON=OM/ NOA=/ MOB可得至U/ NOM= / AOB=9O 【例11】如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB 上，且DEF也是等边三角形.(1)除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相 等线段，并证明你的猜想是正确的;(2)你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程.AE=BF =CD AF=BD =CEABC等边三角形DEF也是等边三角形得到/ EFD=60 / ABC=60v/ AFD/ FBD+/ FDB/ AFD/ AFE+M EFD/ AFE=/ BDF AE

13、F 也 BFD同理： AEF CDE、截长补短【例12】、如图，MBC中，AB=2AC AD平分/BAC，且AD=BD求证：CDLACC【例 13】如图，AC/ BD, EA,EB分别平分/ CAB,/ DBACD过点 E，求证;AB = AC+BDAEB130介【例14】如图，已知在L ABC内，.BAC=60 , . C = 40, P, Q分别在BC, CABQ+AQ=AB+BP上，并且AP, BQ分别是.BAC , . ABC的角平分线。求证: 证明：如图（1）,过O作OD/ BC交AB于D,/ ADON ABC=180 60 40 =80,又/ AQOMC+/ QBC=80 ,/ A

14、DON AQO又/ DAON QAO OA=AO ADOA AQO-OD=O, AD=AQ又 OD/ BP,N PBON DOB又/ PBON DBO N DBON DOBBD=OD又/ BPAN C+N PAC=70 ,N BOPN OBAN BAO=70 , N BOPN BPO BP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ【例15】.如图，在厶ABC中，N ABC=60 , AD、CE分别平分N BAC、N ACB , 求证：AC=AE+CD .方法同【例5】【例 16】已知：/ 仁/ 2, CD=DE , EF/AB，求证：EF=AC延长FD至点G,联结CG先证

15、明 FDE也GDC得 / EFD = / CGD FE = CG ,EF/AB/ EFD =Z 1/CGD=Z1vZ 仁/2,/ 2=Z CGD AC= CGv FE = CG EF=ACI【例17】如图，厶ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上，且BM = CN ,AM与BN交于Q点。求.AQN的度数。先证明 ABM 也 BCN (SAS) 可得Z CBN = Z BAMZ AQN= Z ABQ+ Z BAQvZ BAM= Z CBN Z AQN= Z ABQ+ Z CBN即 Z AQN= Z ABC = 60A(4)过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全

16、等变换中的“平移”或“翻转折叠”【例18】：如图， ABC中, AB=AC E是AB上一点，F是AC延长线上一点,连 EF 交 BC于 D,若 EB=CF 求证：DE=DF证明：过E作EG/AC交BC于 G, 则 Z EGBZ ACB又 AB=AC：Z B=Z ACBZ B=Z EGB ：Z EGDZ DCF EB=EG=CFvZ EDBZ CDFDGE A DCF DE=DF【例19】已知：如图，在四边形 ABCD中，AD / BC, BC = DC , CF平分/ BCD ,DF/ AB , BF 的延长线交 DC 于点 E.求证：(BFC DFC; (2) AD =DE.联结BD证明：C

17、F平分/ BCD/ BCF=Z DCF在厶BCF和厶DCF中 BC=CD彳 / BCF=Z DCF.CF=CF BCF 也 DCF (SAS) BF=DF(2) t AD / BC/ ADB = / CBDt BC = DC(ASA)/ CBD= / CDBA/ ADB= / CDBt DF / ABf/ ABD= / BDFI /BF=DF上/ FDB= / FBDB/ ABD= / FBD在厶ABD和厶EBD中/ ABD= / EBDBD=BD/ ADB= / EDB ABD 也 EBD AD = DE【课堂练习】1.如图，已知 AE 平分/ BAC, BE 上 AE 于 E, ED /

18、AC ,Z BAE=36。，那 么/ BED= 126/?延长AE交AC于F2 .如图：BE 丄 AC , CF 丄 AB , BM=AC , CN=AB。求证：(1) AM=AN ; (2) AM I AN。综合题：已知在 ABC中，.ABC =45，高AD所在的直线与高BE所在的直线交于点F , 过点F作FG / BC ,交直线AB于点G ,联结CF . (1)当厶ABC是锐角三角形 时(如图a所示)，求证：AD =FG +CD ;(2)当.BAC是钝角时(如图b所示),写出线段AD、CD、FG三者之间的 数量关系，不必写出证明过程，直接写结论； 当BE二FE,BD=4时，求FG的 长.10第27 (b)题可知 FDC和厶AFG都为等腰直角三角形 FD=DC AF =FG AFG都为等腰直角三角形 AD=AF+FD BDF AD=FG+DC+AD【总结】常见辅助线的作法有以下几种：图(b)中 ABD 和 ADC 也 DC = FDFD=AFCD=FD1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题， 思维模式是全等变换中的“对折” 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全