高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程 北师大版选修2-1_第1页
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文档简介

1、第三章3双曲线,3.1双曲线及其标准方程,1.掌握双曲线的定义. 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程. 3.理解双曲线标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题,学习目标,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,栏目索引,知识梳理 自主学习,知识点一双曲线的定义 把平面内到两个定点F1,F2的距离的 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作 .这两个定点叫做双曲线的 ,两个焦点间的距离叫做双曲线的,答案,焦距,差的绝对值,双曲线,焦点,知识点二双曲线的标准方程,答案,a2b2,0,c,0,c,思考(1)双曲线定义中,将“小于|F1F2|”改为“等

2、于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么? 答案当距离之差等于|F1F2|时,动点的轨迹就是两条射线,端点分别是F1、F2,当距离之差大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量? 答案a,b的值及焦点所在的位置,答案,返回,知识点三双曲线与椭圆的比较 双曲线、椭圆的标准方程及它们之间的区别与联系,答案,MF1|MF2|2a(2a|F1F2,MF1|MF2|2a(02a|F1F2,a2b2c2,a2b2c2,题型探究 重点突破,题型一求双曲线的标准方程 例1根据下列条件,求双曲线的标准方程,解析答案,解析答案,P、Q两点在双

3、曲线上,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂,注意到双曲线过两定点,可设其方程为mx2ny21(mn0),通过解方程组即可确定m、n,避免了讨论,从而简化求解过程,跟踪训练1求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8; 解由双曲线的定义知,2a8,所以a4, 又知焦点在x轴上,且c5, 所以b2c2a225169,

4、解析答案,解因为焦点在x轴上,解析答案,解得a28,b24,解析答案,题型二双曲线定义的应用,1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离,由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6,又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于x,则|16x|6,解得x10或x22. 故点M到另一个焦点的距离为10或22,解析答案,反思与感悟,2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|32,试求F1PF2的面积,解将|PF2|PF1|2a6两边平方得 |PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36, |PF1|2|PF2|2362|PF

5、1|PF2|36232100. 在F1PF2中,由余弦定理得,且F1PF2(0,180), F1PF290,反思与感悟,F1PF2,反思与感悟,1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据|PF1|PF2|2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于ca). (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用;其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用,解析答案,由双曲线的定义

6、和余弦定理得|PF1|PF2|6, |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60, 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|, 所以|PF1|PF2|64,题型三与双曲线有关的轨迹问题,解析答案,反思与感悟,2sin Asin C2sin B,2|BC|AB|2|AC,反思与感悟,由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点,反思与感悟,1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:列出等量关系,化简得到方程;寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程. (2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:双曲线的焦点所在的坐标轴;检验所求的

7、轨迹对应的是双曲线的一支还是两支,跟踪训练3 如图所示,已知定圆F1:(x5)2y21,定圆F2:(x5)2y242,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程,解析答案,返回,解圆F1:(x5)2y21,圆心F1(5,0),半径r11; 圆F2:(x5)2y242,圆心F2(5,0),半径r24. 设动圆M的半径为R, 则有|MF1|R1,|MF2|R4, |MF2|MF1|310|F1F2,返回,1.已知F1(3,3),F2(3,3),动点P满足|PF1|PF2|4,则P点的轨迹是() A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 解析因为|PF1|PF2|4,且4|F

8、1F2|, 由双曲线定义知,P点的轨迹是双曲线的一支,当堂检测,1,2,3,4,5,B,解析答案,解析答案,A.5 B.3 C.5 D.9 解析由题意知,34n2n216, 2n218,n29.n3,B,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,D,解析由标准方程得a210,b22,解析答案,4.已知双曲线中a5,c7,则该双曲线的标准方程为 _,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,5.P是双曲线x2y216的左支上一点,F1,F2分别是左、右焦点,则|PF1|PF2|_,所以a216,2a8, 因为P点在双曲线左支上, 所以|PF1|PF2|8,8,课堂小结,1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a (2ab不一定成立.要注意与椭圆中a,b,c的区

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