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文档简介
1、4曲线与方程 41曲线与方程,学课前预习学案,某森林公园修建连接东、西两座高山的索道,两端挂起的缆线自然下垂近似成拋物线形缆线两端各离地面100 m,两端间的水平距离为400 m现某人乘坐的空中客运缆车行走100 m处的高度为70 m,那么,缆线的中点(即拋物线顶点)最低处距地面的高度是多少呢,方程的曲线与曲线的方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个_的实数解建立了如下的关系: (1)_都是这个方程的解; (2)_的点都在曲线上 那么这条曲线叫作方程的曲线,这个方程叫作曲线的方程,二元方程,曲线上点的坐标,以这个方程的解为坐标,强化拓展 (1)定
2、义中两个条件是轨迹的性质的体现条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”,它的含义是曲线上没有坐标不适合方程的点,也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而毫无例外,这通常称之为轨迹的纯粹性;而条件“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,它的含义是符合条件的点都在曲线上而毫无遗漏,这通常称之为轨迹的完备性二者缺一不可,2)如果曲线C的方程是f(x,y)0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)0. (3)求曲线的方程的一般步骤 建系:建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; 分析:写出适合条件P的点M的集合PM|P(M); 翻译:用坐标表示条件P(M)
3、,列出方程f(x,y)0; 化简:化方程f(x,y)0为最简形式; 证明:说明以化简后的解为坐标的点都在曲线上,解析:考察每一组曲线方程中x和y的取值范围,不难发现A、B、C中各对曲线的x与y的取值范围不一致,故选D. 答案:D,2方程x2xyx0表示的曲线是() A一个点B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线 解析:方程化为x(xy1)0,x0或xy10,故方程表示两条直线 答案:C,3到两个坐标轴距离相等的点所满足的方程是_ 解析:设点的坐标为(x,y),则|y|x|. 答案:|y|x,讲课堂互动讲义,BABC三个顶点的坐标A(0,3),B(2,0),C(2,0);BC边上的中线方程为
4、x0 C到x轴距离等于5的点的轨迹方程是y5 D曲线2x23y22xm0过原点的充要条件是m0,思路导引可从两个方面来判断,一方面以方程的解为坐标的点是否都在曲线上,另一方面曲线上点的坐标是否都是方程的解,边听边记在A的方程中要求y2,因此漏掉(0,2);在B中BC边上的中线是线段x0(0y3)而不是直线x0;在C中满足条件轨迹为y5或y5;对于D,当曲线过原点时,一定有m0,若m0,则方程一定过原点,故选D. 答案:D,名师妙点解决这类问题,应该紧扣定义,如果曲线上点的坐标都是方程的解,即“点不比解多”,称为纯粹性;如果以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即“解不比点多”称为完备性,只有点和
5、解一一对应,才能说曲线的方程,方程的曲线,答案:(1)D,思路导引本题可用直接法,也可用定义法、坐标转移法、参数法求解,名师妙点求曲线轨迹方程的常用方法: (1)直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系,即可用求曲线方程的五个步骤直接求解 (2)定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依定义写出轨迹方程 (3)代入法:如果动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1),而Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先列出关于x,y,x1,y1的方程组,利用x,y表示x1,y1,把x1,y1代入已知曲线方程即得所求,4)参数法:如果动点P(x,y)的坐标之间的关系不易找到,可考虑将x,y用一个或几个参数来表示,消去参数即得其轨迹方程 (5)交轨法:写出动点所满足的两个轨迹方程后,组成方程组消参即可得解,此法常适用于求两动直线交点的轨迹方程,2过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程,解析:方法一:设点M的坐标为(x,y), 因为M为线段AB的中点, 所以A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y) 当x1时,因为l1l2,且l1,l2过点P(2,4), 所以kPAkPB1,过原点作直线l与曲线yx24
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