高中数学 第三章 推理与证明 3.1 综合法 北师大版选修1-2

1、第三章,推理与证明,学习目标,1.了解直接证明的一种基本方法综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题,3综合法与分析法 3.1综合法,1,知识梳理 自主学习,2,题型探究 重点突破,3,当堂检测 自查自纠,知识点一综合法的定义,从命题的 出发,利用 、 、 及 ,通过 ,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,这种思维方法称为综合法,条件,定义,公理,定理,运算法则,演绎推理,思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 答综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的,用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等,Q表示所要证明

2、的结论,则综合法的思维过程可用框图表示为,知识点二综合法证明的思维过程,题型一综合法证明数列问题,n2)Snn(Sn1Sn,2)Sn14an,又a23S13,故S2a1a244a1. 因此对于任意正整数n1,都有Sn14an,跟踪训练1在ABC中,三个内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证：ABC为等边三角形. 证明由A,B,C成等差数列,有2BAC, 因为A,B,C为ABC的内角,所以 ABC,由a,b,c成等比数列,有b2ac. 由余弦定理及,可得 b2a2c22accos Ba2c2ac. 再由,得a2c2acac,即(ac)20, 因

3、此ac.从而有AC.,所以ABC为等边三角形,题型二综合法证明不等式问题,4)a2b2c2abbcca(a、b、cR). 由基本不等式a2b22ab,易得a2b2c2abbcca,而此结论是一个很重要的不等式,许多不等式的证明都可以用到该结论. (5)abc,a2b2c2,abbcca这三个式子之间的关系,由(abc)2a2b2c22(abbcca)给出,三式中知道两式,第三式可以由该等式用另两式表示出来,题型三用综合法证明数学中的其他问题,证明设F1(c,0)、F2(c,0)(a2b2c2), 则|OF2|c,设A(x0,y0),AF2F1F2,反思与感悟综合法不但是数学证明中的重要方法之一

4、,也是其他解答题步骤书写的重要依据,其特点是“执因索果”.综合法在数学证明中的应用非常广泛,用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题,也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等,跟踪训练3 如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点,若PDA45.求证：MN平面PCD,证明如图：PA平面ABCDPAAD,PACD. PDA45PAADBC, 又M是AB的中点,连接CM,可得 RtPAMRtCBM,设E为CD的中点,连接ME、EN, PDNE,ADME,MECD,1,2,3,D,1,2,3,1,2,3,解析对于A：若c0,则A不成立,故A错； 对于B：若c0,

5、则B不成立,B错,答案C,1,2,3,log1952log1933log192 log195log1932log1923log19(53223) log19360. 因为log19360log193612,课堂小结,1.综合法的特点 综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理,实际上是寻找使结论成立的必要条件. 2.综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件,选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题方法,第二步：转化条件,组织过程.把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织