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文档简介
1、三角形常见辅助线的做法,利用三角形的角平分线构造全等三角形,一、倍长中线法,遇到中线可以利用倍长中线,构造X全等,即把中线延长一倍,来构造全等三角形,如图,若AD为ABC的中线,结论,A,B,C,D,E,1,2,延长AD到E,使DE=AD,连结BE(也可连结CE,ABDECD,1=E,B=2,EC=AB,CEAB,可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形,二、角平分线对称全等,如图,在ABC中,AD平分BAC,方法一,A,B,C,D,E,必有结论,在AB上截取AE=AC,连结DE,ADEADC,ED=CD,3,2,1,AED=C,ADE=ADC,方法二,A,B,C,D,F,
2、延长AC到F,使AF=AB,连结DF,必有结论,ABDAFD,BD=FD,3,2,1,如图,在ABC中,AD平分BAC,可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形,B=F,ADB=ADF,A,B,C,D,M,N,方法三,作DMAB于M,DNAC于N,必有结论,AMDAND,DM=DN,3,2,1,如图,在ABC中,AD平分BAC,可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形,AM=AN,ADM=AND,还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN,证明,例1,已知:如图,在四边形ABCD中,BD是ABC的角平分线,AD=CD,求证:A+C=180
3、,D,A,B,C,E,在BC上截取BE,使BE=AB,连结DE,BD是ABC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) 在ABD和EBD中 AB=EB(已知) 1=2(已证) BD=BD(公共边) ABDEBD(S.A.S,1,2,4,3,3+ 4180 (平角定义), A3(已证) A+ C180 (等量代换,3,2,1,A3(全等三角形的对应角相等,AD=CD(已知),AD=DE(已证) DE=DC(等量代换,4=C(等边对等角,AD=DE(全等三角形的对应边相等,证明,例1,已知:如图,在四边形ABCD中,BD是ABC的角平分线,AD=CD,求证:A+C=180,D,A,B,C,F,延长
4、BA到F,使BF=BC,连结DF,BD是ABC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) 在BFD和BCD中 BF=BC(已知) 1=2(已证) BD=BD(公共边) BFDBCD(S.A.S,1,2,4,3,FC(已证)4=C(等量代换,3,2,1,FC(全等三角形的对应角相等,AD=CD(已知),DF=DC(已证) DF=AD(等量代换,4=F(等边对等角,3+ 4180 (平角定义) A+ C180 (等量代换,DF=DC(全等三角形的对应边相等,证明,例1,已知:如图,在四边形ABCD中,BD是ABC的角平分线,AD=CD,求证:A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M,DN
5、BA交BA的延长线于N,BD是ABC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) DNBA,DMBC(已知) N=DMB=90(垂直的定义) 在NBD和MBD中 N=DMB (已证) 1=2(已证) BD=BD(公共边) NBDMBD(A.A.S,1,2,4=C(全等三角形的对应角相等,N,4,3,3,2,1,ND=MD(全等三角形的对应边相等,DNBA,DMBC(已知) NAD和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD (已证) AD=CD(已知)RtNADRtMCD(H.L,3+ 4180(平角定义), A3(已证) A+ C180(等量代换,证明,例1,已知:如图,在四边形AB
6、CD中,BD是ABC的角平分线,AD=CD,求证:A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M,DNBA交BA的延长线于N,1,2,N,4,3,3,2,1,BD是ABC的角平分线(已知) DNBA,DMBC(已知) ND=MD(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等,4=C (全等三角形的对应角相等,DNBA,DMBC(已知) NAD和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD (已证) AD=CD(已知)RtNADRtMCD(H.L,3+ 4180(平角定义) A3(已证) A+ C180(等量代换,练习1,如图,已知ABC中,AD是BAC的角平分线,AB=AC+CD,求证:
7、C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明,在AB上截取AE,使AE=AC,连结DE,AD是BAC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) 在AED和ACD中 AE=AC(已知) 1=2(已证) AD=AD(公共边) AEDACD(S.A.S,3,B=4(等边对等角,4,C3(全等三角形的对应角相等,又 AB=AC+CD=AE+EB(已知) EB=DC=ED(等量代换,3= B+4= 2B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和) C=2B(等量代换,ED=CD(全等三角形的对应边相等,练习1,如图,已知ABC中,AD是BAC的角平分线,AB=AC+CD,求证:C=2B,A,B,
8、C,D,F,1,2,证明,延长AC到F,使CF=CD,连结DF,AD是BAC的角平分线(已知) 1=2(角平分线定义) AB=AC+CD,CF=CD(已知) AB=AC+CF=AF(等量代换,ACB= 2F(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和) ACB=2B(等量代换,3,2,1,在ABD和AFD中 AB=AF(已证) 1=2(已证) AD=AD(公共边) ABDAFD(S.A.S,FB(全等三角形的对应角相等,CF=CD(已知) B=3(等边对等角,练习2,如图,已知直线MNPQ,且AE平分BAN、BE平分QBA,DC是过E的任意线段,交MN于点D,交PQ于点C。求证:AD+AB=B
9、C,证明,延长AE,交直线PQ于点F,3,0,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,F,5,练习2,如图,已知直线MNPQ,且AE平分BAN、BE平分QBA,DC是过E的任意线段,交MN于点D,交PQ于点C。求证:AD+AB=BC,证明,延长BA到点G,使得AG=AD,连结EG,3,0,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,G,练习2,如图,已知直线MNPQ,且AE平分BAN、BE平分QBA,DC是过E的任意线段,交MN于点D,交PQ于点C。求证:AD+AB=BC,证明,延长BA到点G,使得AG=AD,连结EG,3,0,22,21,A,B,C,D,E,M,N,P,Q,1,2,3,4,G,练习3,已知:如图在RtABC中,BAC=90,AEBC, BD是ABC的角平分线, GFBC ,求证:AD=FC,A,B,C,D,E,H,1,2,证明,过D作DHBC,垂足为H,G,F,3,0,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形,小结,3)作DMAB于M,DNAC于N,1)在AB上截取AE=AC,连结DE,2)延长AC到F,使AF=AB,连结DF,A,B,C,D,E,F,M,N,必有结论:ADEADC,必有结论:ABDAFD,必有结论:AMDAND,可以利用角平分线所
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