随机事件的概率-统计古典.ppt

1、历史上概率的三次定义,公理化定义,统计定义,古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,1.4 概率的定义及计算,对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件A发生的可能性大小的数量指标叫做事件A的概率,记作 P(A,设在 n 次试验中，事件 A 发生了nA次,则称 为事件 A 发生的 频率 记作 f n(A,一、概率的统计定义（频率与概率,频率的性质,事件 A, B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =204

2、8, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson ) 投币,Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.006

3、0 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,近百年世界重大地震,1905.04.04 印度克什米尔地区 8.0 88 1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4 2 万 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 1.5 万 1920.12.16 中国甘肃 8.6 10 万 1923.09.01 日本关东地区 7.9 14.2 万 1

4、935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5 5 万,重大”的标准,震级 7 级左右,死亡 5000人以上,1948.06.28 日本福井地区 7.3 0.51 万 1970.01.05 中国云南 7.7 1 万 1976.07.28 中国河北省唐山 7.8 24.2 1978.09.16 伊朗塔巴斯镇地区 7.9 1.5 万 1995.01.17 日本阪神工业区 7.2 0.6 万 1999.08.17 土耳其伊兹米特市 7.4 1.7 万 2003.12.26 伊朗克尔曼省 6.8 3 万 2004.12.26 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 15 万,世界每年发生大地震概率约为14,世界

5、性大流感每30-40年发生一次,近百年世界重大流感,1918年 西班牙型流感 H1N1亚型,4亿人感染 5000万人死亡,1957年 亚洲型流感 H2N2 亚型,1968年 香港型流感 H3N2 亚型,20天传遍美国 半年席卷全球,概率的 统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便 使用,二、概率的古典定义,若随机试验E具有以下两个特征,1)有限性：试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限，分别记为,样本空

6、间为,在每次实验中发生的可能性是一样的,2)等可能性：各个试验结果,P(1)=P( 2)=P( n,具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型,这种确定概率的方法称为古典方法,这样就把求概率问题转化为计数,排列组合是计算古典概率的重要工具,1、排列,则由乘法原理得,特别，当n = m时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为,例1 从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个 组成五位数,问共能组成多少个五位数,解,从六个不同数中任取五个组成五位数,相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因,此,所有可能组成五位数共有,例2 从0,1

7、,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个, 问能组成多少个四位偶数,解,组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或,种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为,4,可先选末位数,共 种,前三位数的选取方法有,2、组合,特别，当n= m时， 而且,例3 从10名战士中选出3名组成一个突击队，问共有多少种组队方法,解: 按组合的定义，组队方法共有,种,3、乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,4、加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法,先给出一个记号，它是组合

8、数的推广，规定,例1 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大,解 设“取得一件产品是正品”这一事件为A，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（90+10）种，而取得正品的取法有90种，按古典概率的定义,所求概率为 P(A)= =0.9,例2 一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大,解 用A表示事件“第一次取得正品且第二次取得次品”，由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知总的抽取方法有：10099种，而第一次抽正品的方法有95种，第二次取次品的方法有5种，则A中包含的抽取方

9、法共955种，所求概率为,例3 从0，1，2，3，4，5，这六个数中任取三个数进行排列，问取得三个数字排成的三位数且是偶数的概率有多大,解,用A表示“组成三位数且是偶数”，则总的排列方法共有 种,而排成的三位中,则所求的概率为,种，即事件A中包含 种,末位为0的有 种，末位不为0的共有,例4 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为,解：七个字母的排列总数为7,这样小

10、概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术,课本例11 （女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否可信,等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.在实际应用中，往往只能“近似地”出现等可能，“完全地”等可能是很难见到的,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件,需要注意的是,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏

11、,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少,下面的算法是错还是对，如果错，错在哪里,错在同样的“4只配成两双”算了两次,从5双中取1双，从剩 下的 8只中取2只,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少,正确的答案是,请思考： 还有其它解法吗,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏,我们介绍了古典概型. 古典概型 虽然比较简单，但它有多方面的应用,是常见的几种模型,抽球问题,分球入箱,随机取数,分组分配,1、抽球问题,例5 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放

12、回与放回两种方式取m个球( ),求其中恰有 k 个 ( )白球的概率,解 （1）不放回情形,E:球编号,任取一球,记下颜色放在一边,重复m次,记事件A为m个球中有k个白球，则,则,又解 E1: 球编号，一次取m个球,记下颜色,1,记事件A为m个球中有k个白球，则,不放回地逐次取m个球, 与一次任取m个 球算得的结果相同,因此,称超几 何分布,2）放回情形,E2: 球编号,任取一球,记下颜色,放回去,重复m次,2,记B为取出的m个球中有k个白球, 则,称二项分布,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过

13、多的交代实际背景,例6 将 个球随机地放入 个盒子中去，盒子的容量不限，试求 （1）每个盒子至多有一只球的概率； （2） 个盒子中各有一球的概率,解 将 个球放入 个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子，故共有 种不同的方法,2、分球入盒问题,2) 个盒子可以有 种不同的选法。对选定的 个 盒子，每个盒子各有一个球的放法有 种。由乘 法原理，共有 种放法，因此所求概率为,解,为n个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，365天为,365只“盒子,若n= 64,每个盒子至多有一个球,分球入盒模型”的应用,许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型,有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率,有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指定的n个站各有一人下车的概率,许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型,某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率,许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型,3、分组问题 例6 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成A、B、C三个组，求： （1）每组有一名运动员的概率；