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应用微积分上册教材教学课件刘春凤

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常见软件格式介绍,温馨提示:课件打不开,请仔细学习,常见办公软件的格式,文本:*.txt, *.doc, *.xls, *.ppt, *.pdf AutoCAD:*.dwg CAXA电子图板:*.exb,Microsoftoffice与WPS的比较,MicrosoftOffice是微软公司开发的一套基于Windows操作系统的办公软件套装。常用组件有Word、Excel、Access、PowerPoint、Frontage等。目前最新版本为Office2013,目前常用的版本为Office 2003和Office 2007。 WPS(WordProcessingSystem),中文意为文字编辑系统,是金山软件公司的一种办公软件。最初出现于1989年,在微软Windows系统出现以前,DOS系统盛行的年代,WPS曾是中国最流行的文字处理软件,现在WPS最新正式版为WPS2013,后缀名对比,WPS安装,安装时默认要勾选,可以兼容office格式,WPS文件保存格式设置,PPT选择office默认格式保存,WPS保存格式选择,word选择office默认格式,excel选择office默认格式,word保存为*.doc格式,excel保存为*.xls格式,幻灯片保存为*.ppt格式,WPS的各种格式,office 2003通用格式,word、excel等转换为PDF,MicrosoftOffice 本身没有输出为PDF格式的功能,所以我们如果需要转换为PDF格式文件的话,需要安装 doPDF 7 printer程序,此程序为虚拟打印机,通过虚拟打印功能将文件转换为PDF格式。 WPS由于本身自带输出为PDF格式的功能,因此使用WPS的不用安装doPDF 7 printer,中文简体,选择此选项,选择doPDF V7,选择PDF输出路径,office 2003打开office 2007格式,office 2007可以打开office 2003格式的文件 office 2003不能打开office 2007格式的文件 解决方法:使用office 2003的电脑需要安装office 2007兼容包,office 2007兼容包的安装,安装中 安装完成,PDF阅读器的安装,安装到D盘或者其他盘,勾选第一项即可,CAD看图软件的安装,由于AutoCAD安装程序包很大,对于我们只要查看CAD图纸而不需要编辑的时候,我们只要安装一个CAD查看器就可以了,而不用去安装AutoCAD,推荐此软件,非常迷你,CAD查看器的安装,安装到D盘或者其他盘,CAXA电子图板的安装,选择安装路径,保存的格式,电子图板的默认格式为*.exb,保存文件请选择AutoCAD2007的格式,便于其他用户打开文件,在线教务辅导网:http:/,更多课程配套课件资源请访问在线教务辅导网第 1 章,主讲教师,函 数,第1章 函数,1.1 预备知识,1.自然数集,其中偶数集,奇数集,2.整数集,3.有理数集,有理数,其中,正有理数,无理数,其中,4.无理数集,5.实数集,负有理数,1.绝对值的定义,2.绝对值的几何意义,表示数轴上点,与原点之间的距离,如图,x,图1.1,3.绝对值的性质,2,3,4,1,4.绝对值的运算性质,2,3,4,5,6,1,1.区间,开区间,闭区间,无限区间,半开区间,2.直线上的点邻域,左 邻域,右 邻域,图1.2,其中, 称为邻域中心 , 称为邻域半径,1.充分和必要条件,如果命题为“若A则B”, 那么A为B的充分条件,B为A的必要条件,记为,如果命题“若A则B”与命题“若B则A”同时成立,那么A与B互为充分必要条件,简称充要条件,记为,2.充分必要条件,1.两角和差公式,2.倍角公式,3.降幂公式,4.积化和差公式,5.一个重要的三角函数不等式,1. 极坐标系,在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度正方向(通常取逆时针方向,这样就建立了一个极坐标系,O,x,o,M,对于平面上任意一点M,用 表示线段OM的长度,用 表示从Ox到OM 的角度, 叫做M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 就叫做M的极坐标,特别规定: 当M在极点时,极坐标 , 可以取任意值,2. 极坐标与直角坐标的互化,把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半 轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度 单位。 设M是平面内任一点,它的直角坐标为 极坐标是 ,由三角函数定义,可得出坐 标之间的关系,常见平面曲线的极坐标形式,1. 直线,2. 直线,3. 直线,5. 圆,4. 直线函 数,第 1 章,主讲教师,1.4 反函数,求,角坐标系内作出它们的图像,的反函数,并在同一直,解第 1 章,主讲教师,函 数,1.5 复合函数 初等函数,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数统称为基本初等函数,1)幂函数,2)指数函数,3)对数函数,4)三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,5)反三角函数,反正弦函数,定义域,值域,反余弦函数,定义域,值域,反正切函数,定义域,值域,反余切函数,定义域,值域,求由函数,合成的复合函数,并求复合函数的定义域,由,复合而成的复合函数为,因为 u 0,所以,即复合函数的定义域为,解,分析函数,复合结构,函数,可以看成是由,三个函数复合而成的,分析函数,的结构,此函数可看成是由,三个函数复合而成,解,解,由基本初等函数和常数经过有限次四则 运算及有限次复合步骤所构成的并能用一个解析 式表示的函数,称为初等函数,例如,都是初等函数,而符号函数,不是初等函数,3求下列函数的定义域,1设,求,2设,求,4下列各题所给的两个函数是否相同,为什么,5判断下列函数的奇偶性,6下列函数中哪些是周期函数?如果是周期函数, 指出其周期,7证明函数,在区间,内单调增加,8求下列函数的反函数,并写出反函数的定义域,9某公共汽车运行路线全长20公里,票价规定如下: 乘坐4公里以下者收费1元,乘坐410公里收费2元, 10公里以上收费3元,试建立票价与路程的函数关系,10如果,将y 表成x 的函数,11如果,求,12下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成,13将函数,用分段函数表示,并绘出函数图形,14设,求,15. 求下列函数的定义域极限与连续,第 2 章,主讲教师,第 2 章 极限与连续,数列极限,函数极限,有极限的函数的性质,两个重要极限,无穷小与无穷大,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,2.1 数列极限,数列的概念,1,有界数列的定义,2,数列有界的几何意义,3,数列单调,4,数列极限的直观描述,5,数列极限的性质,6,例如,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,3.数列的基本特点,外在排列有顺序,内 在变化有规律,定义,例如,均有界,定义,单调增加数列与单调减少数列统称为单调数列,单调增加数列,单调减少数列,例如,2.1.5 数列极限的直观描述,常用符号,任意的,所有的,任意小的正数,小正数,自然数,存在,使得,规定,此时数列发散,此时数列发散,利用定义讨论数列极限,通过观察可见,当n 越来越大时,解,通过观察可见,当n 越来越大时,解,通过观察可见,当n 越来越大时,解,2.1.6 数列极限的性质极限与连续,第 2 章,主讲教师,第 2 章 极限与连续,数列极限,函数极限,有极限的函数的性质,两个重要极限,无穷小与无穷大,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,2.2 函数极限,自变量趋于无穷大时极限的直观描述,1,自变量趋于有限数时极限的直观描述,2,单侧极限,3,引 言,函数曲线的变化趋势,结 论,有限数,不存在,有限数,不存在,记为,用定义说明,因为,所以由定义可知,解,记为,记为,因为,所以由定义可知,用定义说明,解,记为,注意,说明,依定义2.5知,该极限说明:常数的极限恒等于自身,对于任意的点,解,说明,依定义2.5知,因为,解,说明,依定义2.5知,因为,解,说明,依定义2.5知,因为,解,按定义说明,时,所以有,从而,依定义知,解,记为,记为,说明,该定理揭示单侧极限与函数极限的关系,使用逆否定理可证明在定点的极限不存在,设函数,证明,不存在,由于,证极限与连续,第 2 章,主讲教师,第 2 章 极限与连续,数列极限,函数极限,有极限的函数的性质,两个重要极限,无穷小与无穷大,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,2.5 无穷小与无穷大,无穷大的概念,1,无穷小的概念,2,收敛变量与其极限的关系,3,无穷小与无穷大的关系,4,无穷小的性质,5,无穷小阶的比较,6,”型极限的简便算法,7,例,1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆,3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大,例,无界但不是无穷大,例,例如,1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆,2)零是可以作为无穷小的唯一的数,3)一个函数是无穷小量,必须指明自变 量的变化趋势,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,2.5.5 无穷小的性质,在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小,有界函数与无穷小的乘积是无穷小,常用,求极限,分析 这个极限很容易被误解为,不趋于0,也就是,并不具备第一个重要极限的特征,解,类似地有,比较,比较,比较,求极限,是有界量,是无穷小,解,常数与无穷小的乘积是无穷小,有限个无穷小的乘积也是无穷小,2.5.6 无穷小阶的比较,1引入,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同,不可比,观察各极限,例如,3.等价无穷小代换,等价无穷小代换定理,证,常用等价无穷小,例,求,利用无穷小等价代换,重新审视下列极限,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限,解,错解,解,解,幂指函数,简便形式,求,求,分析 把,解,解,求,解,1、主要内容,两个定义;四个定理;三个推论,2、几点注意,无穷小与无穷大是相对于过程而言的,1) 无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数,2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是 无穷小,3) 无界变量未必是无穷大,小 结,一、填空题,练习题答案极限与连续,第 2 章,主讲教师,第 2 章 极限与连续,数列极限,函数极限,有极限的函数的性质,两个重要极限,无穷小与无穷大,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,2.6 函数的连续性,函数在一点处的连续性,1,单侧连续,2,区间连续,3,函数的间断点及其类型,4,初等函数的连续性,5,证明函数,处是连续的,在点,因为,因为,按照定义知函数,证1,证2,右连续但不左连续,解,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续,且,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,例如,证,讨论函数,在,点处的连续性,解,1).跳跃间断点,1.第一类间断点,例,解,2).可去间断点,例,前 提,解,2.第二类间断点,解,解,2.6.5 初等函数的连续性,1、四则运算的连续性,例如,意义,1.极限符号可以与函数符号互换,可看成是由,复合而成的复合函数,存在,由定理知,原式,解,解,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,定义区间是指包含在定义域内的区间,求下列极限,解,连续函数的和差积商的连续性,复合函数的连续性,初等函数的连续性,定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法,两个定理;两点意义,反函数的连续性,练习题答案极限与连续,第 2 章,主讲教师,第 2 章 极限与连续,数列极限,函数极限,有极限的函数的性质,两个重要极限,无穷小与无穷大,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,2.7 闭区间上连续函数的性质,例如,最值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,1.若区间是开区间,定理不一定成立; 2.若区间内有间断点,定理不一定成立,有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证明方程,之间至少有一个根,在0与,设,由定理知,至少存在一点,使,即,且,证,小 结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理,注意1闭区间; 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理导数与微分,第 3 章,主讲教师,第 3 章 导数与微分,导数概念,求导法则,高阶导数,函数的微分,3.1 导数概念,导数概念的引入,1,2,3,4,导数的定义,导数的几何意义,单侧导数,函数可导与连续的关系,5,微积分学的创始人,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,从微观上研究函数,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出,英国数学家 Newton,变速直线运动的瞬时速度曲线在某点处的切线斜率,在古代就引起了数学家们的兴趣,早在17世纪前期,意大利物理学家伽利略就对自由落体中的瞬时速度进行了研究,17世纪后,牛顿在研究天体运动的速度时系统地 解决了变速直线运动的瞬时速度问题,导数概念的产生源于求,3.1.1 导数概念的引入,1变速直线运动的瞬时速度,设一物体作变速直线运动,s表示物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动所经过的路程s,则s是时间的函数,现在我们求物体在时刻的瞬时速度,平均速度,令,如果这个极限存在,就定义为物体在 时刻,的瞬时速度,即,2切线问题,17世纪前期,人们就对带有特殊性质的曲线的切线进行了研究古希腊数学家阿基米德(Archimedes,对螺旋切线的研究,到17世纪德国数学家莱布尼兹在前人的研究基础上系统的研究了曲线切线的斜率问题,设其倾角为,则割线,的斜率为,也随之变动而趋向于极限位置 直线,称此直线为曲线在定 点处的切线,割线的极限位置切线位置,播放,割线 的斜率的极限,则称K为切线 的斜率,如果 自变量增量,则函数增量,这时,即:切线的斜率是函数增量与自变量增量之比的极限,两个问题的共性,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限,类似问题还有,加速度,角速度,线密度,电流强度,速度增量与时间增量之比的极限,转角增量与时间增量之比的极限,质量增量与长度增量之比的极限,电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,设函数 在,的邻域,内有定义,当自变量x在,时,有函数增量,如果,记作,有增量 且,3.1.2 导数的定义,3)导数定义的几种等价形式,3.3,3.4,3.5,3.6,3.4)式中的只要是无穷小即可,设某产品生产个单位的总成本为,2)生产第1001个到1200个单位的总成本的平均变 化率,单位:元),试求,3)生产第1000个单位时总成本的变化率 (经济数学中称为边际成本,1)生产1000单位的总成本和单位平均成本,1)生产1000单位的总成本是,元,单位平均成本是,元/个,2)生产第1001个到1200个单位的总成本的平均 变化率是,元/个,解,3)生产第1000个单位时总成本的变化率是,元/个,为了加深对导数定义的理解,观察下面极限,解,已知,存在,求,已知,存在,求,原式,解,设,存在,和,分别被称为函数,在,点的左导数和右导数,即,存在的充分必要条件是,和,都存在并且相等,左导数和右导数统称为单侧导数,解,求下列函数在点,的导数,不可导的情形很多,下列四种情形比较典型, 如图所示,计算分段函数在分段点处的左右导数用导数定义,1) 若左、右导数存在且相等,则导数存在,2) 若左右导数存在但不相等或其中一个不存在,则导数就不存在,在点 x=0 不可导(图3.2,在点 x=1 不可导(图3.3,在点 x=0 不可导(图3.4,在点 x=0 不可导(图3.5,若函数,在区间,内每一点都可导,在,内可导,则称,区间上的导数,导函数,其表达式为,按导数定义求导数举例,即,即,解,解,请验证以下常见函数的导数,一般地,对于幂函数,为常数),有,求函数,的导数,化简得,求下列函数的导数,解,求函数,的导数,即,类似可得,解,求函数,的导数,即,特殊地,解,其中a是切线的倾角,即,3.1.4 导数的几何意义,在点,处的切线方程为,求抛物线,在点 处的切线方程,和法线方程,根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为,由于,于是,从而所求切线的斜率为,即,即,于是所求法线方程为,解,曲线,在哪一点处的切线与直线,平行 ?写出其切线方程,解得,相应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,和,解,求等边双曲线,在点,处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程,求曲线,的通过点,的切线方程,若函数,在点,处可导,则必在点,处连续,存在,其中,因此,即,从而,3.1.5 函数可导与连续的关系,证,2)函数在一点处可导是指在该点处导数值有限, 导数为无穷大和导数不存在都称为不可导,但函 数在某点处的导数为无穷大时,该点处的切线是 存在的,1,例如,函数,在点,处连续但不可导,即导数为无穷大,在图形中表现为曲线,在原点,具有垂直于,轴的切线,3)判断函数在特殊点的连续性与可导性,主要用定义 及定义推导出的充要条件,讨论,在点,处的连续性与可导性,1) 连续性,2) 可导性,不存在,所以不可导,解,在 连续,讨论,处的连续性与可导性,在点,连续性,解,讨论函数,在,处的连续性和可导性,讨论,处的连续性和可导性,在,1. 导数的实质: 增量比的极限,2. 导数的几种等价形式,4. 导数的几何意义: 切线的斜率,5. 函数可导一定连续,但连续不一定可导,6. 求导数最基本的方法: 由定义求导数,7. 判断可导性,不连续,一定不可导,连续,直接用定义,看左右导数是否存在且相等,思考题解答,求,在,已知,1,连续,且,解,2. 设,问当,为何值时,为可导函数,备用题,1填空题,设,可导,且,则,1,2,3,4,2设,求,3求下列函数的导数,4,则,5设,在点,可导,则,6. 曲线,上哪一点的切线与直线,平行,7求曲线,在点,的切线方程和法线方程,8在曲线,上有一条切线,此切线在,轴上的,求切点坐标,判断,在,处可导性,截距为-1,9. 已知,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,割线的极限位置切线位置,切线问题,牛顿(1642 1727,伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分,1665年他提出正,流数 (微分) 术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等,莱布尼兹(1646 1716,德国数学家, 哲学家,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿,他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国的八卦联系起来主讲教师: 第 第 3 章 导数与微分章 导数与微分导数概念导数概念求导法则求导法则高阶导数高阶导数函数的微分函数的微分高阶导数的概念高阶导数的概念12高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则xysinxycosxxysin)cos()(可继续求导,可继续求导,-二阶导数-二阶导数若 若 )(xfy在 在 x处可导,把 处可导,把 )(xfy在 在 x处的导数处的导数)(xfy 的二阶导数的二阶导数y )( xf或 或 22dxyd即 即 )( yy)(22dxdydxddxyd相应地 把 相应地 把 )(xfy叫作函数 叫作函数 )(xfy 的一阶导数的一阶导数,类似地类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数一般地 二阶导数的导数叫做三阶导数一般地 (n 1)阶导数的导数叫做阶导数的导数叫做n 阶导数阶导数 分别记作分别记作,y ,)4(y)(,ny或 或 33dxyd44dxyd nndxyd或 称为函数或 称为函数) )( xf记作记作定义定义3.11) 二阶导数的定义式:二阶导数的定义式: xxfxxfxfx)()(lim) )(02) 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。3) 函数函数 )(xf具有具有n 阶导数阶导数 也常说成也常说成)(xf为为n 阶可导。处具有阶可导。处具有n 阶导数阶导数 那么函数那么函数 4) 如函数如函数 )(xfy 在点在点 x)(xfy 在点在点 x的某一邻域内必定具有一切低于的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。阶的导数。求高阶导数就是多次连续地求导数,仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。求高阶导数就是多次连续地求导数,仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。直接法:直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.由高阶导数的定义逐步求高阶导数.xy121xy 高阶导数求法高阶导数求法解解,ln xy 求 y 例例1求幂函数求幂函数 xy 的的n 阶导数阶导数 .1xy2) 1( xy3)2)(1( xy, 4)4()3)(2)(1(xy一般地:一般地: nnxny) 1()3)(2)(1()(即即 nnxnx) 1()3)(2)(1()()(【特别特别】当 n,即 nxy !)(nxn解解例例2 naxy ,则 ,则 !)()(naaxynn 一般 一般 nnxaxaxaay2210则 则 nnany!)(特别注意的是 特别注意的是 0)()1(nnx 828321xxxy,求 ,求 )9()8(, yy 5 xy,求 ,求 )5(yn阶导数。 求函数 n阶导数。 求函数 xay 的 的 aayxln, , aayx2ln 一般地有: 一般地有: xnxee)()() 0(ln)()(aaaanxnxaayx3ln xey2 求 求 )5(y, , xy2 ,求 ,求 )8(y【特别特别】解解例例3求 求 xysin的的n 阶导数阶导数xysin, , )2 sin(cosxxy)2 2sin()2 2 sin()2 cos( xxxy)2 3sin()2 2 2sin()2 2cos( xxxy)2 4sin()2 3cos()4(xxy 一般地有: 一般地有: )2 sin()(nxyn即 即 )2 sin()(sin)(nxxn用类似方法可得: 用类似方法可得: )2 cos()(cos)(nxxn解解例例4更一般地:)2 sin()(sin)(nkxkkxnn)2 cos()(cos)(nkxkkxnn 求 xysin)4(y xy3cos求 )8(y求函数求函数 的的n 阶导数阶导数 xy11首先将函数写成幂函数形式,即 首先将函数写成幂函数形式,即 1)1 (11xxy2)1 (xy3)1 (21 xy4)1 (321 xy, 一般地有: 一般地有: )(11nx1)1 (!) 1(nnxn解解例例5 xy21,求 ,求 )4(y, , xy21 ,求 ,求 )5(y。 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数。更一般地: 。 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数。更一般地: )(1nxa1)(!) 1(nnxan类似可求出: 类似可求出: )(11nx1)1 (!nxn)(1nxa1)(!nxan熟记下列公式, 今后可以利用这些公式间接地求一些函数的高阶导数。熟记下列公式, 今后可以利用这些公式间接地求一些函数的高阶导数。(1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) )0(ln)()(aaaanxnx,特别: ,特别: xnxee)()()2 sin()(sin)(nkxkkxnn)2 cos()(cos)(nkxkkxnn)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan若函数若函数 )(xuu 及及 )(xvv 都在点都在点x 处具有处具有n 阶导数阶导数)()(xvxu也在点也在点x 处具有处具有n 阶导数阶导数 且且 (1) (2) )()()()()()(nnnxvxuxvxu)()(c)c (nnuu则函数则函数 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过求导法则通过求导法则,变量代换等变量代换等 方法方法, 求出求出n阶导数。阶导数。 间接法求导法间接法求导法: 已知 已知 2312xxy,求 ,求 )(ny1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny求下列函数的求下列函数的n 阶导数阶导数 xxy11xy1解解例例6设 设 yexy2, 求 , 求 22dxyd两边求导: 两边求导: 2yeyy整理得 整理得 yey12再求导: 再求导: 22dxyd2)1 (2yyeye解解例例7已知 已知 , 144yxyx求 求 y 在点 的值。 在点 的值。 ) 1 , 0(两边求导: 两边求导: 04433yyyxyx代入 代入 0x1y得: 得: 4110yxy两边再求导: 两边再求导: 04)(122123222 yyyyyxyx代入 代入 0x, , 1y, , 4110yxy,得: ,得: 16110 yxy 设 设 yxey1,求 ,求 022xdxyd 0sinyyx,求 ,求 22dxyd解解例例8设参数方程 设参数方程 ttytxarctan)1ln(2,求 ,求 22dxyd212ttdtdx, , 2221111tttdtdy2121222tttttxydxdyttttttdxdtdtdxdyddxdxdyddxyd4112121)()(3222解解例例9求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数: 摆线 求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数: 摆线 )cos1 ()sin(tayttax tytx122如果 的导函数 如果 的导函数 )(xfy )( xf在区间上连续,则称 在区间上连续,则称 )(xfy连续可导, 不难理解,连续可导必可导,但是未必二阶可导。连续可导, 不难理解,连续可导必可导,但是未必二阶可导。Mxf)(Axfx)(lim)()(lim0xfxfx)( )()(lim0000xfxxxfxfxx)( )( lim0xfxfx)( )( )( lim0000xfxxxfxfxx有界收敛连续可导连续可导二阶可导有界收敛连续可导连续可导二阶可导回忆有界、收敛、连续、可导、连续可导以及高阶导数的概回忆有界、收敛、连续、可导、连续可导以及高阶导数的概 念,诸概念之间的关系逐渐增强,可图示为念,诸概念之间的关系逐渐增强,可图示为(1) 逐阶求导法(2) 间接法 (1) 逐阶求导法(2) 间接法 利用已知的高阶导数公式 利用已知的高阶导数公式高阶导数的求法高阶导数的求法)0(ln)()(aaaanxnx,特别: ,特别: xnxee)()()2 sin()(sin)(nkxkkxnn)2 cos()(cos)(nkxkkxnn)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan1. 已知 1. 已知 xxy44cossin, 求 , 求 )(ny2222)(cos)(sinxxy)(xx22cossin)(xx22cossin22cos1x22cos1xx2cosn2)22cos( nx2. 求下列函数的求下列函数的n 阶导数。阶导数。解解解解备备 用用 题题解解1求下列函数的二阶导数求下列函数的二阶导数 2xeyxxxyarcsin21122xeyx2cos42xxyxxxyarctan2111ln41(1) xy3sinln(1)(2) (3)(4)(5) (6)(xyy 1xyeyx)0(y 2设由方程 所确定,求2设由方程 所确定,求btatybatx221)(xyy 22dxyd3设参数方程确定函数,求3设参数方程确定函数,求)(xyy 4设参数方程确定函数,求4设参数方程确定函数,求tetytxln122tdxyd1)(nxayxy2sin6512xxy5 求下列函数的n阶导数5 求下列函数的n阶导数(1)(2) (3)导数与微分,第 3 章,主讲教师,第 3 章 导数与微分,导数概念,求导法则,高阶导数,函数的微分,3.3 高阶导数,高阶导数的概念,1,2,高阶导数的运算法则,可继续求导,二阶导数,3.3.1 高阶导数的概念,若,在,处可导,把,在,处的导数,的二阶导数,或,即,类似地 二阶导数的导数叫做三阶导数,一般地 (n1)阶导数的导数叫做n 阶导数 分别记作,或,称为函数,记作,1) 二阶导数的定义式,2) 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数,求高阶导数就是多次连续地求导数,仍可应用前面,学过的求导方法来计算高阶导数,直接法,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,高阶导数求法,解,求幂函数,的n 阶导数,一般地,即,解,则,一般,则,特别注意的是,n阶导数,求函数,的,一般地有,特别,解,求,的n 阶导数,一般地有,即,用类似方法可得,解,更一般地,求函数,的n 阶导数,首先将函数写成幂函数形式,即,一般地有,解,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数,更一般地,类似可求出,熟记下列公式, 今后可以利用这些公式间接地 求一些函数的高阶导数,1,2,3,4,5,特别,若函数,及,都在点x 处具有n 阶导数,也在点x 处具有n 阶导数 且,1,2,则函数,3.3.2 高阶导数的运算法则,利用已知的高阶导数公式, 通过求导法则,变量代换等,方法, 求出n阶导数,间接法求导法,求下列函数的n 阶导数,解,设,求,两边求导,整理得,再求导,解,已知,求,在点,的值,两边求导,代入,得,两边再求导,得,解,设参数方程,求,解,求由下列参数方程所确定的函数的二阶导数,摆线,不难理解,连续可导必可导,但是未必二阶可导,回忆有界、收敛、连续、可导、连续可导以及,高阶导数的概 念,诸概念之间的关系逐渐增强, 可图示为,1) 逐阶求导法,2) 间接法,利用已知的高阶导数公式,高阶导数的求法,特别,1. 已知,求,2. 求下列函数的n 阶导数,解,解,备 用 题,解,1求下列函数的二阶导数,1,1,2,3,4,5,6,2设,由方程 所确定,求,3设参数方程,确定函数,求,4设参数方程,确定函数,求,5 求下列函数的n阶导数,1,2,3主讲教师: 第 第 3 章 导数与微分章 导数与微分导数概念导数概念求导法则求导法则高阶导数高阶导数函数的微分函数的微分1234微分的定义微分的几何意义函数和、差、积、商的微分法基本初等函数的微分公式微分的定义微分的几何意义函数和、差、积、商的微分法基本初等函数的微分公式引例:引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.正方形金属薄片受热后面积的改变量.,00xxx变到设边长由 变到设边长由,20xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220xxx 的主要部分且为的线性函数的主要部分且为的线性函数Ax,很小时可忽略当的高阶无穷小很小时可忽略当的高阶无穷小xx,再例如,再例如,.,03yxxxy求函数的改变量时为处的改变量在点设函数求函数的改变量时为处的改变量在点设函数3030)(xxxy .)()(3332020xxxxx ,很小时当很小时当 x既容易计算又是较好的近似值这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?既容易计算又是较好的近似值这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?问题问题(微分的实质)(微分的实质)xAdy定义定义3.2 1) dy为自变量增量为自变量增量 x的线性函数。的线性函数。 2) )( xodyy是比是比 x高阶的无穷小。高阶的无穷小。 , 3) 当当 0Ady与与 y是等价无穷小。是等价无穷小。 事实上:事实上: dyyxAxo)(1)0(1x4) A是与是与 x无关的常数,但与无关的常数,但与 )(xf在点在点 0x的值有关。的值有关。 ,yx很小时当很小时当dyDD函数 函数 )(xfy 在点 在点 0x可微的充分必要条件是函数可微的充分必要条件是函数)(xfy 在点 在点 0x可导 且当函数 可导 且当函数 )(xfy 在 点可微时在 点可微时0x其微分是其微分是xxfdy)(0在点 在点 必要性 必要性:设函数 :设函数 )(xfy 0x可微 由定义知:可微 由定义知:)( xoxAy从而从而xxoAxy)(于是 当 于是 当 0x时 时 Axyxfx00lim)(即 即 )(xf在点 在点 0x可导 且 可导 且 )(0xfA(可微的条件)(可微的条件)定理 3.6证证充分性充分性: 如果 : 如果 )(xf在点 在点 0x可导 即: 可导 即: )(lim00xfxyx存在存在)(0xfxy其中 其中 0(当 ) (当 ) 0x由此有由此有xxxfy)(0由极限与无穷小的关系即 由极限与无穷小的关系即 )( xoxAy所以 所以 )(xf在点 在点 0x可微,且 可微,且 xxfdy)(0可微,可微,)(xf在点 在点 0x点导数 点导数 )(0xf 是定数,而微分 是定数,而微分 xxfdy)(0是 是 x的线性函数。的线性函数。 于是函数 于是函数 )(xfy 在点 在点 0x的微分又可记作 的微分又可记作 dxxfdy)( 0区别区别:2) 通常把自变量 :2) 通常把自变量 x的增量 的增量 x称为自变量的微分,称为自变量的微分,dx,即 ,即 xdx记作1) 导数与微分的记作1) 导数与微分的联系联系:可导 :可导 3) 函数 3) 函数 )(xfy 在任意点 在任意点 x的微分,称为函数的微分,即 的微分,称为函数的微分,即 dxxfdy)( 记作记作dy或 或 )(xdf 从而 从而 )( xfdxdy函数的导数就是函数的微分 函数的导数就是函数的微分 dy与自变量的微分 与自变量的微分 dx因此导数也称为“因此导数也称为“微商微商”。 之商,”。 之商,求函数 求函数 12xxy在 在 2x1 . 0x的微分. 先求函数在任意点 的微分. 先求函数在任意点 x的微分 的微分 xxxxxdy) 12()1(2再求函数当 再求函数当 2x1 . 0x, 时的微分 , 时的微分 3 . 01 . 03|) 12(|1 . 021 . 02xxxxxx
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