一轮复习：函数的奇偶性与周期性

1、泰安二中数学,1. 函数的奇偶性,课前自主导学,奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件,2. 周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，T为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做它的最小正周期,1)已知函数f(x)，对xR，都有f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)4x1，则f(5.5)的值为_ (2)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_,1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的

2、含义 2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性,1个重要规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件 2种必会方法 1. 定义法：先求出定义域 关于原点对称，判断f(x)与f(x)的关系得结论； 不关于原点对称，则不具有奇偶性,2. 图象法：首先作出f(x)的图象 关于原点对称，f(x)为奇函数； 关于y轴对称，f(x)为偶函数； 既不关于原点，也不关于y轴对称，不具有奇偶性 3个必记结论 1. 若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以f(x

3、)的周期T2a,核心要点研究,审题视点先求出函数的定义域，若定义域关于原点对称，再根据定义研究f(x)与f(x)的关系，必要时需对解析式进行化简，分段函数则要分段判断,1)判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 (2)分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性 (3)在分析f(x)与f(x)的关系时，经常需要对f(x)的解析式进行等价变形,变式探究2012上海高考已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_. 解：设

4、h(x)f(x)x2为奇函数， 则h(x)f(x)x2， h(x)h(x)，f(x)x2f(x)x2， f(1)1f(1)1，f(1)3， g(1)f(1)21,审题视点分析四个函数在(1,2)上不具有单调性，或为奇函数、非奇非偶函数的情况，利用排除法求解 解析由函数是偶函数可以排除C和D，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时ylog2|x|log2x为增函数，所以选择B. 答案B,奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图象等问题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得,变式探究已知函数f(x

5、1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不相等的实数x1、x2，不等式(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，则不等式f(1x)0的解集为() A. (0,3)B. (3，) C. (，0)D. (0，) 答案：C,解析：f(x1)是定义在R上的奇函数，关于(0,0)对称，向右平移1个单位得到f(x)的图象，关于(1,0)对称，即f(1)0，又任取x1，x2R，x1x2，都有(x1x2)f(x1)f(x2)1，x0，不等式f(1x)0的解集为(，0,例32012山东高考定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f

6、(3)f(2012)() A. 335B. 338 C. 1678D. 2012,审题视点用赋值法求出多个函数值，发现其规律，再利用周期性进行化简求值 解析由f(x6)f(x)得f(x)的周期为6，所以f(1)f(2)f(2012)335f(1)f(2)f(6)f(1)f(2)，而f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(3)f(6)1， 所以f(1)f(2)f(2012)338，故选B. 答案B,在0,2013上共有336个x使f(x)1. 当f(x)1时，每个周期有2个解， 201333563. x解的个数为

7、33521671个(f(x)1在最后半个周期有一个解,变式探究2013九江模考已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0 x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)在区间0,6上的图象与x轴的交点个数为() A. 6B. 7 C. 8D. 9 答案：B,解析：函数yf(x)的图象与x轴的交点即为yf(x)的零点，先在区间0,2)上讨论，令f(x)0，即x(x1)(x1)0，解得x0或x1(x1舍去)又函数f(x)在R上以2为周期，则当x2，x4，x6或x3，x5时也有f(x)0，即在区间0,6上f(x)的图象与x轴的交点个数为7.函数图象如下,例42013大同模拟已知定义在R上的奇函数f

8、(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_. 审题视点根据已知条件分析函数f(x)在8,8的单调性，对称性，画出图象进行求解,解析f(x)为奇函数并且f(x4)f(x) f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)， 且f(x8)f(x4)f(x)，yf(x)的图象关于x2对称，并且是周期为8的周期函数， f(x)在0,2上是增函数， f(x)在2,2上是增函数， 在2,6上为减函数，据此可画出yf(x)的示意图象,其图象也关于x6对称， x1x212，x3x44， x1x2x3x

9、48. 答案8,有关抽象函数涉及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质时，可考虑结合函数的图象特征，运用数形结合的思想方法求解,答案：B,课课精彩无限,答案2,备考角度说】 No.1角度关键词：审题视角 本题通过构造奇函数解题，思路自然方法简洁，通过对f(x)的变形发现奇函数，利用奇函数在对称区间上的函数值相反来确定Mm的值,No.2角度关键词：技巧点拨 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解,答案：D,经典演练提能,答案：C 解析：显然，A，D是对的若x是无理数，则x也是无理数；若x是有理数，则x也是有理数所以D(x)D(x)，