5 克尔效应与自聚焦教程

1、第五章,光克尔效应和自聚焦,1,光致折射率效应的物理机制,已知光场,作用于介质，通过,的混频，会产生频率仍为,的三阶非线性,极化,r,k,t,i,e,E,t,E,3,3,0,3,E,E,E,P,频率为,的光场产生的线性极化为,1,0,1,E,P,合并上两式，则介质所产生的频率为,的极化为,3,2,3,1,0,E,E,P,因为频率为,的电位移矢量为,o,E,P,E,D,则由上两式可得,则频率为,的折射率为,3,1,2,3,1,0,E,2,3,1,0,3,1,E,n,在不考虑三阶极化（即只考虑线性极化）时折射率为,1,1,0,n,令,0,n,n,n,3,2,3,1,0,E,E,P,当,时，有,0,

2、n,n,2,0,3,2,3,E,n,n,因光强,则折射率表示为,2,E,I,2,0,I,n,n,n,其中,n,2,称为非线性折射系数,2,3,1,0,3,1,E,n,1,1,0,n,0,n,n,n,一般而言，频率为,的光不仅会使频率与之相同的折,射率发生变化，也会使频率与之不同的折射率发生变,化,2,0,I,n,n,n,频率为,和,的两束光（一般前者强，后者,弱）同时作用，会在介质中产生频率为,的三阶极化,因此，频率为,的光不仅会使频率与之相同的折射,率发生变化，也会使频率与之不同的折射率发生变化,6,3,0,3,E,E,E,P,6,2,3,0,E,E,同样，频率为,的光场产生的线性极化为,1

3、,0,1,E,P,则得,0,n,n,n,2,0,3,2,6,E,n,n,其中,是频率为,的光产生的频率为,的折射率改变。它,也与光强,成比例，但比例系数不同,I,可以证明：介质的线性折射率和非线性折射率都与极化,率的实部成线性关系；而介质的线性吸收系数和非线性,吸收系数都与极化率的虚部成正比，即,0,I,n,n,n,0,I,1,1,1,i,3,3,3,i,1,0,0,n,n,3,2,0,0,n,c,I,n,1,0,0,0,n,k,2,3,2,0,0,0,n,c,I,k,2,互作用克尔效应：非线性极化率是由频率为,的泵,浦光引起的，或频率相同但传播方向或偏振方向不同的泵,浦光引起的光克尔效应,2

4、,光克尔效应,光克尔效应：光电场直接引起的折射率变化的效应,其折射率变化大小（即非线性折射率）与光电场的平方,成正比,由于光克尔效应引起的折射率的变化反映了极化率的变,化，而可以证明：极化率的变化只是极化率实部的变化,光克尔效应的两种形式,1,自作用克尔效应：非线性极化率是由频率为,的信,号光本身的附加光强引起的光克尔效应,一、自作用光克尔效应,设频率为,的强激光入射各向同性介质，只考虑一阶,和三阶极化率的实部,3,3,3,e,2,0,3,2,E,n,n,e,则非线性折射率为,则频率为,的折射率为,2,3,1,0,3,1,E,n,1,1,2,0,n,定义有效三阶极化率为,线性折射率为,2,1,

5、2,2,0,3,0,1,E,n,n,e,2,0,3,0,2,E,n,n,e,2,0,0,2,1,E,cn,I,而,I,cn,n,e,2,0,0,3,则非线性折射率可表示为,I,n,2,非线性折射系数,2,0,0,3,2,cn,n,e,克尔介质的总折射率为,I,n,n,n,n,n,2,0,0,光克尔效应引起的光致折射率变化的物理机制有,热效应,电致伸缩效应,非线性电极化,电子云畸变；分子重新分布或振动,这些物理过程与介质的响应时间有密切的关系,Response time,and magnitude of n,2,for,various machanisms,Physics Machanisms,

6、s,n,2,esu,Thermal effect,10,1,1,10,4,to 10,5,Electrostriction,10,8,10,9,10,10,to 10,11,Nonlinear electronic,polarizability,10,11,10,12,10,11,to 10,12,Electron cloud aberration,10,13,10,13,to 10,14,Molecular redistribution,10,13,10,12,to 10,13,可见：克尔介质的非线性折射系数越大，介质的,响应速度越慢,二、互作用光克尔效应,设频率为,的单色信号光与频率为,的

7、单色泵浦光同,沿,z,方向传播，但两者偏振方向不同。设泵浦光沿,y,方向偏振，信号光在,x-y,平面内偏振,泵浦光引起介质折射率发生变化，从而由信号光电,场的,x,和,y,方向分量产生的非线性极化强度在,x,和,y,方,向的分量分别为,6,2,3,0,3,z,E,E,z,P,x,xxyy,x,6,2,3,0,3,z,E,E,z,P,y,yyyy,y,把,的表达式代入,y,方向的耦合波方程，得,3,z,P,y,3,2,3,2,0,z,E,E,k,ik,dz,z,dE,y,yyyy,y,若泵浦光,不随,x,变化，可解得,y,方向的信号光场,E,3,exp,2,3,0,0,z,E,k,k,ik,z,

8、E,yyyy,y,表示由频率为,1,振动方向为,的光电场分量,E,1,频率为,2,振动方向为,的光电场分量,E,2,以及频率为,3,振动方向为,的光电场分量,E,3,通,过三阶非线性相互作用产生的在,方向上振动且频率为,1,2,3,的三阶极化强度分量,3,P,3,3,2,1,3,2,1,3,0,3,E,E,E,P,3,2,1,3,2,1,3,0,3,E,E,E,P,或,3,exp,2,3,0,0,z,E,k,k,ik,z,E,yyyy,y,则信号光在,y,方向的非线性折射率为,2,3,0,3,E,k,k,n,yyyy,同理，信号光在,x,方向的非线性折射率为,2,3,0,3,E,k,k,n,x

9、xyy,克尔系数：表征光致双折射效应（互作用光克尔效应,的强弱,2,E,n,n,K,2,3,3,3,xxyy,yyyy,c,克尔光开关,L,n,n,2,0,2,2,E,n,K,自聚焦现象：设入射到介质的是单模激光束，其横,截面上具有高斯强度的分布,I,r,r,是以中心为原点的径,向坐标），中心处最强，越靠边缘越弱。由于光束与介,质的三阶非线性作用，介质的折射率发生与强度成正比,的改变，从而使折射率在横截面上出现,的分布，使光束经过的介质产生类似透镜的作用，由于,非线性折射系数,n,2,的符号可正可负，可以对光束进行聚,焦或散焦的现象,3,光束的自聚焦,2,0,r,I,n,n,n,自聚焦：当,n

10、,2,0,时，横截面中心处的折射率最大，越靠,边缘越小，因此，波前的中心部分在介质中的传播速度最,慢，越靠边缘速度越快，从而入射的平面波前在传播过程,中逐渐向入口方向凹陷，光束如同经过一个正透镜，被逐,渐聚焦。即表现为正透镜效应，即为自聚焦,I,n,I,cn,n,e,2,2,0,0,3,I,n,n,n,n,n,2,0,0,式中,n,0,为介质的线性折射率,m,为最大会聚角,n(0,是,中心轴上的折射率,n(R,是边沿的折射率,且有,0,n,R,n,n,n,n,0,0,m,m,sin,0,2,2,n,n,m,则,ka,an,2,0,0,式中,k,为波矢,a,为束腰半径,根据渐变折射率自聚焦透镜端

11、面处最大数值孔径公式,0,2,0,sin,0,2,2,0,R,n,n,n,R,n,n,n,NA,m,在光束截面缩小的过程中又会出现自衍射，使光束发散,让光束截面扩大，则高斯光束的最大衍射角为,若要自散焦作用大于自衍射作用，要求,0,2,2,n,n,m,ka,an,2,0,0,4,2,2,2,0,2,2,a,k,n,n,m,1,m,2,2,0,2,a,k,n,n,即,在一般情况下，激光强度高于,1MV/cm,2,即可满足此条件,自散焦：当,n,2,为负值时表现为负透镜效应，即为自散焦,自散焦过程：当,n,2,0,时，横截面中心处的折射率最小,越靠边缘越大，因此，波前的中心部分在介质中的传播,速度

12、最大，越靠边缘速度越慢，从而入射的平面波前在传,播过程中逐渐远离入口方向凹陷，光束如同经过一个负透,镜，被逐渐发散。即表现为负透镜效应，即为自散聚焦,稳态自聚焦：当激光束是连续激光或激光的脉冲宽度比,较长，自聚焦后的光斑尺寸、焦距均不随时间发生明显的,变化,准稳态自聚焦：如果输入的光脉冲宽度比较短，但比介,质对场的响应时间大得多，或者介质对场的响应仍可以被,认为是瞬时的，这时自聚焦的焦距随着激光强度的变化而,随时间变化,瞬态自聚焦：如果激光的脉冲宽度短于或近似等于,n,的,响应时间，致使,n,的时间变化在自聚焦中变的很重要,在分析自聚焦现象和建立自聚焦理论时要区分三种状,态，即：稳态、准稳态和

13、瞬态,一、稳态自聚焦,1,稳态自聚焦方程,2,2,0,2,2,0,t,P,t,E,E,NL,非线性波动方程,E,n,n,E,E,P,e,NL,0,0,2,3,0,2,将方程写为标量方程，并采用柱坐标，有,光波场为横场，利用,E,E,E,E,2,2,2,2,0,2,2,0,2,2,2,2,0,2,2,2,2,t,E,n,n,c,n,t,E,c,n,z,E,E,式中,2,2,2,2,2,y,x,设沿,z,方向传播的单色平面光电场和极化强度为,c,c,e,E,t,z,E,kz,t,i,c,c,e,P,t,z,P,kz,t,i,则,2,2,2,2,2,2,kz,t,i,kz,t,i,kz,t,i,e,

14、z,E,e,E,k,e,z,E,ik,z,E,2,2,kz,t,i,kz,t,i,e,E,k,e,z,E,ik,而,2,1,1,2,2,2,2,2,2,2,kz,t,i,kz,t,i,kz,t,i,e,t,E,e,t,E,i,e,E,c,t,E,c,2,kz,t,i,e,E,k,稳态自聚焦波动方程为,1,5,2,2,0,2,2,E,n,n,k,z,E,ik,E,若,n = 0,上式可简化为透明介质内线性介质传播的,方程,假定激光束是轴对称的，采用圆柱坐标，将复振幅,表示为,E,0,z,r,ikS,e,E,E,式中,E,0,kS(r,z),分别描述光场的振幅和相位，都是实,数，将该式代入式,5-

15、1,再把实部和虚部分开，可得,0,2,0,2,0,S,E,z,E,0,0,2,0,2,2,2,2,1,n,n,E,k,E,S,z,S,2,5,0,2,0,2,0,S,E,z,E,3,5,2,2,1,0,0,2,0,2,2,n,n,E,k,E,S,z,S,式,5-2,是一个能量关系,式,5-3,表示相位的变化，其右边第一项为衍射的作用,第二项为非线性作用,2,近轴近似解,在输入的激光束为高斯光束的情况下，假设光束在传,播时，其中心部分仍保持其高斯分布，而光束半径随,z,变化，则可取近似解的形式，即,2,exp,2,2,0,0,0,z,a,r,z,a,a,E,E,m,2,2,z,z,R,r,S,式

16、中,a,z,为高斯光束,z,处光斑半径,R(r,为,z,处高斯光,束等相位面的曲率半径,r,为径向坐标,将上两式代入式,5-2,化简后得,4,5,d,d,R,z,a,z,z,a,因为,r,a,z,并令,0,3,2,n,n,e,则式,5-3,中的,n/n,0,可做近似,2,1,2,2,exp,2,2,2,2,2,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,0,0,2,0,2,0,2,0,2,0,a,r,a,a,n,E,n,a,r,a,a,n,E,n,n,E,n,n,n,m,m,将上面几式代入式,5-3,可得,4,2,2,1,2,1,d,d,1,a,k,B,R,z,R,式中,0,2,0,2,2,0,2

17、,2,n,E,n,a,k,B,m,方程,5-4,式两边对,z,微分,2,2,2,d,d,1,d,d,R,a,z,R,z,a,则得,3,2,2,2,1,2,1,d,d,a,k,B,z,a,方程两边乘以,并利用初始条件，即,z,a,d,d,2,0,0,0,0,0,a,a,R,R,z,积分后得,2,0,0,2,0,2,2,2,2,1,2,1,1,1,2,d,d,R,a,a,k,B,a,k,B,z,a,求解上式得,2,0,4,0,2,2,2,0,2,1,2,1,R,z,a,k,z,B,a,a,若,P,为输入激光的总功率,2,0,2,0,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,d,2,exp,2

18、,a,cE,n,r,r,a,r,E,n,c,P,m,m,定义,B = ,时的光功率为临界功率,P,c,则,2,2,3,0,0,2,n,c,n,P,c,则得，各向同性非线性介质中旁轴近似解的光束半,径随传播距离,z,的变化规律,5,5,1,1,2,0,4,0,2,2,2,0,2,R,z,a,k,z,P,P,a,a,c,当,z,z,f,时,a,z,f,= 0,时,z,f,就是自聚焦的焦距,6,5,1,0,2,0,2,2,1,2,0,2,R,a,k,P,P,a,k,z,c,f,若,R,0,时，即平面波入射，则式,5-5,和,5-6,为,1,1,4,0,2,2,2,0,2,a,k,z,P,P,a,a,

19、c,2,1,2,0,2,1,c,f,P,P,a,k,z,讨论,2,1,2,0,2,1,c,f,P,P,a,k,z,可以看出,1,当,时,光束为发散波,c,P,P,0,a,z,a,0,f,z,2,当,时,光束为会聚波,在某个,z = z,f,处形成焦点，此时,c,P,P,0,a,z,a,0,f,z,0,f,z,a,3,当,时,光束半径不变,光束自陷,P,c,称为自陷的临界功率,c,P,P,0,a,z,a,f,z,对于激光的脉冲宽度比介质的非线性响应大得多，可采,用准稳态自聚焦处理。此时，仍假定光场的振幅是时间,和坐标,z,的缓变函数,2,准稳态自聚焦,g,v,z,t,t,准稳态解与稳态解的形式完

20、全类似，只是准稳态解初始,条件的输入场是时间的函数。因此，稳态情况下求得的,自聚焦的公式可直接应用于准稳态自聚焦,群速度,k,v,g,引入约化的时间变量,旁轴近似,当,时,c,P,P,0,2,0,2,2,1,2,0,2,1,R,a,k,P,v,z,t,P,a,k,z,c,g,f,f,若,R,0,时,2,1,2,0,2,1,c,g,f,f,P,v,z,t,P,a,k,z,上式表明，如果入射的激光功率,P,是时间的函数,则自聚焦焦点的位置也是时间的函数，换句话说,准稳态情况下自聚焦焦点是运动的,由于激光的脉冲宽度比介质的非线性响应短，因此,n,的,变化跟不上场振幅的变化。脉冲的前沿感受到,n,较小,而后沿感受到,n,较大,3,瞬态自聚焦,若输入的激光脉冲是近高斯型的，时间上可分为,a,f,六个部分,a,时刻脉冲介质的折射率很小，主要是衍射作,用,b,时刻脉冲介质的折射率稍有变化，但衍射作用仍比,自聚焦作用大，光束仍是发散的,c,时刻脉冲介质的折射,率变化较大，自聚焦作用大于衍射作用，光束向中间会,聚,d,f,时刻光脉冲，由于以前的脉冲引起介质的折射,率变化的累积结果，折射