自动控制复习题

1、一、 试用结构图等效化简或梅逊公式求图1 所示系统的传递函数c (s)r(s)图 1解：结构图等效解：所以：c (s)g1 g2g 3g 4r( s) 1 g1g 2 g3 g 4g 2 g3g1g2 g3 g4梅逊公式 解： 图中有 1 条前向通路， 3 个回路，有1 对互不接触回路p1g1g2g 3g 4， 11， l1g1g2 ，l2g3g4， l3g 2 g3，1 (l1l2 l3 ) l1l 2 ，c (s)p1 1g1g 2 g3g4r(s)1 g1g 2g3g 4g2 g3 g1g 2 g3g4二：分别用结构图等效变换和梅逊公式求图2-3 所示系统的传递函数。r(s)c(s)g1

2、 (s)g2 (s)g3 (s)图 2-3解：用梅逊公式求取系统传递函数。由图 2-3 知，系统有1 个回路，有2 条前向通路。因此有l1g2 (s)g3 ( s)1la 1 g2 (s)g3 (s)p1g1 ( s)1p2g2 ( s)211根据梅逊公式，系统的传递函数为2c(s)pkkg1(s) g2 ( s)k 1r(s)1g2 (s)g3 ( s)三、 试用结构图等效化简和梅逊增益公式求图1 所示各系统的传递函数c ( s)r( s)图 1解：所以：c( s)g4g1g2 g3r(s)g2 h 1g2g3 h 21 g1g2 h 1（ e）图中有2 条前向通路，3 个回路p1 g1g2

3、g 3， 11， p2g 4，2，l1g1g2 h 1， l2g2 h 1， l3g2g 3 h 2，1 (l1l2 l3 )，c (s)p1 1p2p2p1 1g4g1 g2g3r( s)1 g1g2 h 1g2 h 1g2 g3 h 2二、 设图 2（ a）所示系统的单位阶跃响应如图2（ b）所示。试确定系统参数k 1 , k 2和 a 。图 2（a）系统结构图图 2（ b）系统的单位阶跃响应图解由系统阶跃响应曲线有h( )3t p0.1o o(4 3) 333.3 o o系统闭环传递函数为k 1k 2k 22( s)n（ 1）s2ask 1s22n s2nt p120.1联立求解得0.3

4、3由nn 33.28o oe1 233.3o ok121108n由式（ 1）a2n 22另外 h( ) lim s1limk1 k 2k 23(s)s2ask 1s0ss 0二、某典型二阶系统的单位阶跃响应如图2 所示。试确定系统的闭环传递函数。图 2 系统的单位阶跃响应解依题，系统闭环传递函数形式应为(s)k.n222n s2sn由阶跃响应曲线有：h( ） lim s (s) r(s)lim s ( s)12ks 0s 0st p2n 122.52oe12o225 o o0.404联立求解得n 1.717所以有(s)21.717 25.92 0.4041.717s 1.717 2s21.39

5、s 2.95s2例 5已知单位负反馈系统的开环传递函数为g(s)h ( s)k (s1)s3as22s1试确定 k 和 a 的值，使系统以2 弧度 /秒的频率持续振荡。解：系统的特征方程为1g(s)h ( s)1k ( s1)0as22ss31即s3as2(k2)s k1 0列写劳斯表s31k2s2ak11(a1) k2a1sas0k1依题意，系统以n2弧度 / 秒等幅振荡，故有(a1) k2a10（ 3-1）a用 s1行的上一行的系数构造辅助方程，有f (s)as2k10（ 3-2）由（ 3-2）式，有sjk1a所以k 12（ 3-3）a由（ 3-1）、（ 3-3）式解得 a0 ， k1和

6、a3， k2。将两组解分别带入特征方程可4知， a0 ， k1不符合题意。故使系统以2 弧度 / 秒的频率持续振荡的 a3 ， k 2 。4例 6单位负反馈系统的开环传递函数为g(s)ks(ts1)(s1)其中 k0 、 t0。1. 试确定闭环系统稳定时，参数 k 、 t 应满足的关系，在 k t 坐标中画出使系统稳定的区域2. 计算在输入 r (t) t 1(t ) 作用下系统的稳态误差。解：1. 系统的特征方程为1g(s) 0即3(1)s2sk0tst列写劳斯表s3t1s2t1ks1t1tkt1s0kk0 t0k根据劳斯稳定判据， 令劳斯表中第一列各元为正，考虑到，可求得参数、t 应满足的

7、关系为k11t使系统稳定的k 、 t 取值范围如图3-2 中阴影部分。t1k1t3210123k4图 3-22. 求系统稳态误差用静态误差系数法。因输入信号为单位斜坡信号，系统静态速度误差系数为k vlim sg( s)lim skks 0s 0s(ts1)(s 1)稳态误差为11esskk v例 8 单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如图3-4 所示。要求：1. 确定系统的开环传递函数。2. 求出系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差。c(t)0.31.31.0t00.1图 3-4解：1. 由图 3-4 所示系统的单位阶跃响应曲线，知系统的超调量及峰值时间分别为%30% ， t

8、p0.1s 。由超调量及峰值时间的计算公式，有1 2% e100% 30%t p0.112n解得0.36 ， n 33.7 rad/s。故系统的开环传递函数为21135.7g(s)ns( s 2n ) s( s 24.3)12. 单位斜坡输入信号 r ( t) t 1(t ) ，即 r(s)2 。因二阶系统稳定，故有系统的速度s静态误差系数为2k v lim sg( s)lim snn46.7s( s 2n )2s 0s 01essv0.02k v例 9系统结构图如图3-5 所示r(s)kc (s)s(0.1s1)(0.25s1)图 3-5求：1. 为使系统闭环稳定，确定 k 的取值范围。2.

9、 当 k 为何值时，系统出现等幅振荡，并确定等幅振荡的频率。3. 为使系统的闭环极点全部位于 s 平面的虚轴左移一个单位后的左侧，试确定 k 的取值范围。【分析】本题是考核劳斯判据的应用。当劳斯表第一列各元均大于零时，系统稳定； 当劳斯表出现某一行各元全部为零时，可能出现等幅振荡；而系统所有特征根均位于s1 的左侧， 称为稳定度为1 ，可先进行坐标轴的平移，然后再用劳斯判据判稳。【解答】1. 系统特征方程为s314s240s40k0列写劳斯表s3140s21440ks11440 40k14s040k根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于零，解得使系统稳定的k 的取值范围为0k142. 求 k

10、为何值时，系统出现等幅振荡，利用劳斯表求解。令劳斯表中 s1 行各元均为零，解得k14以 s2 行各元构造辅助函数，并将k14带入，有f ( s)14s 240k0解得sj 210当 k14 时，系统出现等幅振荡，等幅振荡的频率n210 弧度 /秒。3. 将虚轴左移一个单位，得新坐标系s1s1 。将 ss11 带入特征方程(s11) 314(s11) 240(s11)40k03215s140k270s111s1列写劳斯表s13115s121140k27s1119240ks101140k27令劳斯表中第一列各元均大于零19240k11040k270解得使系统的闭环极点全部位于s 平面的虚轴左移一

11、个单位后的左侧的k 的取值范围为0.675k4.83-37已知系统结构图如图3-69 所示。（1）求引起闭环系统临界稳定的k 值和对应的振荡频率；（2）当 r (t) t 2 时，要使系统稳态误差 ess 0.5 ，试确定满足要求的k 值范围。解（1）由系统结构图12se(s)s( s2)s2 ( s1)e (s)r(s)2ks(s1)( s2)2k1s(s1)(s 2)d (s)s33s22s2k系统稳定时有d ( j)0令re d( j)322k0联立解出k3im d ( j)3202（2）当 r (t )t 2时， r( s)2s3esslim sr(s)e (s)2s2 ( s1)1l

12、im s3s0s 0ss(s1)( s2)2kk令 ess1，有k2，综合系统稳定性要求，得：2 k3。k53-38系统结构图如图3-70 所示。已知系统单位阶跃响应的超调量% 16.3 %，峰值时间 t p1s。（1）求系统的开环传递函数g (s) ；（2）求系统的闭环传递函数(s) ；（3）根据已知的性能指标% 、 t p 确定系统参数 k 及；（4）计算等速输入 r (t )1.5 t ( ) s 时系统的稳态误差。10解 （ 1）g (s)ks(s1)10k10ss( s101)1s(s1)g( s)10k2（2）(s)n1g( s)s2(101)s10ks22n s2no oe121

13、6.3 o o0.5（3）由t p1联立解出n3.63n 120.2 6 3由（ 2） 10k23.63213.18，得出k1.318。n（4）k v10k13.183.63lim sg(s)s 0101100.2631essa1.5k v0.4133.633-39系统结构图如图3-71 所示。（ 1）为确保系统稳定，如何取 k 值？（ 2）为使系统特征根全部位于s 平面 s侧， k 应取何值？（3）若 r (t)2 t2 时，要求系统稳态误差1 的左ess0.25 ， k 应取何值？解50 kkg (s)v 1s( s 10)( s 5)（1）d ( s)3srouth：s1s0s315s2

14、50s50 k1501550k50(15 k )k151550kk0系统稳定范围：0k 15（2）在 d( s) 中做平移变换：ss1d (s )(s1) 315(s1)250( s1)50ks 312s 223s(50k36)s 3123s 21250k36routh：s 131250kk3126.241250s 050k36k360.720.72k6.2450满足要求的范围是：（3）由静态误差系数法当 r (t )2t2时，令ess20.25kk8。得综合考虑稳定性与稳态误差要求可得：8k15例 1已知系统的开环传递函数为kg(s) h (s)s( s1)(0.25s1)1. 绘制系统的根

15、轨迹图。2. 为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定k 的取值范围。解 :1. 绘制系统的根轨迹。系统的开环传递函数为g(s)h ( s)kk *s( s1)(0.25s1)s( s 1)(s4)其中 k *4k。 系统有三个开环极点：p10,p21,34，没有开环零点。将开环零、极点标p在 s 平面上。 根轨迹的分支数。特征方程为三阶，故有三条根轨迹分支。3 条根轨迹分支分别起始于开环极点p1 0 ，p21， p34 ，终止于开环无限零点。 实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为 ,4 和 1, 0 渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点nmpiz ji 1j11.67anm渐近线与正实轴

16、的夹角( 2k1)( 2k1)60 ,180 (k0， 1）am3n 分离点和分离角。根据分离点公式n1m1i 1 dpij 1 dz j1110dd1d4解得 d10.46 ， d 22.87 （舍去）。d 22.87 不在 0k时的根轨迹上，故应舍去。分离角d1。2 与虚轴的交点。将 sj代入系统闭环特征方程j ( j1)( j4) k *0( k *5 2 ) j( 43 ) 0实部、虚部为零4k *5解得2, k *20 ，即 kk *5 。43020根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-1 所示。2. 确定 k 的取值范围。与分离点 d10.46 相应的 k * 可由模值条件求

17、得3k *d1pid1d11d140.88i 1k *k0.224由 如 图4-1可 知 ， 使 系 统 的 阶 跃 响 应 呈 现 衰 减 振 荡 形 式 的 k 的 取 值 范 围 为0.22k5 。jk *5k *0.22p1p3p2o图 4-1三、已知控制系统的开环传递函数为（s）g( s) h (s)k2(s24s9) 2试概略绘制系统根轨迹。解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：, 2 渐近线：a2j52j5( 2)233a(2k1),33图 3 根轨迹图 分离点：2212j5d2j5d2d解之得： d3.29 d0.71(舍去 )与虚轴交点：闭环特征方程为d ss24s9)2k（

18、 s）0( ) (2把 sj 代入上方程，令re(d ( j)4342812k0im( d ( j)(72k)830解得：21k96起始角：90（2p290 ）（2k1）1解出p145 , p 2135根轨迹如图解3 所示。例 2设系统结构图如图6-2 所示。r(s)ky(s)s(s1)图 6-2要求系统在单位斜坡输入信号作用时，稳态误差ess 0.1，开环系统截止频率c 4.4rad/s，相角裕度45o，幅值裕度20 lg h10db 。解：1. 先确定开环增益k 。k v lim sg( s)lim skks( ss 0s 01)110.1esskk v所以 k 10。取 k 10。2.

19、作 k10 时未校正系统的开环对数频率特性如图6-3 中 l0 所示。l()-20lc0k1c 0c-40-40l0l0o-90o-180o0图 6-3由图列写直线方程20 lg 1040 lgc011c 03.16 rad/s0 18090tan 1c 0 17.63. 在未校正对数幅频特性上，取c4.4m频率点处幅值为10 lg a ，以确定 a 值。40lg 4.410 lg a10得 a3.75 ，取 a4 。那么110.114tma 4.44故校正环节的传递函数为1ats10.456sgc ( s)1ts10.114s校正后系统的开环传递函数为：g( s)gc( s)g0 (s)10

20、(0.456s 1)1)(0.114s 1)s( s4. 验算。显然，已校正系统的截止频率c4.4 rad/s。校正后系统的相角裕度为180 90arctan carctan0.456 carctan0.114 c 49.7 45幅值裕度 20 lg h。全部性能指标均已满足。例 3单位负反馈系统的开环传递函数为g0 ( s)500ks(s1)采用超前校正，使校正后系统速度误差系数k v100 /s，相角裕度 45o。解：系统的开环传递函数为100kg0 ( s)ss(1)1. 确定开环增益。k v lim sg0 (s)100klim s100k 100s 0s 0ss(1)5k1绘制待校正

21、系统的对数幅频如图6-4 所示。l ()-20lc10005c0c-40-40l0l图 6-4开环传递函数为100g0 ( s)ss(1)1005g0 ( j)100 55截止频率为c 050022.4 rad/s相角裕度为0180g0 ( jc 0 )18090tan 1 0.2 c012.645设超前校正网络的传递函数为1atsgc ( s)1ts2. 确定需要补偿的相位超前角。m0 (5 10 ) 45 12.6 7.6 403. 计算 a 。1sina1sinm4.6m4. 将未校正系统幅频曲线上幅值为20 lga10 lg a 处的频率作为校正后的截止频c ，并令cm1率，确定 t

22、值。ta10lg a40lgcc 010lg 4.640lgc22.4c 32.8 rad/s11t0.0141ca32.84.6超前校正网络的传递函数为10.0634sgc ( s)0.0141s1校正后系统的开环传递函数为：g( s) gc ( s)g0 (s)100(0.0634s1)1)(0.0141s1)s(0.2s5. 验算。校正后系统的相角裕度为18090tan 1 0.0634ctan 1 0.2ctan 1 0.0141 c48.245全部性能指标均已满足。5-24某最小相角系统的开环对数幅频特性如图5-82 所示。要求（ 1）写出系统开环传递函数；（ 2）利用相角裕度判断系

23、统的稳定性；（ 3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。解 （ 1）由题 5-29 图可以写出系统开环传递函数如下：g (s)10sss(1)(1)0.120（ 2）系统的开环相频特性为( )90arctanarctan0.120截止频率c0.1 101相角裕度180( c ) 2.85故系统稳定。（ 3）将其对数幅频特性向右平移十倍频程后，可得系统新的开环传递函数g(s)100ss(s1)1)(200其截止频率c110 c10而相角裕度1180( c1 )2.85故系统稳定性不变。由时域指标估算公式可得o10.160.4 (1) =osino1ok 0k00.1t s1t s10cc1所以，系统的超调量不变，调节时间缩短，动态响应加快。5-34设单位反馈系统的开环传递函数为g( s)ks( s1)( 0.25s1)要求校正后系统的静态速度误差系数v 5(rad/s)，相角裕度 45，试设计串联迟后校正装置。解g(s)ks（ i 型系统）s(s1)(1)4取kk v5校正前c52.236