CH171状态变量法

1、,1,基本概念,一,.,状态变量,x,分析动态过程的独立变量。,选定系统中一组,最少数量,的变量,X,=,x,1,x,2,x,n,T,，,如果当,t,=,t,0,时这组变量,X,(,t,0,),和,t,?,t,0,后的输入,e,(,t,),为已知，,就可以确定,t,0,及,t,0,以后任何时刻系统的响应。,X,(,t,0,),e,(,t,),t,?,t,0,称这一组最少数目的变量为状态变量。,Y,(,t,),t,?,t,0,第十七章,状态变量法,),30,sin(,20,),(,0,),0,(,3,),0,(,o,?,?,?,?,t,t,e,i,V,u,L,C,?,已知,输出,:,u,L,i,

2、C,u,R,i,R,选状态量,u,C,，,i,L,解,由,V,10,),0,(,0,),0,(,V,3,),0,(,?,?,?,e,i,u,L,C,u,L,(0)=7V,i,C,(0)= -1.5A,i,R,(0)=1.5A,u,R,(0)=3V,例,R,u,L,C,e,(,t,),+,-,u,C,i,L,i,C,u,R,+,-,+,-,+,-,L,i,R,2,?,推广至任一时刻,t,1,),(,),(,),(,1,1,1,t,e,t,i,t,u,L,C,u,L,(,t,1,)=,e,(,t,1,),-,u,C,(,t,1,),u,R,(,t,1,)=,u,C,(,t,1,),i,C,(,t,

3、1,)=,i,L,(,t,1,),-,u,C,(,t,1,)/R,i,R,(,t,1,)=,u,C,(,t,1,)/R,可由,可见当,t,=,t,1,时,u,C,，,i,L,和,t,?,t,1,后的输入,e,(,t,),为已,知，就可以确定,t,1,及,t,1,以后任何时刻系统的响应。问题是,t,1,时刻的状态量要求出来。,二,.,状态方程,?,求解状态变量的方程,设,u,C, i,L,为状态变量,R,u,i,t,u,C,i,C,L,C,C,?,?,?,d,d,C,L,L,u,t,e,t,i,L,u,?,?,?,),(,d,d,列微分方程,R,C,e,(,t,),+,-,u,C,i,L,+,-

4、,L,i,C,+,-,u,L,改写,L,C,C,i,C,u,RC,t,u,1,1,d,d,?,?,?,),(,1,1,d,d,t,e,L,u,L,t,i,C,L,?,?,?,矩阵形式,),(,1,0,0,1,1,1,d,d,d,d,t,e,L,i,u,L,C,RC,t,i,t,u,L,C,L,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,=,x,1,x,2,x,n,T,?,?,?,?,T,2,1,n,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,式中,?,?,?,?,?,?,u,B,x,

5、A,x,?,?,?,一般形式,n,?,n,n,?,r,L,C,C,i,C,u,RC,t,u,1,1,d,d,?,?,?,),(,1,1,d,d,t,e,L,u,L,t,i,C,L,?,?,?,特点,(,1,),联列一阶微分方程组,(,2,),左端为状态变量的一阶导数,(,3,),右端仅含状态变量和输入量,n,?,1,r,?,1,三,.,输出方程,),(,0,0,0,1,0,/,1,0,1,1,/,1,0,1,t,e,i,u,R,R,i,u,i,u,L,C,R,R,C,L,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

6、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,特点,(1),代数方程,(2),用状态变量和输入量表示输出量,一般形式,y,=,C,x,+,D,u,R,u,L,C,e,(,t,),+,-,u,C,i,L,i,C,u,R,+,-,+,-,+,-,L,u,L,=,e,(,t,),-,u,C,(,t,),u,R,(,t,)=,u,C,(,t,),i,C,(,t,)=,i,L,(,t,),-,u,C,(,t,)/R,i,R,(,t,)=,u,C,(,t,)/R,四,.,归纳几点,(1),状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于,独立的储能元件个数。,(3),状态变量的选择不唯一。,(2

7、),一般选择,u,C,和,i,L,为状态变量，也常选,?,和,q,为状,态变量。,选,u,C,和,d,u,C,/d,t,为状态变量,R,C,e,(,t,),+,-,u,C,i,L,+,-,L,),(,d,),d,d,(,d,t,e,u,t,R,u,t,u,C,L,C,C,C,?,?,?,),(,d,d,d,d,2,2,t,e,u,t,u,R,L,t,u,LC,C,C,C,?,?,?,令,x,1,=,u,C,x,2,=d,u,C,/d,t,即,),(,1,0,1,1,1,0,2,1,2,1,t,e,LC,x,x,RC,LC,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

8、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,则,),(,1,1,d,d,1,d,d,d,d,2,2,2,2,1,t,e,LC,u,LC,t,u,RC,t,u,x,x,t,u,x,C,C,C,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,1,x,2,R,C,e,(,t,),+,-,u,C,i,L,+,-,L,),(,d,d,d,d,2,2,t,e,u,t,u,R,L,t,u,LC,C,C,C,?,?,?,2,状态方程的列写,一,.,直观法,选,u,C, i,1,i,2,为状态变量,2,1,C,d,d,i,i,t,u,C,?,?,?,S,C,u,R,i,i,u,t,i,L

9、,?,?,?,?,1,2,1,1,1,),(,d,d,R,1,-,+,u,S,C,u,C,i,S,i,R,R,2,i,2,L,2,L,1,-,+,i,1,2,2,1,2,1,2,2,),(,),(,d,d,R,i,i,u,R,i,i,u,t,i,L,S,S,C,?,?,?,?,?,?,含,d,u,C,/d,t,电容节点列,KCL,含,d,i,L,/d,t,电感回路列,KVL,例,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

10、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,S,S,C,C,i,u,L,R,L,L,i,i,u,L,R,R,L,R,L,L,R,L,R,L,C,C,t,i,t,i,t,u,2,1,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,1,1,1,1,2,1,1,0,1,0,0,1,1,1,1,0,d,d,d,d,d,d,例,2,L,3,i,3,u,S,R,6,R,5,C,2,C,1,L,4,+,-,i,5,i,6,i,4,+,-,+,-,u,1,u,2,选,u,1, u,2, i,3,i,4,为状态变量,4,5,1,1,d,d,i,i,t,u,C,?

11、,?,5,6,2,2,d,d,i,i,t,u,C,?,?,S,u,R,i,u,t,i,L,?,?,?,6,6,2,3,3,d,d,1,2,6,6,4,4,d,d,u,u,R,i,u,t,i,L,S,?,?,?,?,消去非状态量,i,5,i,6,i,5,= (,u,2,-,u,1,),/R,5,i,6,=,i,4,-,i,3,代入上式，整理,S,u,L,L,i,i,u,u,L,R,L,R,L,L,L,R,L,R,L,C,C,C,R,C,R,C,C,R,C,R,i,i,u,u,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

12、,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4,3,4,3,2,1,4,6,4,6,4,4,3,6,3,6,3,2,2,2,5,2,5,1,1,5,1,5,4,3,2,1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,?,?,?,?,二,.,叠加法,(1),将电源、电容、电感均抽到,网络外。,(2),电容用电压源替代，电感用电,流源替代。,(3),用叠加定理求,i,C, u,L,。,则,u,S,、,i,S,、,u,C,、,i,L,共同作用下的,i,C, u

13、,L,为：,i,C,= a,11,u,C,+a,12,i,L,+,b,11,u,S,+ b,12,i,S,u,L,= a,21,u,C,+a,22,i,L,+,b,21,u,S,+ b,22,i,S,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,S,S,L,C,L,C,i,u,b,b,b,b,i,u,a,a,a,a,u,i,22,21,12,11,22,21,12,11,u,C,u,S,R,R,+,i,S,i,L,+,+,例,3,设,u,C,1,、,u,C,2,、,i,L,为状态变量,(1),u,C,1,单独作用

14、,i,L,=,0,，,i,S,=,0,，,u,S,=,0, u,C,2,=,0,求：,i,C,1,，,i,C,2, u,L,。,解,2,1,1,1,R,R,u,i,C,C,?,?,?,1,C,L,u,u,?,?,R,1,R,2,u,C,1,i,C,1,i,C,2,u,L,i,S,R,1,R,2,u,S,u,C,1,u,C,2,i,C,1,i,C,2,L,u,L,i,L,2,1,1,2,R,R,u,i,C,C,?,?,R,1,R,2,u,C,2,i,C,1,i,C,2,u,L,(2),u,C,2,单独作用,i,L,=,0,，,i,S,=,0,，,u,S,=,0, u,C,1,=,0,求：,i,C

15、,1,，,i,C,2, u,L,。,2,1,2,1,R,R,u,i,C,C,?,?,2,C,L,u,u,?,2,1,2,2,R,R,u,i,C,C,?,?,?,R,1,R,2,i,C,1,i,C,2,u,L,i,L,L,C,i,i,?,1,0,?,L,u,L,C,i,i,?,?,2,(3),i,L,单独作用,i,S,=,0,，,u,S,=,0, u,C,1,=,0,，,u,C,2,=,0,求：,i,C,1,，,i,C,2, u,L,。,(4),u,S,单独作用,i,S,=,0,，,i,L,=,0, u,C,1,=,0,，,u,C,2,=,0,求：,i,C,1,，,i,C,2, u,L,。,(5

16、),i,S,单独作用,u,S,=,0,，,i,L,=,0, u,C,1,=,0,，,u,C,2,=,0,求：,i,C,1,，,i,C,2, u,L,。,i,C,2,R,1,R,2,i,C,1,u,L,u,S,2,1,1,R,R,u,i,S,C,?,?,?,0,?,L,u,2,1,2,R,R,u,i,S,C,?,?,R,1,R,2,i,C,1,i,C,2,u,L,i,S,2,1,1,1,R,R,i,R,i,S,C,?,?,?,0,?,L,u,2,1,2,2,R,R,i,R,i,S,C,?,?,?,u,C,1,u,C,2,i,L,u,S,i,S,t,u,C,C,d,d,1,1,t,u,C,C,d,

17、d,2,2,t,i,L,L,d,d,2,1,1,R,R,?,?,2,1,1,R,R,?,2,1,1,R,R,?,1,2,1,1,R,R,?,?,1,0,1,?,2,1,1,R,R,?,?,0,2,1,1,R,R,?,2,1,1,R,R,R,?,?,0,2,1,2,R,R,R,?,?,1,?,(6),整理成标准形式,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

18、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,S,S,L,C,C,L,C,C,i,u,R,R,C,R,R,R,C,R,R,R,C,R,R,C,i,u,u,L,L,C,R,R,C,R,R,C,C,R,R,C,R,R,C,t,i,t,u,t,u,),(,),(,),(,1,),(,1,0,1,1,1,),(,1,),(,1,1,),(,1,),(,1,d,d,d,d,d,d,2,1,2,2,2,1,1,1,2,1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,2,1,2,1,1,2,1,1,2,1,0,0,1),电容节点列,KCL ,电感回路列,KVL,3,d,d,2,1,1,R,L,C,u,i,t,

19、u,?,?,1,1,d,d,3,R,L,u,t,i,?,2,2,d,d,4,R,L,u,t,i,?,2),消去非状态量,u,R,1,，,u,R,2,-0.6,-0.4,0.6,0.4,-1.2,1.2,-1.2,1.2,u,C,i,L,1,i,L,2,e,(,t,),u,R,1,u,R,2,例,4,+,-,e,(,t,),2F,+,-,u,C,3,?,2,?,4H,3H,i,L,2,i,L,1,u,R,1,u,R,2,+,+,-,-,用叠加法,1,2,2,1,2,1,4,3,L,L,R,R,R,R,C,i,i,u,u,e,u,u,u,?,?,?,?,?,?,),(,1,.,0,2,.,0,1,

20、.,0,3,.,0,3,.,0,1,.,0,4,.,0,4,.,0,2,.,0,2,.,0,3,.,0,1,.,0,2,1,2,1,t,e,i,i,u,i,i,u,L,L,C,L,L,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,R,1,=,-,0.6,u,C,-,1.2,i,L,1,+1.2,i,L,2,+0.6,e,(,t,),u,R,2,=,-,0.4,u,C,+1.2,i,L,1,-,1.2,i,L,2,+0.4,e,(,t,

21、),3,d,d,2,1,1,R,L,C,u,i,t,u,?,?,1,1,d,d,3,R,L,u,t,i,?,2,2,d,d,4,R,L,u,t,i,?,=,-,0.2,u,C,+0.6,i,L,1,+0.4,i,L,2,+0.2,e,(,t,),.,3,i,L,1,=,-,0.6,u,C,-,1.2,i,L,1,+1.2,i,L,2,+0.6,e,(,t,),2,u,C,=,i,L,1,-,0.2,u,C,-,0.4,i,L,1,+0.4,i,L,2,+0.2,e,(,t,),.,4,i,L,2,=,-,0.4,u,C,+1.2,i,L,1,-,1.2,i,L,2,+0.4,e,(,t,),.

22、,3,状态方程的求解,时域解,频域解,状态方程标准形式为,两边取拉氏变换，得,解析解,数值解,Bu,Ax,x,?,?,?,其中为,A,、,B,常数矩阵,x,、,u,是,t,的函数,),(,),(,),0,(,),(,s,BU,s,AX,x,s,sX,?,?,?,?,),(,),0,(,),(,),(,s,BU,x,s,X,A,sI,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,0,0,1,I,单位阵,),(,),(,),0,(,),(,s,BU,s,AX,x,s,sX,?,?,?,?,),(,),0,(,),(,),(,s,BU,x,s,X,A,sI,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

23、?,1,0,0,1,I,单位阵,),(,),0,(,),(,),(,1,s,BU,x,A,sI,s,X,?,?,?,?,?,),(,L,),(,-1,s,X,t,x,?,用状态变量法求开关合上后,u,L,(,t,),。,解,1,d,d,5,.,0,C,L,C,u,i,t,u,?,?,C,L,u,t,i,?,?,20,d,d,2,.,0,例,5,已知,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,V,10,),0,(,),0,(,L,C,i,u,20V,i,L,0.2H,0.5F,1,?,u,C,+,-,+,-,+,-,u,L,先列状态方程，求状态量,u,C ,i,L,。,u,C,i,L,u,L,20,-,u,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?