常见分布的期望和方差

1、常见分布的期望和方差分布类型槪率密度函数期望04 分布 B (1, p)P二项分布B (n, p)P严 PX = i = CAS- (g = l-p),(/ =1,2,.)np泊松分布P(入)Pi = f=夕訂(/ = 0 丄 2 3 )z!X均匀分布U (a,b)/(x) =或心)等b_atva + b2正态分布N一(严/(x) =(2 e -(-00 X 0)扌旨数分布E(X)0.x01才分布，z2()石,X、,相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1)才=益+益+丈n/分布7yxN(o.i)y ,(对 t=-=0概率与数理统计重点摘要X _卩1、 正态分布的计算：F(x) =P(X _x

2、) =：()。cr2、随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求丫二f(X)的概率密度：fY(y)=fx(x)h(y) h(y)。 (参见 P6672)x y,3、 分布函数F(x,y)f(u,v)dudv具有以下基本性质：、是变量x, y的非降函数；、0 乞 F(x,y)乞 1，对于任意固定的 x, y 有：F(-：, y) =F(x, -：) =0 ；、F(x, y)关于x右连续，关于y右连续；、对于任意的(x“ yj, (x2, y2),为2 二3c6f(x，旳 Ky F(H( x 4)($9)5、二维随机变量的边缘分布：fx(x)= O (x，y)dy边缘概率密度：J(y)

3、 = Jqf(x,y)dxx :Fx(x) = F(x,+o)=f(u,y)dydu边缘分布函数：二维正态分布的边缘分布为一维正态y :Fy($)二 F (y). ；f(x,v)dxdv分布。6、 随机变量的独立性：若F(x, y) =Fx(x)FY(y)则称随机变量X，丫相互独立。简称 X与丫独立。bobo7、 两个独立随机变量之和的概率密度：fz(z) = . fx(x) fY(z-x)dx = . fY(y) fx(z- y)dy其中Z= X+ 丫2 2 2 28、 两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z =aX +bYL N(ai +屮24円+b )。9、期望的性质： (3

4、) 、 E( X + Y)=巳X)+ E( Y) ( 4)、若X，丫相互独立，则E(XY) =E(X)E(Y)。10、 方差：D(X) =E(X2) -(E(X)2。 若 X，丫 不相关，则 D(X * Y)二 D(X)，D(Y)，否则D(X Y) =D(X) D(Y) 2Cov(X,Y), D(X -Y) =D(X ) D(Y) - 2Cov(X ,Y)11、协方差：Cov(X,Y)二 E(X - E(X)(Y - E(Y)，若 X, Y 独立，则 Cov(X,Y) =0，此时称：X 与Y不相关。12、相关系数：Cov(X，Y) Cov(XY)二(X)匚(丫)D(X) .D(Y)?XY_1

5、,当且仅当 X与丫存在线性关系时(1,当 b0;认“，且_1,当 b0ok13、k阶原点矩：vk=E(X )，k阶中心矩：二E(Xk-E(X) o14、切比雪夫不等式:PX E(X) ZsJ 兰D,或PX-E(X) V計兰1-o贝努利大数定律.nmP 行P jiIn15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因P120、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243和P2481n_0I i rP 瓦 Xj 卩 e j16、独立同分布序列的中心极限定理:(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和X i的分布近似于正态分布N(nA,n-2) o、对于 X1, X2,.Xn丄Xin i d1，有 E( X)=-x1D(X)厂 D(Xi)n imn2r，即独立同分布的随机变量的n均值当n充分大时，近似服从正态分布N(-)n、由上可知：nmPdz-；：(b) _(a)= Pa ： Zn 乞 b?(b)_(a)。m是n次独立重复试验中事件 A发生的次数，p是事件A发生的概17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设 率，则对任意X,m 一 np丿不廿亠 “lim Px jJ(x)，其中 q =1 - P。j . ,npq（2）、当n充分大