三参数四参数曲线拟合

1、正弦曲线拟合的三参数法与四,参数法,正弦曲线拟合的意义,由正弦波形的采样序列获得其拟合正弦曲线函,数，是一种基本信号处理方法，在许多场合下获得,了应用，如评价数据采集系统的有效位数、采集速,率、交流增益、通道间延迟、触发特性等，在调制,信号的数字化解调和失真度测量中，也有应用。,曲线拟合的一般过程,正弦信号,采样,A/D,变换,信号处理,拟合正弦曲线,数学上，幅度、频率、相位和直流偏移,4,个参数,可以唯一确定一条正弦曲线。曲线拟合的目的就是,通过分析输入的正弦信号，得到正弦波形的四个参,数值，从而得到拟合曲线。,在已知输入正弦波形的前提下，怎样确定它的,4,个参数呢？,正弦曲线拟合的总体思路

2、,主要是通过改变拟合正弦函数的幅度、频率、,相位和直流偏移，使拟合函数和采样序列各点的残,差平方和最小，从而获得正弦波形序列最小二乘拟,合结果。,正弦曲线拟合的总体思路,假设采样点数是,L,，采样数据是,D(I),，,I: 0,1,L,-1,拟合函数是,S(t),=Asin(2ft+p)+C,则残差的平方和为,为采样时间间隔,拟合的目的就是找到让,E,最小的四个参数,A,、,f,、,p,、,C,1,2,0,E,D(I),S(I,t),L,I,?,?,?,?,?,?,t,三参数法简介,三参数正弦曲线拟合，特指信号频率已知时获,取幅度、相位和直流偏移的波形拟合方法，它是一,种闭合算法，无须迭代即能

3、获得结果，没有收敛问,题，具有良好的实用性。,三参数法的算法,在标准,IEEE std1057-2007 IEEE Standard for,Digitizing Waveform Recorders,的,Annex A,中给出,了一种三参数正弦拟合的算法。,三参数拟合算法示例,设理想正弦信号为,三参数正弦波曲线拟合过程，即为输入信号的数字角频率已知，选取或,寻找,A,，,B,，,D,，使下式所述残差平方和最小：,则，参数,A,，,B,，,D,即为,A,0,，,B,0,，,D,0,的最小二乘拟合值。为寻找出,A,，,B,，,D,，构造矩阵,0,0,0,0,0,0,y(t)=C,cos(2,ft

4、+,)+D,=A,cos(2,ft)+B,sin(2,ft)+D,n,2,i,i=1,E=,y,-Acos(,i)-Bsin(,i)-D,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cos(,),sin(,),1,cos(2,),sin(2,),1,cos(,),sin(,),1,M,n,n,0,A,x,=,B,D,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,n,y,y,y=,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,三参数拟合算法示例,残差平方和用矩阵表示为：,当式,E,最小时可得,x,0,的最小二乘解为：,拟合函数的幅度和相位表达形

5、式为：,其中：,T,0,0,E=E(,)=(y-Mx,)(y-Mx,),T,-1,T,0,x,=(M,M),(M,y),?,y(i)=Ccos(,i+,)+D,2,2,C=,A,+B,arctan(,);A,0,arctan(,),;A,0,B,A,B,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,三参数拟合算法示例,拟合残差为：,拟合残差有效值为：,其中：,由于这是一种闭合算法,因而收敛是肯定的。,i,i,r,=y,-Acos(,i)-Bsin(,i)-D,?,E,E,n,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,1,(y,y(i),),n,n,i,i,i,i,E,r,四

6、参数法,当正弦信号的四个参数都不知道时，一般采用,四参数法进行拟合。四参数法也是最常用的一种正,弦波拟合方法。与三参数正弦曲线拟合不同，四参,数正弦曲线拟合是一个非线性迭代过程，没有解析,公式可以直接应用获得结果，需要计算初始值进行,迭代。,初始值的重要性,初始值的精确度对于迭代结果有着很重要的影,响。较大的初始误差将导致迭代发散，或收敛到局,部最优值而非总体最优值上。,获取初始值的基本方法,频率,f,：,(1) fft/dft,(2),通过分析信号过零点的时间间隔估计频,率,幅值,A,：,峰峰值除以,2,直流偏移,C,：,(1),计算信号一个周期的平均值,(2),信号最大值与最小值之和除以,

7、2,相位,p,：,D(0)-C,p=arcsin(,),A,四参数拟合的算法,四参数拟合有很多种算法。,IEEE,学会在标准,IEEE std1057-2007 IEEE Standard for Digitizing,Waveform Recorders,的,Annex A,中给出了一种方,法，包括两种基本算法：一种通过矩阵运算，另一,种通过迭代过程，二者均需要良好的初始条件估计。,四参数拟合的经典算法简介,牛顿法：,该方法是基于一阶泰勒展开与误差修正技,术相结合的产物，搜索终止的判据可以是参数增量，,或残差平方和。,顺序搜索法：,顺序对每一个参数在初始值上使用增,量搜索法寻找其最优点。,牛

8、顿法简介,牛顿法是对方程四个参数求偏微分，得到,E,对给,定系数的增量的泰勒级数展开式。用增量对初始值,进行校正，以此方法进行多次迭代，直到相关系数,不再增大，或者设定一个迭代的次数，就可以得出,四个值的最终结果。,四参数拟合的算法简介,顺序搜索法有一种算法是将四参数拟合过程拆,分成两步走，可以避免四参数非线性迭代带来的收,敛问题。该算法使用一种非线性迭代方法获得信号,频率估计值，然后在已知频率情况下，使用三参数,最小二乘拟合算法获得最终结果。本质上是一种三,参数方法。,四参数顺序搜索算法示例,(,),令,i = 1 ,确定估计信号频率的大致区间,.,对于常见的等间隔采样,转步骤,(,) ;,

9、对于非等间隔采样,直接转步骤,(,) .,(,),利用,D F T,或,F F T,计,算信,号频率,设,为,d,令迭代区间频,率下限,，迭代区间频率上限,(,其中,c,为时钟频率, N,为,D F T,或,F F T,的长度,) ,转步骤,(,) .,(,),观察采样序列过零点时刻,设第,m,个过“,零点”,(,零点指采样,序列的均值位置,),时刻在区间,t,km,t,km+1,中,而第,L(LM),个过,“,零点,”,时刻在区间,t,kl,t,kl+1,中,令,，,其中,m , l,为整数,转步骤,(,).,(,),令,从区间,0l,0h,中等间距的取,2 M + 1,个点,(,比如,M

10、= 5) ,利用三参数法分别计算出这些点对应的,A,1j, B,1j, C,1j,和残差平方和,E,1j,( j = 1 , 2 , 3 , 2 M + 1) .,(,),比较,(,),中,2 M + 1,个残差平方和,并找出最小残差平方和,对应频率,(,记为,1,),、,正弦幅度,(,记为,A,1,),、,余弦幅度,(,记为,B,1,),以及直流偏移,(,记为,C,1,) .,这就是正弦信号四参数的第,1,次估计值,其中,频率估计的最大偏差,=,0,/ M .,(,),令,i = i + 1 ,(,),从区间,il,ih,中等间距地取,2 M + 1,个点,分别计算出这些,点对应的,A,ij

11、, B,ij, C,ij,和误差平方和,E,ij,.,(,),比较,(,),中,2 M + 1,个误差平方和,并找出最小误差平方和,对应的四个参数,(,分别记为,i, A,i,B,i,和,C,i,) ,这就是正弦信号四参,数第,i,次的估计值,其中,频率估计的最大偏差,=,0,/ M,i,.,(,),重复,(,),(,) ,直到找到满足精度要求的信号频率,将其,记为,同时将与它对应的其他三个参数记为,A , B , C ,那么, A ,B , C,这四个参数就是正弦信号四参数的估计值,.,其中,频率估计的最,大误差为,max,=,0,/ M,i,步骤,(,),(,),给出了四参数估计法的一般步

12、骤和频率估计的最,大误差,max,可知,可以通过增大估计次数,i,来提高估计精度,四参数拟合的算法简介,还有学者使用遗传算法实现总体最优估计，以,此实现四参数正弦参数的最小二乘估计，由于遗传,算法原理本身可保证实现全局最优逼近，可避免收,敛到局部最优点上，从而具有良好的收敛性。,拟合误差,有很多因素会影响到拟合参数的精确度。序列,长度、采样序列中含有的波形周期个数、采样量化,误差、非线性误差等条件，都限制和影响了正弦参,数的估计。,影响不确定度的因素,(1),波形采集速率。,(2),波形测量通道间延迟时间差。,(3),采样序列的噪声及非谐波失真。,(4),采样序列的抖动。,(5) 4,参数正弦

13、波拟合软件造成的测量不确定度，主要由于软件收敛,判据、舍入误差、累积误差等造成；,(6),另外，采集序列长度的变化、采集序列中所含信号的周期个数的,变化，也将给测量带来影响，它们将体现在上述各项不确定度的分,量中，不单独列出。,拟合参数的最小误差界,John P,. Deyst1995,年给出了正弦波四参数最小,二乘拟合算法获得参数的误差界，使用蒙特卡罗搜,索仿真法等对于各种可以想象的条件变化进行了细,致研究，并分别以经验公式、误差界曲线等形式，,给出了,4,个拟合参数随谐波次数和幅度、噪声、抖动、,序列长度、序列所含信号周期个数等条件参量变化,的规律。基本结论是：拟合获得的,4,个参数的误差

14、界,随着谐波阶次、序列长度、序列所含信号周期个数,增大而变窄，随着谐波幅度、噪声、波形抖动的降,低而变窄。每个参数的误差界应该在一个确定区间,内变化，最小误差界即是其,Cramer-Rao,界。,拟合参数的最小误差界,Cramer-Rao,界：在四参数正弦波拟合中，误差界的,指数表达式给出了拟合参数误差随着信号周期个数,和谐波阶次变化而变化的一个公式。,h,1.2,h,1.25,0,h,1.25,h,1.21,1.1,A,0.9,max|,N|=,(nh),A,A,A,1,max|,|=,A,(Nh),A,A,180,max|,p|=,(Nh),A,A,C,0.61,max|,|=,A,(Nh

15、),h,A,其中：,N,为采样的周期个,数，,n,为采样点数，,h,为,谐波次数（整数），,A,为,幅值，,p,为相位，,C,为直,流量。,拟合参数的不确定度,利用,Cramer-Rao,界，可以估计出谐波失真造成,的,4,个测量参数的不确定度。以,相位,为例，假设,h,次,谐波的幅值,造成的参数误差分别在各自的误差界,内均匀分布，则,给,带来的测量不确定度为：,h,A,h,A,p,0,m,h,p,h,1.25,Dp,A,180,u,(A,)=,=,(Nh),3,A,3,由于三角函数基之间的正交性，不同谐波,互不相关，所有谐波带来的总的不确定度为：,2,2,p,p,h,2.5,2,h,2,h,2,10800,u,=,u,(A,),(Nh),h,A,A,?,?,?,?,?,拟合参数的不确定度,同理也可以得到幅值和直流分量的不确定度。,2,2,h,A,A,h,2.5,h,2,h,2,A,u,=,u,(A,)=,3(Nh),?,?,?,?,2,2,h,C,C,h,2.42,3.52,h,2,h,2,0.124A,u,=,u,(A,)=,N,h,?,?,?,?,幅值,：,直流量,：,拟合参数的不确定度,对于,频率,不确定度的估计，可以做一下变换：,2,2,;,