机械动力学总结[高教课堂]

1、1,1-1 利用动态静力法进行动力分析 一、思路 动静法：,第一章 单自由度机械系统的动力学分析,根据达朗贝尔原理将惯性力计入静力平衡 方程，来求解未知力（如原动件上施加的力、约束反力等）。,用静力平衡方程解决动力学问题 基本方程为：,1,藤蔓课堂,2,二、典型实例 例1：已知： 求：角加速度 解：利用动静法拆开机构 轮1：有反力R，惯性力矩 ,M1 轮2：有反力R，惯性力矩 ,M2 则有方程： 得:,结论：,1、加惯性力（力矩）核心 2、约束反力 纽带 3、一个构件列一个受力平衡方程基础,2,藤蔓课堂,3,例2：已知从动件推程方程: 求：凸轮角加速度 解：忽略摩擦时反力R，沿法线方向 凸轮：

2、有反力R ，惯性力矩，M1 推杆：有反力R，惯性力矩，F2 则有方程： 得：,结论：,例1的角加速度是用传动比 例2的角加速度是用推杆位移方程,3,藤蔓课堂,4,例3：已知： 求：建立运动方程 解：设杆1转角 杆3位移 则有方程：,4,藤蔓课堂,5,1-2 利用等效力学模型法进行动力学分析 一、等效力学模型概念 1、思路,动能定理：,合外力所做功的增量=系统动能的增量,质点：,5,藤蔓课堂,6,1,2、实例：已知如图，构建动力学方程,等效力矩 Mv,等效转动惯量Jv,M,等效力学模型,6,藤蔓课堂,7,力矩与转速同向取正，反向取负,1.等效力矩 2.等效转动惯量 3.等效质量 4.等效力 以上

3、可以看出，这些等效参数仅与传动比有关，而与真实 速度无关。,为力与速度夹角,二、等效参数,7,藤蔓课堂,8,1.瞬心法 2.解析法 3.特例 齿轮传动，凸轮传动等,求传动比方法：,8,藤蔓课堂,9,根据动能定理 有： 1.微分形式 2.积分形式,的函数,的函数,三、方程形式,9,藤蔓课堂,10,例1.已知 求：角加速度 解：以构件1为等效件,四、典型实例,10,藤蔓课堂,11,例2. 已知从动件的推程方程 求：凸轮的角加速度（略杆的重力） 解：选凸轮为等效件,，,11,藤蔓课堂,12,例3.已知 求：建立系统运动方程（略m2，m2g） 解：选1为等效件,12,藤蔓课堂,13,例4.已知： ，略

4、重力及质量 求：1）启动力矩M1最小值； 2）如启动3秒后n1=600rpm，求M1。 解：1)选中心轮1为等效件,13,藤蔓课堂,14,若不忽略齿轮2，3的质量？,2）,a.若匀速转动M1 =？ b. 若去掉M1，多长时间停车？,14,藤蔓课堂,15,五、运动方程的求解 1. =常数,3） 为角速度的函数：,1） 为常数（用微分形式）：,2） 为转角的函数：,15,藤蔓课堂,16,2. 不为常数,1） =常数,2） ：利用积分方程,3） ：利用微分方程,16,藤蔓课堂,17,例1.已知： 求：1）由静止启动5秒时蜗杆1的角速度； 2）若 ，其它条件不变， 求蜗杆1的角速度。,解： 1）,17

5、,藤蔓课堂,18,2）分析,1,18,藤蔓课堂,19,例2.已知：弹簧压缩产生的力矩 求：断电后角速度为0时杆的转角,利用积分形式得：,19,藤蔓课堂,20,例3.已知：从动件推程方程 求：凸轮运动参数的变化规律 解：选凸轮为等效件,1,20,藤蔓课堂,21,练习：,已知：,求：运动方程,分析：选1为等效件,21,藤蔓课堂,22,1-3 利用拉格朗日法进行动力学分析 一、分析力学的基础知识 1.分析力学,22,藤蔓课堂,23,2.约束及分类、约束方程 约束： 分类：,双面约束（刚杆的约束） 单面约束（绳子的约束）,完整约束（几何约束） 非完整约束（运动约束）,稳定约束（定常约束） 非稳定约束（

6、非定常约束）,对位置进行限制的约束,-对速度、加速度进行限制,对构件的位置或运动进行限制,根据约束对限制的不同情况：,-不随时间变化而变化,-随时间变化而变化,-用等式方程表示的约束,-用不等式方程表示的约束,约束方程：,将约束条件用数学形式表示出来的方程,23,藤蔓课堂,24,5.理想约束：,6.广义坐标 ：,这里的广义坐标是杆1转角还是B点直角坐标,为什么？,在任意虚位移上系统约束反力所作元功 之和为零（略摩擦）,用以确定机构位置的一组独立参数,24,藤蔓课堂,25,7.自由度：,8.广义速度：广义坐标q 对时间t 的一阶导数,广义坐标的独立变分数目自由度数,在完整系统中，广义坐标数=独立

7、变分数=自由度数,25,藤蔓课堂,26,例：如图平面机械手,广义坐标：,m点坐标：,偏导数中广义坐标是相互独立的，均为时间t的函数,26,藤蔓课堂,27,9.广义加速度 ：,10.虚位移原理：,证明,稳定理想约束系统处于平衡的充分必要条件是在任一给定虚位移上，主动力所做元功之和为零。,27,藤蔓课堂,28,虚位移原理的表达形式：,形式1：,形式2：,形式3：,广义坐标表达式,广义力,28,藤蔓课堂,29,例1：已知如图，,广义力：,求广义力。,解：,29,藤蔓课堂,30,问题：如有力矩M是否影响广义力？,广义力应用的是虚位移原理，所以有影响。,30,藤蔓课堂,31,例2：已知,求：广义力,解：

8、自由度数=广义坐标数,取,31,藤蔓课堂,32,例3：,解：设A点虚位移,BC杆虚位移,CE杆位移,已知六杆机构中的力F，求平衡时的驱动力矩M。,虚位移原理应用,用于解决静力学问题,则：,32,藤蔓课堂,33,例4：已知,求：平衡时，,解：分析,取,因广义坐标为独立参数，不互相影响,轮4不动，轮1有虚位移，得：,轮1不动，轮4有虚位移，得：,1/9,8/9,33,藤蔓课堂,34,惯性力为 ，,11.动力学普遍方程（第一类拉格朗日方程）：,动力学普遍方程：具有理想约束的质点系运动时， 在任一瞬时作用在质点系上的所 有主动力和惯性力在任意虚位移 上所做的元功之和等于零。,若系统具有理想约束，并由n

9、个质点组成，,任一质点为 ，,主动力为 ，,根据虚位移原理在任一瞬时有：,34,藤蔓课堂,35,例：,用功率表示功,又,已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动，,求：运动与受力关系,分析：,35,藤蔓课堂,36,12. 第二类拉格朗日方程：,设理想、完整约束系统由n个质点组成，,上式变分得（变分运算如同微分运算，进行微分运算后， 将微分符号改为变分符号）,矢径对时间求导,有N个自由度，,系统中任一质点的矢径可表示为：,36,藤蔓课堂,37,将上式对 求偏导有：,将上式对t求全导数：,将第一类拉氏方程打开，有：,惯性力所做元功之和：,37,藤蔓课堂,38,和带入有：,引入系统动能：,得,38,

10、藤蔓课堂,39,由于广义坐标的变分都是独立的，因此上式中必有：,说明：,1、拉氏方程是一个由N个方程组成的二阶方程 组，其特点是不含约束反力。,2、拉氏方程是以能量的角度研究问题， 因此避免了加速度的分析。,3、方程表明了动能变化和主动力之间的关系。,拉氏方程：,39,藤蔓课堂,40,例1：已知标准齿轮标准安装，系统在水平面内运动 求：运动与受力关系,分析：系统具有一个自由度,又,二、利用拉式方程进行动力学分析,取,B,40,藤蔓课堂,41,例2.已知： 求：用拉格朗日方程动力学方程,解：系统一个自由度，取,系统动能：,则,41,藤蔓课堂,42,从虚功率角度求广义力,此机构的虚功率：,由拉氏方

11、程：,得:,也可由虚功来求Q1,42,藤蔓课堂,43,课堂练习,已知：,43,藤蔓课堂,44,1、等效法：,选H为等效件,等效力矩：,因为 为常数，选微分方程,44,藤蔓课堂,45,2、动力学普遍方程（拉氏一法）：,给定：,45,藤蔓课堂,46,3、拉氏二法：,取：,46,藤蔓课堂,47,广义力的求法一般有两种方法:,1、按广义力定义求解,2、采用虚功方法进行求解,由于采用虚功方法进行求解相比较而言容易一些，因此本课程中涉及到广义力的求解都是采用虚功方法。,47,藤蔓课堂,48,例：如图示机构，求平衡时,机构自由度数为3，构件1、4、7运动定义为广义坐标，即,平衡时，在平衡位置的虚功为零，又广

12、义力为零,可以求出三个未知数,分析：,48,藤蔓课堂,49,例：五杆机构，取,构件1由 控制， 构件4由 控制， 件2、3由 共同控制。,第二章 两自由度机构动力学分析,2-1 两自由度机构的运动分析,1.构件上某点速度：,上式也可以表示为：,分析：,称为类线速度（矢量）,49,藤蔓课堂,50,的物理意义：,当 时， 的大小、方向即为 的大小方向 量纲由广义坐标决定,2.构件角速度,注意：角速度在平面机构中为标量，在空间机构中为矢量,如研究杆2、杆3：,不是传动比,第i个件对广义坐标1，2的类角速度（标量）,的物理意义？,50,藤蔓课堂,51,2-2 利用拉格朗日方程建立两自由度机构 的动力学

13、方程,拉格朗日方程：,一、惯性系数,求1个构件动能：,51,藤蔓课堂,52,对于 ：,与 和 均相关件的质量和转动惯量才能计入，,则系统动能：,说明：,对于 ：,件i 的运动必须与 有关，,即与 相关件的质量和转动惯量才能计入，,惯性系数,为正；,可为正、为负、为零。,52,藤蔓课堂,53,例1：已知： 求：,分析：广义坐标可以设为：,则：,则：,53,藤蔓课堂,54,54,藤蔓课堂,55,例2：已知差动轮系,轮2、3质量略，H转动惯量略。 求：,分析：广义坐标可以设为：,则：,55,藤蔓课堂,56,56,藤蔓课堂,57,二、计算动能,用惯性系数表示的动能：,57,藤蔓课堂,58,则拉氏方程为

14、：,两个自由度的拉氏方程,58,藤蔓课堂,59,例3：已知：,求：建立运动方程,分析：选广义坐标:,则：,求类线速度:,59,藤蔓课堂,60,常数,60,藤蔓课堂,61,求广义力：,方程：,此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。,61,藤蔓课堂,62,例4：已知差动轮系中：,，各轮质量略。,分析：取广义坐标：,则：,求：,62,藤蔓课堂,63,方法1：,方法2：,同理,求：,即H不动，则：,即1轮不动，则：,求：,63,藤蔓课堂,64,计算广义力：,动力学方程：,差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。,64,藤蔓课堂,65,例5：已知：,重力略，建立运动方程。,分析：选广义坐标：,则：,

15、65,藤蔓课堂,66,计算广义力：,动力学方程：,66,藤蔓课堂,67,达郎伯原理,虚位移原理,动普方程,拉格朗日方程,例,第三章 多自由度机构的动力学分析,3-1 拉格朗日方程,67,藤蔓课堂,68,68,藤蔓课堂,69,3-2 多自由度机构的动力分析,一、运动关系,1、某构件运动与一个广义坐标相关,2、某构件运动与几个广义坐标相关,3、各构件在广义坐标下的表示,4、构件速度、角速度表示,5、构件质心的坐标、速度表示,类线速度,类角速度,69,藤蔓课堂,70,二、系统动能,70,藤蔓课堂,71,以平面4自由度为例(表格形式)：,71,藤蔓课堂,72,72,藤蔓课堂,73,的下标的含义：与i、

16、j广义坐标同时有关的构件的等效质量或惯量。,如,以3自由度第3个方程为例：,73,藤蔓课堂,74,空间任一运动的刚体,证明,74,藤蔓课堂,75,如果质心速度为零，刚体动量也为零,根据转动惯量计算公式,75,藤蔓课堂,76,系统动能：,三、系统势能,势能只与位置有关，即仅与广义坐标本身有关，因此在系统运动明确之后，势能也可求得，一般在拉格朗日方程中用“U”表示。,四、广义力,广义力一般用虚位移原理求得，如果系统仅有有势力做功，引入拉氏函数广义力为零（如一些震动系统）。引入拉氏函数后广义力不包括有势力,常见势能有哪些？,76,藤蔓课堂,77,例1：如图，已知各转动惯量、力矩,其余略，求动力学方程

17、,分析：系统自由度为：,设：,77,藤蔓课堂,78,广义力用虚功原理求解,动能均为角速度 (广义速度)的函数，,78,藤蔓课堂,79,注：轮系中，一般类角速度是定值。所以有惯性系数为定值。,79,藤蔓课堂,80,例2：如图，杆长已知，质心位置已知，各杆受力矩、转动惯量已知。建立系统动力学方程。,分析1：系统为平面N自由度开链机构，广义力为重力、外力矩和手爪部外力。,分析2：动能函数为质心速度、角速度函数，势能为广义坐标函数。,问题1：广义力如何求？,问题2：T或L函数的表达？,思考：动能、势能 的广义力表达式,80,藤蔓课堂,81,各杆转动部分仅与各自的广义坐标有关。,81,藤蔓课堂,82,广

18、义力:,通式:,82,藤蔓课堂,83,例3：如图已知：,其余略，求动力学方程。,83,藤蔓课堂,84,分析1：系统自由度数？,分析2：各构件与广义坐标关系,动力学方程：,84,藤蔓课堂,85,分析3：计算类角速度。,85,藤蔓课堂,86,系数如下：,86,藤蔓课堂,87,分析4：系统广义力？,87,藤蔓课堂,88,广义力求法：,轮系类问题：,1、以 为广义坐标求广义力,2、以 为广义坐标求广义力,3、以 为广义坐标求广义力,88,藤蔓课堂,89,开式链杆系统类问题：,89,藤蔓课堂,90,闭式多杆系统类问题：,求解方法：根据速度瞬心求解,虚位移,微小时间段,速比,瞬心,90,藤蔓课堂,91,第

19、四章 考虑摩擦时的动力学分析,4-1 利用机械效率进行动力学分析,一、典型实例： 已知各轮转动惯量、 力矩，动力分析?,分析：当无摩擦时，利用等效力学模型有：,则，微分方程为：,91,藤蔓课堂,92,有摩擦时：以能量角度进行分析,即功率传到轮2损失一部分，进一步传递到轮3又损失一部分，后抵消阻力矩做功。,定义为有摩擦的等效力矩,定义为有摩擦的等效转动惯量,二、功率流 当力的传递路线与功率流一致时乘以效率；当力的传递路线与功率流相反时除以效率。,92,藤蔓课堂,93,注意：,首先确定功率流；,注意效率乘除关系；,注意正反行程可能效率不同；,有些没有效率可用但考虑摩擦的问题不适用本方法。,93,藤

20、蔓课堂,94,例1：已知如图,分析：无摩擦,分析：有摩擦,若等效力矩大于零功率流由1到2，否则反之。,注意：正向、逆向时等效惯量也不同。,94,藤蔓课堂,95,例2：已知力矩如图均为驱动力矩,分析：无摩擦,分析：首先判断功率流向，即当1、2独立时，若1的角加速度大则功率由1流向2，否则反之。,分析：假设功率由1流向2，有：,95,藤蔓课堂,96,例3：已知力矩如图均为驱动力矩,分析：首先判断功率流向，方法同上。最终流向可能是到1、2、3、4、5，共5种可能。,96,藤蔓课堂,97,练习1：已知：,分析：首先判断功率流向。取3为等效件：,求有、无摩擦时轮3角加速度。,97,藤蔓课堂,98,图示机

21、构中， ，转动惯量为 ,若传动效率,求由静止启动到10秒时轮2的角速度？,练习2：,98,藤蔓课堂,99,分析：无摩擦时,1、2拆开后： 能量由2流向1,摩擦时,如果力矩1反向，结果？,99,藤蔓课堂,100,第五章 考虑构件弹性时的动力学分析,前面在进行动力学分析时，都是认为目标系统的够构件是刚性的（弹簧除外，一般对弹簧的研究一般都是仅计弹性不计质量），对于大多数情况下这种假设是合理的。,随着机械向轻量化方面的发展，有一部分机构，构件的刚度降低弹性增加，即在运动过程中有必要对“柔性”加以考虑，研究“柔性”变化系统运动学、动力学的影响。（有精度要求，同时铰链等间隙也不得不考虑在内）,齿轮轮齿啮

22、合过程中变形； 凸轮机构中从动件受力变形； 轴变形（振动）； 空间并联柔性机器人变形；,5-1 问题的提出,100,藤蔓课堂,101,思路：一般境况下，系统中具有弹性变化的构件，如果不考虑构件内部的阻尼，即构件的弹性能可以类似于弹簧势能（质量除外），这时可以对系统引入一个弹性势能进行动力学研究。,根据以上思想可以采用如下拉格朗日方程形似：,5-2 求解思路,101,藤蔓课堂,102,5-3 横向变形单元杆的动力学分析,一、单元杆 均质，单位长质量为、长为l 的杆，截面积A ，弹性模量为E，有纵向分布力f（x，t）和其上C点集中力FC，节点力 ，其变形分别为 。,分析：广义坐标可以设为,根据拉格

23、朗日方程，需要求出系统动能、势能和广义力。这些量的计算与节点变形、杆变形有关，因此需要求出系统（单元杆）的变形方程。,102,藤蔓课堂,103,考察系统（单元杆）的边界条件如下：,单元杆在节点上有两个边界条件，因此这里可以用一线性方程表示,103,藤蔓课堂,104,二、单元杆的动能 T,三、单元杆的弹性势能 U,104,藤蔓课堂,105,四、拉格朗日方程,矩阵形式：,105,藤蔓课堂,106,五、广义力,虚功：,106,藤蔓课堂,107,5-4 纵向变形的单元杆的动力学分析,一、杆的参数 均质，单位长质量为、长为l 的杆，弹性模量为E，有横向分布力f（x，t）和其上C点集中力FC，节点力 ，其

24、变形分别为 。,分析：广义坐标可以设为,根据拉格朗日方程，需要求出系统动能、势能，这些量的计算与节点变形、杆变形有关，因此需要求出系统（单元杆）的变形方程。,107,藤蔓课堂,108,考察系统（单元杆）的边界条件如下：,单元杆在节点上有四个边界条件，因此这里可以用一线性方程表示,108,藤蔓课堂,109,二、单元杆的动能 T,二、单元杆的弹性势能 U,单元杆的横向变形是由剪切变形和弯曲变形共同作用。由于剪切变形相对较小故而忽略，这里的推导仅考虑弯曲变形的作用。,109,藤蔓课堂,110,弯曲应变能：,110,藤蔓课堂,111,四、拉格朗日方程,矩阵形式：,111,藤蔓课堂,112,五、广义力,虚功：,112,藤蔓课堂,113,5-5 具有横向和纵向变形单元杆的动力分析,考察一具有横向和纵向变形的均质杆，如图：,分析：杆具有六个广义坐标，即横向和纵向叠加。,根据前面的方法，可以用矩阵形式表示杆的动力学方程：,11