[理学]自动控制原理第4章 线性控制系统的时域分析.ppt

1、第4章 线性控制系统的时域分析,控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及稳态性能直接表征了系统的优劣; 系统的时域响应可定性或定量分析系统的动态性能。 可以直接在时间域中对系统进行分析校正，具有直观，准确的特点。 可以提供系统时间响应的全部信息。 一般是先求取控制系统的闭环传递函数和测试输入信号的拉普拉斯变换，借助拉普拉斯反变换获得系统输出的时域响应，然后对所获得的响应结果进行时域分析。,4.1 引言,4.2 测试系统的输入信号与性能指标,一对控制系统性能的要求,1、系统应是稳定的； 2、系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求； 3、系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差要求。,二控制系统的

2、时域响应,动态响应：描述系统的动态性能。 稳态响应：反映系统的稳态精度。,4.2.1 控制系统的性能指标,1. 动态响应,指系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最终稳定状态的响应过程。,表现形式：衰减、发散或等幅振荡。,动态响应除提供系统稳定性的信息外，还可以提供响应速度及阻尼情况等运动信息。,衡量标准：稳态精度。,2. 稳态响应,指系统在典型信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式（输出状态）。,表现形式：稳态误差。,稳态响应除表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统有关稳态误差的信息。,三、 控制系统的性能指标,稳态性能指标、动态性能指标。,1. 稳态性能指标,用稳

3、态下系统的输出量的期望值与实际值之间的差值来衡量稳态误差。,表现形式：稳态误差。,误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。,2. 动态性能指标,1）延迟时间td,指响应曲线第一次达到稳态值c()的一半所需的时间。,2）上升时间tr,指响应曲线首次从稳态值c()的10%过渡到90%所需的时间。,3）峰值时间tp,指响应超过其稳态值到达第一个峰值所需的时间。,4）调节时间ts,指响应曲线到达并保持在稳态值5（或2）内所需的时间。,5）超调量%,指响应的最大值c(tp)超过稳态值c()的百分数，即,6）振荡次数N,指在调节时间ts内，c(t)偏离c()振荡的次数，即 。,4.2.2 常用测试输入信

4、号（典型输入信号）,1、典型输入信号：,指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。,2、典型输入信号应具备的条件：,（1）数学表达式简单，便于数学上的分析和处理； （2）易于在实验室中获得。,二、斜坡函数,A=1时，称为单位阶跃函数，记为l(t) 。R(s)=1/s。,B=1时，称为单位斜坡函数。,一、阶跃函数,r(t),0,三、抛物线函数,C=1时，称为单位抛物线函数。,t,t,t,0,0,r(t),四、脉冲函数,五、正弦函数,当 时，则称为单位脉冲函数。,t,r(t),t,4.3 一阶系统的时域分析,一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。,1、单位

5、阶跃响应,标准形式: 传递函数:,4.3.1 一阶系统的输出响应,说明：,当输入信号为理想单位脉冲函数，系统的输出称为单位脉冲响应。,2、单位脉冲响应,3、单位斜坡响应,跟踪误差为T。,4、单位抛物线响应,结果分析,输入信号的关系为：,而时间响应间的关系为：,4.3.2 一阶系统的性能指标,1、调整时间ts 经过时间3T4T，响应曲线已达稳态值的95%98%，可以认为其调整过程已完成，故一般取ts=(34)T。 2、稳态误差ess 系统的实际输出c(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即 3、超调量 一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调， 。,4.4 二阶系统的时域分析

6、,4.4.1 二阶系统的标准形式 典型的二阶系统的结构图如图3-1(a)所示, 它是由一个惯性环节和一个积分环节串联组成前向通道的单位负反馈系统。系统的传递函数为,令2n=K1K2/T, 1/T=2n, 则可将二阶系统化为如下标准形式:,(1),(2),图3-1 二阶系统结构图,对应的系统微分方程为,式中, 称为阻尼比, n称为无阻尼自振角频率。与式(3)对应的系统结构图如图3-1(b)所示。 二阶系统的动态特性, 可以用和n这两个参量的形式加以描述。这两个参数是二阶系统的重要结构参数。由式(2)可得二阶系统的特征方程为,所以, 系统的两个特征根(极点)为,随着阻尼比的不同, 二阶系统特征根(

7、极点)也不相同。,(3),4.4.2 闭环极点的分布,二阶系统的特征方程为,两根为,的取值不同,特征根不同。,其中,阻尼比、阻尼系数,无阻尼振荡频率、自然振荡频率,1. 欠阻尼(01) 当01时, 两特征根为,这是一对共轭复数根。 如图(a)所示。,其中,衰减系数,其中,阻尼振荡频率,2. 临界阻尼(=1) 当=1时, 特征方程有两个相同的负实根, 即 s1,2=-n 此时, s1, s2如图(b)所示。,3. 过阻尼(1) 当1时, 两特征根为,这是两个不同的实根, 如图(c)所示。,4. 无阻尼(=0) 当=0时, 特征方程具有一对共轭纯虚数根, 即,此时, s1, s2如图(d)所示。,

8、4.4.3 二阶系统的单位阶跃响应,响应曲线是由稳态分量和暂态分量两部分组成的衰减振荡曲线。,响应曲线是稳态值为1的无超调单调上升曲线。,响应曲线是不衰减的等幅振荡曲线。,响应曲线由稳态分量1和两个单调衰减的暂态分量组成，是一条无超调单调上升的曲线。,一般在0.40.8间响应曲线较好,响应曲线是由稳态分量和暂态分量两部分组成的发散振荡曲线。,图 3-2 二阶系统的单位阶跃响应曲线,典型二阶系统的两个特征参量阻尼比和自然频率 对系统的暂态过程具有重要的影响，其中阻尼比的影响更大。,在欠阻尼（01）时，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。通常取=0.40.8为宜，此时超调量适中，调节时间较短。在

9、临界阻尼和过阻尼（1）时，响应曲线变成单调上升的曲线，阻尼比越大，上升时间越长。若二阶系统的阻尼比不变， 变化，则其振荡特性相同，但响应速度不同， 越大，响应速度越快。,结论：,4.4.4 二阶系统的性能指标,1.定义,超调量 :,上升时间tr :,峰值时间tp：单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。,振荡次数N：在调整时间内响应过程穿越其稳态值C( ) 次数的一半定义为振荡次数。,调节时间：单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间。,，一般取,单位阶跃响应第一次达到其稳态值所需时间。,2.性能指标的计算,(1)上升时间,（2）峰值时间,由最大超调量的定义式和系统的阶跃响应式可得,即,（3）超调量,

10、由前面可知, 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线c(t)位于一对曲线,之内, 这对曲线称为响应曲线的包络线。可以采用包络线代替实际响应曲线估算过渡过程时间ts, 所得结果一般略偏大。若允许误差带是, 则可以认为ts就是包络线衰减到区域所需的时间, 则有,解得,（4）调节时间,若取=5%, 并忽略 时, 则得,根据振荡次数的定义, 有,当=5%和=2%时, 可得,（5） 振荡次数N,若已知%, 考虑到 , 即,求得振荡次数N与最大超调量之间的关系为,(3.36),(3.37),对典型二阶系统，选择参数使,4.4.5 二阶工程最佳参数,此时将 代入二阶系统标准式 ，则开环传递函数GK(s)和闭环传递

11、函数(s)可分别写成,根据暂态性能指标的定义，二阶系统单位阶跃响应的暂态性能指标为： 超调量 上升时间 调节时间,以上一组参数就是二阶工程最佳参数。,4.4.6 计算举例,例4-1：设控制系统结构图如图所示，其中 K 10。求该系统的(1)自然频率n ，阻尼比，超调量%和调节时间ts；（2）如果要求 0.707，应怎样改变系统参数 K值?,由图可求得系统的闭环传递函数为 与标准形式相对照 于是得 自然频率 阻尼比由 超调量 调节时间 (2）当要求 0.707时，由2n 1，得 由此可以看出，要实现二阶工程最佳参数的要求，必须降低开环增益.,得,解：,例4-2：设控制系统结构图如图所示。要求系统

12、的超调量等于15%，峰值时间为0.8s。试确定系统参数K和Td，并计算系统单位阶跃响应的上升时间tr和调节时间ts。,由图可求得系统的闭环传递函数为 与标准形式相对照得 及 由已知条件得 ， 即 解出 再由 解出 所以 最后计算得,解：,例4-4 原控制系统如下图所示，引入速度反馈后的控制系统如图(b)所示。已知在图(b)中，系统单位阶跃响应的超调量%=16.4%，峰值时间tp=1.14s，试确定参数K和Kt，并计算系统在(a) 和(b)的单位阶跃响应c(t)。,例3-25图,解：对于 图(b)系统，其闭环传递函数为 与典型二阶系统相比较，有 而已知%=16.4% tp=1.14s 根据 求得

13、,再根据,求得 将 代入(3-55)得 其单位阶跃响应为,对于系统(a)，其闭环传递函数为 与典型二阶系统比较有 系统的最大超调量 峰值时间 其单位阶跃响应为,4.4.7 二阶系统的脉冲响应,（1）无阻尼 脉冲响应,（2）欠阻尼 脉冲响应,（3）临界阻尼 脉冲响应,（4）过阻尼 脉冲响应,4.4.8 具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统的闭环传函具有如下标准形式,当 时，对欠阻尼情况,对应的性能指标为,闭环极点与零点的相对位置,闭环零点对二阶系统的过渡过程特性的影响,当阻尼比一定时，z值越小，则值越大，零点越靠近虚轴，系统的振荡性越强。反之， z值越大，则值越小，零点离虚轴越远，影响

14、也越小。由于闭环零点的存在，系统的振荡性增加。,结论： 1.闭环零点可以加速二阶系统的响应过程(起始段)； 2.使系统阻尼减小，超调量增大； 3.合理的取值范围为 。,4.4.9 二阶系统的性能改善,1. 利用系统结构参数与特征参数之间关系来改善性能,可得以下系统结构参数与特征参数之间的定性关系： 1）当01时，若开环放大系数K1或K1K2 ，则 ， T 使n ， 响应加快，调节时间ts ； 4）当1时，若系统的时间常数T1或T1T2，则 ，T ，n，过渡时间长，调节时间ts 。,例4-5 随动系统 ，K=16，T=0.25，(1)求系统的n；(2) ，%，nd和ts，(3) 若=0.5，求K

15、，计算%，nd和ts。,说明：超调量下降，而衰减比大幅度增加，说明振荡明显减弱，但调节时间不变，系统的瞬态响应性能得到改善。,2.利用速度反馈来改善性能,速度反馈控制可通过改变速度反馈参数d来调整阻尼系数，为改善系统的性能提供了另一个手段。,例4-6：在例4-1的系统中加入速度反馈，要求阻尼系数=0.5，且不改变结构参数K和T，确定d，求上例中的各项指标.,加入速度反馈后，超调量下降，衰减比增加，同时调节时间被进一步缩短，系统的瞬态响应性能得到较大改善。,在实际控制系统中，一般取0.40.8，对应的超调量在1.52%25%范围内。工程上，某些控制系统常取=0.707为二阶工程最佳参数。 需要指

16、出的是，由于各瞬态性能指标之间是相互关联的，有时是相互矛盾的，因此，二阶工程最佳参数不等于是实际系统所要求的最佳性能指标。例如，当要求控制系统更注重对参考输入有足够快速的跟随响应时，常取衰减比指标在4：110：1之间，而调节时间适当即可，也就是说，此时最短调节时间反而不是实际控制系统所要求的最佳性能指标。,4.4.10 扰动作用下的二阶系统分析,参考输入作用下系统的闭环传递函数无零点，然而，扰动作用下系统的闭环传递函数一般却是具有零点的。,一个具体例子，如图,4.5 高阶系统的时域分析,凡是用高于二阶的常微分方程描述输出信号与输入信号之间关系的控制系统, 均称为高阶系统。 严格地说, 大多数控

17、制系统都是高阶系统, 这些高阶系统往往是由若干惯性子系统(一阶系统)或振荡子系统(二阶系统)所组成的。由于高阶系统动态性能指标的确定是复杂的, 因此这里只对高阶系统时间响应进行简要的定性说明。,设高阶系统闭环传递函数的一般形式为,设此传递函数的零、极点分别为-zi(i=1, 2, m)和-pi(i=1, 2, , n), 增益为K, 则有,(3-4-1),令系统所有零、极点互不相同, 且极点有实数极点和复数极点, 零点均为实数零点。 当输入单位阶跃函数时, 则有,4.5.1 高阶系统对单位阶跃信号的时域响应,(3-4-2),式中, n=q+2r, q为实极点的个数, r为复数极点的个数。将式(

18、3-4-3)展成部分分式得,对上式求拉氏反变换得,(3-4-3),(3-4-5),由此可见, 单位阶跃函数作用下高阶系统的稳态分量为A0, 其瞬态分量是一阶和二阶系统瞬态分量的合成。 分析表明, 高阶系统有如下结论: (1) 高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数pj和k、nk决定。如果某极点远离虚轴(对应的衰减系数大), 那么其相应的瞬态分量比较小, 且持续时间较短。,(2) 高阶系统各瞬态分量的系数Ak、Bk和Ck不仅与复平面中极点的位置有关, 而且与零点的位置有关。当某极点pj越靠近某零点zi而远离其他极点, 同时与复平面原点的距离也很远时, 相应瞬态分量的系数就越小, 该瞬态分

19、量的影响就越小。极端情况下, 当pj和zi重合时(称这对重合的零极点为偶极子), 该极点对系统的瞬态响应几乎没有影响。 因此, 对于系数很小的瞬态分量, 以及远离虚轴的极点对应的快速衰减的瞬态分量常可以忽略。 于是高阶系统的响应就可以用低阶系统的响应去近似。,(3) 在系统中, 如果距虚轴最近的极点，其实部的绝对值为其他极点实部绝对值的1/5甚至更小, 并且在其附近没有零点存在, 则系统的瞬态响应将主要由此极点左右。 这种支配系统瞬态响应的极点就是系统的主导极点。一般高阶系统的瞬态响应是有振荡的, 因此它的近似低阶系统的主导极点往往是一对共轭的复数极点。,4.5.2 高阶系统的降阶,闭环主导极

20、点 在所有的闭环极点中，无闭环零点靠近而又距离虚轴最近的极点在单位响应中的对应分量既在t=0时刻具有最大的初值，又在全部响应分量中衰减得最慢，从而在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点称为闭环主导极点。,一般其它极点的实部绝对值比主导极点的实部绝对值大5倍以上时，则那些闭环极点可以略去不计，有时甚至比主导极点的实部绝对值大23 倍的极点也可以忽略不计，即在闭环传递函数中除去。 工程上往往只用主导极点估算系统的动态特性，即将系统近似地看成是一阶系统或二阶系统。,2. 偶极子 将一对靠得很近的闭环零、极点称为偶极子。 工程上，当某极点和某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级，就可认为这

21、对零极点为偶极子。 闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。,在对系统进行综合校正时，往往有意识地在系统中加入适当的零点，以抵消对系统动态响应过程影响较大的不利极点，使系统的动态特性得以改善。,4.5.3 零极点对阶跃响应的影响,1. 零点对阶跃响应的影响,具有零点的系统，其响应速度变快，上升时间、峰值时间减小，但系统的超调量会增大，并且这种影响会随零点接近虚轴而加剧。 如果闭环零点位于复平面的右半平面，将使系统响应过程变慢，超调量减小，系统对输入作用的反应不灵敏。,2. 极点对阶跃响应的影响,闭环非主导极点对系统单位阶跃响应总的影响是增大峰值时间

22、，是系统响应速度变慢，但可减小系统的超调量和调节时间，这种影响作用会随着闭环非主导极点接近主导极点而加剧。 对于闭环传递函数存在右极点的情况，系统时域响应是发散的，系统不稳定。,1.误差与偏差,4.6.1 误差与稳态误差的定义,系统输出量的期望值c0(t)与实际输出c(t)之差定义为反馈系统响应r(t)的误差信号，即,4.6 反馈系统的稳态误差及计算,对于单位反馈系统，其输入量r(t)的值即为输出量期望值，即,代入上式得,单位反馈系统的偏差和误差是相等的，偏差的稳态值ess就是系统的稳态误差ss ，即,偏差,对于非单位反馈系统,偏差为零时的输出量即为期望值，即,非单位反馈系统的偏差和误差之间并

23、不相等，但具有确定的关系。,稳态误差：反馈系统误差信号(t)的稳态分量，记作ss(t)。,动态误差：反馈系统误差信号(t)的暂态分量，记作ts(t)。,对稳定系统，,2.稳态误差,说明：,1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。,2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。,3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。,4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的着眼点（输入、输出点

24、）来定义。,5）影响系统稳态误差的因素有很多，如系统的机构、参数以及输入量的形式等。,4.6.2 给定输入信号作用下系统的误差分析,对于非单位反馈系统而言，有,令 系统的误差传递函数,对于稳定的系统，根据拉氏变换的终值定理和稳态误差的定义，系统的稳态误差为,稳态误差的大小与系统开环传递函数GK(s）以及输入信号R(s)的形式有关。,系统型别,1、稳态误差终值的计算,设系统的开环传函为,称为零型系统,称为 I 型系统,称为 II 型系统,系统的型别以 来划分,优点：1可以根据已知的输入信号形式，迅速判 断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。,2系统阶数m,n的大小与系统型别无关，且 不影响稳态误差

25、的数值。,2.利用终值定理计算,应用终值定理的条件是sE(s)在s右半平面及虚 轴上解析，或者说sE(s)的极点位于左半平面（包括坐标原点）。,3应用静态误差系数计算给定信号作用下的稳态误差,已知,定义 位置误差系数,1）对于0型系统，0，则,0型系统静态位置误差的大小近似与开环增益成反比，K越大，稳态误差越小，稳态精度越高。所以，增加系统的开环增益可以减小稳态误差。,故,（1）阶跃输入(位置输入)作用下的稳态误差,2）对于型和型系统，1或2，则,故型和型系统的静态位置误差为,阶跃信号作用下的系统的误差情况分别如下图所示。,结论：,阶跃输入信号作用在0型系统上时，系统的输出量能够跟随输入量的变

26、化，但存在稳态误差。作用在型以上系统时，稳态误差都为零，表明型以上的随动系统能够误差地跟踪阶跃输入。,阶跃输入稳态误差,定义 速度误差系数,对于0型系统，0，则,故,同理， 时，,时，,（2）斜坡输入(速度输入)作用下的稳态误差,斜坡信号作用下的系统的误差情况分别如下图所示。,结论：,在斜坡输入情况下，0型系统的稳态误差为，说明0型系统的输出量不能跟随按时间变化的斜坡输入的变化，型系统能够跟踪，但有稳态误差，稳态误差的大小与开环增益成反比。型系统能够准确地跟踪，稳态误差为零。,斜坡输入稳态误差,定义 加速度误差系数,对于0型系统，0，则,故,同理， 时，,时，,（2）抛物线输入（加速度输入）作

27、用下的稳态误差,抛物线输入信号作用下系统的误差情况分别如下图所示。,结论：,在加速度输入情况下，0型和型系统的稳态误差为，说明0型和型系统的输出量不能跟随加速度输入，而型系统能够跟踪，但存在稳态误差，稳态误差的大小与开环增益成反比。,加速度输入稳态误差,当系统的输入信号是多种典型输入信号的组合时，例如,根据线性系统的叠加原理，可以将每一输入分别单独作用于系统，再将各输入分量所产生的稳态分量叠加在一起，得到系统的稳态误差，即,解：（1）根据公式可以分别求得,例4-6 系统的开环传递函数 ，试求： （1）Kp ，Kv 和 Ka ；（2）当 r(t) 5 t 时的 ess ；(3）当 r(t) 22

28、tt 时的 ess 。,（3）当输入当 r(t) 2 2 t t 时，稳态误差为,（2）当输入 r(t) 5t 时，稳态误差为,例4-7 考虑两个控制系统的开环传递函数分别为,试分别计算Kp，Kv，Ka；计算输入分别为 对应的稳态误差,系统1： 系统2：,解：根据公式可以分别求得,4.6.3 扰动输入作用下系统的误差分析,假定给定输入信号r(t)=0。此时，由于扰动作用使系统产生输出，输出值的大小就是误差的大小。扰动作用产生的误差称为系统的扰动误差，是以输出量c(t)的稳态值来分析系统的扰动作用。,如图所示系统,当R(s)=0时，有,扰动误差,式中 系统对扰动作用的误差传递函数,系统的扰动稳态

29、误差essn为,式中 系统的开环传递函数,系统扰动稳态误差与系统的开环传递函数、扰动作用点的位置以及扰动作用的形式有关。 扰动作用点不同，相同的扰动输入的稳态误差不一定相同。 具有相同的传递函数的两个系统，对于给定作用，有相同的误差系数。但扰动作用点不同，相同的扰动引起不同的扰动作用。,如右图所示两个系统，具有相同的开环传递函数，扰动作用点不同。,设,(a),(b),图(a)系统的稳态误差为,图(b)系统的稳态误差为,图(a)系统的稳态误差为零，而图(b)系统的稳态误差不为零。,增加偏差到扰动作用点之间前向通道的积分环节个数或增大开环增益，可使系统稳态精度提高。 对于实际系统，当给定输入作用和

30、扰动输入作用同时存在时，可用叠加原理将两种作用分别引起的稳态误差相叠加。,4.6.4 复合控制系统的误差分析,在控制系统中采用复合控制的方法，可以进一步减小给定和扰动误差。,如右图所示系统,特征方程式为,给定误差为 （1）,在系统中引入开环补偿环节G3(s)，使之构成复合控制系统。如右图所示。 此时系统称为前馈控制，它实质上是一种补偿控制,系统的闭环传递函数为,由于系统的特征方程式没有改变，所以引入前馈控制不改变系统的稳定性。,系统的给定误差为,（2）,计较(1)式和(2)式可见，引入前馈控制可以减小误差。,若满足,（3）,则误差E(s)=0，即系统的输出量完全复现给定输入作用。这种将误差完全补偿的作用，称为全补偿。,式(3)称为按给定作用实现完全不变性的条件。,（2）,同理，可以求出按扰动作用实现完全不变性的条件。,如右图所示，扰动误差为,若满足,则E(s)=C(s)=0，系统的输出量完全不受扰动影响，即实现全补偿。式(4)称为按扰动作用实现完全不变性的条件。,(4),实际上，实现完全补偿是很困难的，但是即使采取部分补偿，也可大大提高稳态精度。,4.6.5 提高