放缩法在导数压轴题中的应用

1、恰当采用放缩法巧证导数不等式5郑州市第四十四中学苏明亮放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到.由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴 题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩下面试举几例，以供大家参考.、利用基本不等式放缩，化曲为直例1 (2012年高考辽宁卷理科第 21题(n)设f(x)=ln(x 1) X 1 -1.证明：当0 ： x ： 2 时,f (x):9xx 6._._ x证明：由基本不等式，当 x 0时，2 (x 1) x 2，故 x 11.xf (x) = In(x 1). x 1 -1 ： In(

2、x 1)石xh(x) =1 n(x 1)9xx 61 1则 h(x)=x +1254 x(x215x -36)(x 6)2 一 2(x 1)(x 6)2当 0 ：x ：2时，h(x) 0，所以 h(x)在(0, 2)内是减函数.故又由 h(x) ： h(0) = 0 ,所以 In(x 1) x : -9，即 In(x 1)、x 1 -1 ： -9 ,2 x+6x+69x故当 0 ： x ： 2 时，f (x).x+69x评注：本题第(n )问若直接构造函数h(x) = f(x)，对h(x)进行求导，由于x +6h(x)中既有根式又有分式，因此h(x)的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对.

3、x 1进行放缩处理，使问题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明厂1 ： x 1，亦即是将抛物线弧 y = 、厂放大化简为直线段 y = x 1，而该线段正是2 2抛物线弧y =.厂在左端点(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法.二、利用单调性放缩，化动为静例2 (2013年新课标全国n卷第 21题(n)已知函数f (x)二ex - In(x m).当m乞2时，证明f(x) 0.证法1函数f(x)的定义域为(_m,=)，贝y f(x)二ex(x m)ex -1x m设 g (x) =(x m)ex -1，因为 g (x) = (x m 1)ex

4、0 ,所以g(x)在(-m, ：)上单调递增.又 g(_m) = _1 ： 0 , g(2m) =2e2jm-1 2 1-10 ,故g(x)=0在(_m, ：)上有唯一实根xo.当 x (m,x。)时，g(x) 0，f(x) ： 0 ； 当 x (x。，：)时，g(x) 0，f(x) 0，由方程g(x) =0的根为X。，得ex0In(X0 m) _ -X0，故 f(X)二1X0mX0-X0 m-(X0 m) - m _2 - m (当且仅当从而当X =X0时，f (x)取得最小值为f(x).又因为m乞2时，所以f (x0) _0.取等号的f(x。)_0条件是x，m=1，及m = 2同时成立，这

5、是不可能X0m的，所以 f(x0)0，故 f(x) 0.证法2：因y =ln x在定义域上是增函数，而m乞2，所以In(x 2) _ In(x m)，故只需证明当m=2时，f(x) 0即可.1当m=2时，f(x)=eX-在(-2,=)上单调递增x+2又 f (-1) 0, f (0) 0，故 f(x)=0 在(-2,二)上有唯一实根 X0，且 X0 (-1,0).当 X (2,X0)时，f (x) ： 0 ；当 X (X0,-:)时，f (X)- 0，从而当 X = X0 时，f(X)取得最小值1由 f (x) = 0 得 e，ln( X0 2) = -x，x +2故 f(x) f(X0)二1

6、X02X 1)2X020.综上，当m空2时，f(x) .0.评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法证法1直接求导证明，由于其含有参数 m，因而在判断g(x)的零点和求f (x)取得最小值f(x0)显得较为麻 烦；证法2利用对数函数y =ln x的单调性化动为静，证法显得简单明了 此外，本题也是 处理函数隐零点问题的一个经典范例 三、活用函数不等式放缩，化繁为简两个常用的函数不等式：eX_x、1(x2R)Inx 二 x _1(x0)两个常用的函数不等式源于高中教材(人教出现在高考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章例3 ( 2014年高考新课标I卷理科第21A版选修2-2 ,

7、P32)的一组习题，曾多次1、,bex_1题)设函数 f (x)二aex In x ，曲线xy = f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为 y =e(x -1)2.求a,b(II)证明:f (x)1.分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明.第(I)问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数f(x)的导数，易得a =1,b =2.第(II)问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不等 式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题.本题第(II)问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明.证明：由ex亠x 1，得ex

8、 4亠x，即ex亠ex,1 亠故 e (当且仅当x =1时取等号) ex又由ex - x ,1 1-11得e1，故e ex - ex，两边取自然对数得ln(ex) - 1 -xex11即lnx0 (当且仅当x 时取等号)exe2由于、式等号不能同时成立，两式相加得Inxex，两边同乘以ex，得f (X 1ex评注：本题证明中利用函数不等式ex _ x 1，并进行适当变形，结合不等式性质进行证明，从而避免了繁杂的计算，过程简洁自然，易于理解例4(2016年高考山东卷理科第20题(n)已知f (x) = a(x -1n x )+ 2x2 1, r .x3当a =：1时，证明f (x) f (x)-

9、对于任意的x 1,2 成立2证明：f(x)的定义域为(0, ：), f(x)=a_a_$ 三二念-挈-1)七胡时,x x xx2x _1122f(x) _ f (x) =x _lnx _(1 _ -p r)xx xx312=x -In x23 -1 , x 1,2,x xx312312由 In xZx1 得 f (x) - f(x) =x l nx23-123 x 1,2 xx xx x x ,3123即只需证_ . 飞.x1,2x x x2 ,2123x 2x 6令 h(x)2，x 1,2，则 h(x)4.x x xx设(xH -3x2x 6：(x)在 1,2单调递减，因为(1)=1, (2

10、) =10 ,所以在1,2上存在 X。使得(1,x。)时，(x) 0, (Xo,2)时，(x)：0,所以函数h(x)在(1,x。)上单调递增，在(,2)上单调递减，33由于h(1)=2,h(2)，因此当1,2时，h(x)h(2)，当且仅当x = 2时取得等号,2 23所以 f (x) - f (x) h二 3 ,23 即f(x) f (x)对于任意的1,2恒成立.23123评注：要证明 f (x) - f(x) = x-I nx23-1，比较麻烦的是式子中有xxx2Inx，如果能让它消失，问题势必会简单些，所以自然就想到了利用比较熟悉的函数不等式Inx乞x-1进行放缩，方法自然，水到渠成.上述

11、两个常用函数不等式的变式:ex（x 三 R）宀& 一1）In xx x -1(x . 0)四、巧用已证不等式放缩，借水行舟例5（2016年高考新课标川卷文科 21题）设函数f（X）=1 n XX 1.x -1）证明当XO时，1 Vx ；(II )设 c 1，证明当 (0,1)时，1 (c-1)x cx.证明：（I ）易证当x1,壯小时，In x ： x-1 , In丄xX 1X.In x(II )由题设 c 1，设 g(x)=1c-1x-cx，则 g,x)=c-1-cfnx,令，g，xi=o.c-1In解得X0当X：X0时，g x 0, g X单调递增；当X X0时,Incg x 0, g x

12、单调递减由 （ I ）知，1 ： :c ,In c故 0 d，又 g(0) =g(1) = 0.故当0 x ： 1时,9x.c-1InX及X0血巧妙In cg x0所以当 x 0,1 时，1 c-1 X c x 1评注：本题第（II ）问利用第（I ）中已证明的不等式1 In x地求出0：怡1 进而利用g（x ）在0cxc1单调性及端点值 g（0） = g（1） = 0证明出g x 0 利用已证不等式（或结论）服务后面问题的情况，在高考和模考试题中屡屡出现，这种解题中的“服务意识”不仅可以避开复杂的计算，往往也为解题思路指明了方向.下面再看一例：例6 （2013年高考辽宁卷理科 21题）已知函

13、数3,f x = 1 x ex,g x 二ax -1 2xcosx.当 x 0,1 】时，2（I）证明：1 X _ f X1；V 1+x(Il )确定a的所有可能取值，使得f x _g x 恒成立11证明：(I )证明：要证x：= 10,11时，1 x e-x,只需证明1 x e必_ (1-x)ex.记 h(x) = 1 x-(1 -x)ex，则 h(x) = x(ex _e).当 x ：= (0,1)时，h(x) . 0 ,因此h(x)在0,11上是增函数，故h(x) _h(0)=0 所以f x _1_x ,x：= 0,11.要证0,1 1时，1x y丄，只需证明ex _x1 .、丿 1 +

14、x1综上，-x- x岂厂3(II )解：f x x = 1 x e?x _(ax1 2xcosx) _ 1 一 x一 ax31 -2xcosx22X=-x(1 a 2cos x).225X设 G(x)2cos x，贝U G (x) = x -2sin x .记 H (x) = x -2sin x ,2则 H(x) =1-2cosx 当 x (0,1)时，H (x) : 0，于是 G(x)在 1.0,11 上是减函数,从而当x (0,1)时，G(x) :：: G(0) =0,故G(x)在0,1上是减函数.于是 G(x)空G(0) =2，从而 a 1 G(x)空 a 3 .所以，当a空-3时，f

15、x _g x在1.0,1 上恒成立.F面证明，当a -3时，f x _g x在0,11上不恒成立.f x -g x 3xTax 2x cos x2-x1 x3xax2xcosx2=-x(2.x 丄a 2cos x)2记 l(x)二 1x21_1_a xr 2cosx=a G(x)，则(xL g(x)，当x (0,1)(1 x)时，l(x) ：0，故I (x)在0,11上是减函数，于是I(x)在1.0,1上的值域a 1 2cos1,a 3.因为当a *3时，a 3 0 ,所以存在x (0,1),使得I (x0) 0，此时f冷:g x0 , 即f x _g x 在1.0,11上不恒成立.综上，实数a的取值范围是(：,3.评注：本题第二问是一道典型的恒成立求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决(笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了 “0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则)；0若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决.上述几道导数不等式都不是考查某个单一的初等函数，而是综合考查指数函数、对数函数(尤其与“ ex ”和“