用《几何画板》制作分段函数图像

1、用几何画板制作分段函数图像许冬云 226006 南通师范高等学校摘要：本文主要介绍用几何画板制作分段函数图像的三种方法：代数构造法；几何构造法；内部函数构造法【sqrt(x)函数构造法、abs(x)等其它方法】。关键词：分段函数 代数构造法 几何构造法 内部函数在日常生活中，许多场合都会出现使用分段函数考察问题的例子，如邮寄信函，个人所得税，出租车计费，宽带收费，电费（分时计费）等等。借助几何画板中相应的函数如开平方函数sqrt(x)，符号函数sgn(x)，绝对值函数abs(x)，截断函数trun(x)等即可制作出相应的分段函数。下面介绍常见的方法：法一：代数构造法分段函数形式为计算例1个人所

2、得税问题（全日制普通高级中学教科书（必修）数学p56/6）制作方法：（1）建立直角坐标系，标上原点o和单位1点；（2）画射线oa，使得它与x轴的正半轴重合，并在其上任取一点p； （3）计算p的横坐标，把标签改为x，计算到，（4）计算,本题中,其中依次表示。同时为了形式简洁些，对数据作了少量的化简，如150010%=150等。（5）以为坐标画出点q；（6）同时选中点p、q，构造点q的轨迹。见图一图一说明：为了表示的方便起见，横坐标的单位长度表示100元，图中的依次表示点（8，0），（13，0），（1008，0），它们对应的实际数据分别为800，1300，100800元。 最后个人所得税（元）。为

3、了使计算精确些，把精度调整到万分之一。 观察图象，发现在（工资、薪金收入在20800元）处，图象变化特大，说明在该处是交税的一个转折点，可以通过计算来进行验证。如果不借助几何画板，很难发现这一点。一般人的工资、薪金收入，可以通过拖动点p很快显示出相应的个人所得税额。直观明了。2000年高考题：拖动点p（或用键盘上的左右方向键），显示如图二时可以判断结论为（c）。图二例2出租车计费问题某地的出租车按如下方法计费：起步价10元，可行3km（不含3km）；3km到7km按1.6元/km计价（不足1km，按1km计算），7km以后都按2.4元/km计价（不足1km，按1km计算），试写出以行车里程为自

4、变量，车费为函数值的函数解析式，并画出这个函数的图象。构造分段函数表达式如下：制作方法：（1）建立直角坐标系，标上原点o和单位1点；（2）画射线oa，使得它与x轴的正半轴重合，并在其上任取一点d；（3）计算d的横坐标，把标签改为x；（4）画点；（5）计算（6）以为坐标画点e，同时选中点d，e，构造轨迹。显示如图三效果。如图三根据图像所示，可以初步估算自己乘车的方法。法二：几何构造法借助在不同范围上相应的几何对应关系构造分段函数的图像。例3四边形obcd是正方形，边长为定值。点p自b沿边bc、cd、do移动到o，pob的面积为s，绘出s与p移动的距离x关系的图像（图四）。图四制作过程分析：先制作

5、点p自b沿边bc、cd、do移动到o的动画，同时pob的位置也作相应变化；再制作s与p移动的距离x关系的分段函数图像.的制作过程：（1）画线段ob，以o为旋转中心，把点b旋转90度到d，再以以b为旋转中心，把点o旋转90度到c，连接相应线段得到正方形obcd；（2）在平面上任意画一点p，依次选中点p，b，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，弹出对话框如图五所示，选“高速”，单击“确定”按钮；图五（3）单击按钮，则点p高速运动到b；（4）单击点b处，屏幕左下方出现提示，再单击点c，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“中速”；单击“确定”按钮，单击按钮“从pc移动”；（5）单击点c处，屏幕左下

6、方出现提示，再单击点d，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“中速”；单击“确定”按钮,单击按钮“从pd移动”；(6) 单击点d处，屏幕左下方出现提示，再单击点o，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“中速”；单击“确定”按钮,单击按钮“从po移动”；(7) 单击按钮“从pc移动”，当点p还没移动到点c时，再次单击该按钮，同时选中点p，b，c，构造“三角形内部”，再次同时选中这三点，构造“线段”；（8）依次选中按钮“从pb移动”, 按钮“从pc移动”, 按钮“从pd移动”, 按钮“从po移动”,选择【编辑】【操作类按钮】【系列】，选“依序执行”，单击“确定”；单击按钮“序列4动作”，则点p

7、自b沿边bc、cd、do移动到o时，pob的位置也作相应变化。的制作过程：（1）在线段bc上任取点q，度量qb的长度，度量qob的面积，依次选中长度，面积，单击【图表】【绘制（x,y）】,选中点q，构造轨迹；（2）在线段cd上任取点r，度量rc的长度，度量rob的面积，计算rc+ob的长度和，依次选中长度和，面积，单击【图表】【绘制（x,y）】,选中点r，构造轨迹；（3）在线段do上任取点s，度量sd的长度，度量sob的面积，计算sd+2*ob的长度和，依次选中长度和，面积，单击【图表】【绘制（x,y）】,选中点s，构造轨迹；s与p移动的距离x关系的分段函数图像制作完成。说明：如果要实现这样的

8、效果：点p在移动时，相应轨迹上的点也在同步移动的话，可以按以下步骤实现： （1）画射线bc，在其上截取一条长度为3倍bc的线段be，在平面上任画一点t,依次选中点t,b，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“高速”，单击“确定”按钮； （2）运行按钮“从tb移动”；（3）依次选中点t,e，选择【编辑】【操作类按钮】【移动】，选“中速”，单击“确定”按钮；（4）运行按钮“从te移动”;（5）依次选择按钮“从tb移动”，“从te移动”，选择【编辑】【操作类按钮】【系列】，选“依序执行”，单击“确定”；产生按钮“序列2动作”；（6）选中按钮“序列4动作”, “序列2动作”, 选择【编辑】【操作类按

9、钮】【系列】，选“同时执行”，单击“确定”，产生按钮“系列2个动作”，把它改名为“p从b到c到d到o”；单击该按钮，就会出现同步移动效果。法三：“sqrt(x)”函数构造法借助函数sqrt(x)的定义域要求来制作相应的分段函数的图像。例4求满足不等式，的自变量范围。考虑到正弦函数的周期为，所以只要考察它在一个周期上的情况，即可迅速求出在上的自变量范围。（1）【图表】【绘制新函数】，输入表达式，单击确定，即可画出如图六中用红色表示的图像；（2）右击图像，选择“属性”，出现如图五所示对话框，改变“范围”（输入p即可显示），本例中选择范围为，方便确定长度为一个周期的区间；图六图七（3）单击，的自变量

10、集合，显示相应结果。说明：类似地把输入表达式改为，单击确定，即可画出如图六中用蓝色表示的图像；从而很快得出相应的自变量集合。例五求的单调区间。（1）【图表】【绘制新函数】，输入表达式，单击确定，即可画出如图八中用红色表示的单调增区间图像；（2）【图表】【绘制新函数】，输入表达式，单击确定，即可画出如图八中用蓝色表示的单调减区间图像；图八说明：上式有意义，则相应的x满足的范围是，考察长度为一个周期的区间，推广到上则单调增区间为,单调减区间为。类似可以考察余弦函数的单调区间。法四：其它方法借用“新建函数”命令，通过“运动控制台”制作相应分段函数。例六设函数应当怎样选择数，使得成为在内的连续函数。制作方法：（1）【图表】【新建参数】，出现如图九所示对话框，构造参数 图九 图十（2）画射线与轴负半轴重合，并在其上任取点，计算其横坐标；（3）计算，画点；同时选中点，构造轨迹；（4）画射线与轴正半