高三数学二轮备考练习题 (205)

1、课时跟踪训练(五十四)一、选择题1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1 B1或3 C0 D1或0解析：由得ky28y160，若k0，则y2，若k0，则0，即6464k0，解得k1，因此若直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k0或k1.答案：D2(2014沈阳质检)已知双曲线1(t0)的一个焦点与抛物线yx2的焦点重合，则此双曲线的离心率为()A2 B. C3 D4解析：依题意，抛物线yx2即x28y的焦点坐标是(0,2)，因此题中的双曲线的离心率e2，选A.答案：A3(2014潍坊联考)已知双曲线1(a0，b0)的顶点恰好是椭圆1的两个顶点，且焦距是

2、6，则此双曲线的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dy2x解析：由题意知双曲线中，a3，c3，所以b3，所以双曲线的渐近线方程为yxx.答案：C4AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则FAB的最大面积为()Ab2 Bab Cac Dbc解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(x1，y1)，则SFAB|OF|2y1|c|y1|bc.答案：D5已知A，B是双曲线C的两个顶点，直线l垂直于实轴，与双曲线C交于P，Q两点，若0，则双曲线C的离心率e为()A. B. C1 D2解析：不妨设双曲线C的方程为1(a0，b0)，点P(x，y)，设A(a,0)，B(a,0)，Q(x，y)，由

3、0得x2y2a2，又知点P(x，y)在双曲线C上，所以有1，对比得ab，因此双曲线C的离心率e.答案：A6(2014武汉调研)椭圆C：1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A. B.C. D.解析：椭圆的左顶点为A1(2,0)、右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则1，得.而kPA2，kPA1，所以kPA2kPA1.又kPA22，1，所以kPA1.答案：B7(2014宁波十校联考)F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率

4、为()A2 B. C. D.解析：画出图形，由双曲线的定义得|BF1|BF2|2a，|AF2|AF1|2a，又ABF2为等边三角形，|AF1|2a，|AF2|4a，|BF2|BA|4a，|BF1|6a，BF1F2中|F1F2|2c，F1BF260.由余弦定理可得4c236a216a226a4a，离心率e，故选B.答案：B8(2014江西质量监测)已知抛物线方程为y24x，过A(1,2)作抛物线的弦AP，AQ.若APAQ，则原点O到直线PQ距离的最大值为()A. B3 C2 D.解析：依题意可设P，Q2，由APAQ知0，可得y1y22(y1y2)200.设PQ直线方程为xmyn, 代入y24x，

5、结合韦达定理与上式得n2m5，所以直线方程为x(y2)m5，知此直线过定点B(5，2)，此时，原点O与点B的距离即为所求最大值，|OB|，故选D.答案：D二、填空题9若直线ykx2与抛物线y24x仅有一个公共点，则实数k_.解析：联立得k2x2(4k4)x40.当k0时，此方程有唯一的根，满足题意；当k0时，(4k4)216k232k160，k.故k0或k均满足题意答案：0或10已知双曲线C：1(a0，b0)，P为x轴上一动点，经过P的直线y2xm(m0)与双曲线C有且只有一个交点，则双曲线C的离心率为_解析：由于P为x轴上动点，则联立得(4b2a2)x24b2mxm2b2a2b20，因为此方

6、程只有一解，故4b2a20，解得e.答案：11已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围为_解析：据题意由双曲线的对称性可得若ABF2为锐角三角形，只需BF2F145即可，故在RtBF2F1中，tanBF2F1tan451，整理可得c2a22ac，两侧同除以a2，e211，可得离心率的取值范围是(1,1)答案：(1,1)12(2014青岛调研)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值是_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且

7、x1x2，易知直线AB的方程为yxp，代入抛物线方程y22px，可得3x25pxp20，所以x1x2p，x1x2，可得x1p，x2，可得3.答案：3三、解答题13(2014云南统一检测)已知F1、F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P是椭圆E上的点，线段F1P的中点在y轴上，a2.倾斜角等于的直线l经过F1，与椭圆E交于A、B两点(1)求椭圆E的离心率；(2)设F1PF2的周长为2，求ABF2的面积S的值解：(1)F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P是椭圆E上的点，线段F1P的中点在y轴上，PF2x轴，|PF2|.又a2，|PF2|2a2，即a，a24b2，即a24(a2c2)，化简

8、得3a24c2，.椭圆E的离心率等于.(2)F1PF2的周长为2，2a2c2.解方程组，得，b2，椭圆E的方程为x24y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由已知得直线l的方程为y，即2x2y30，F2到直线l的距离d.由得，13x212x80.，|AB|2，S|AB|d，ABF2的面积S的值等于.14(2014温州十校联考)如图，过x轴上动点A(a,0)引抛物线yx21的两条切线AP、AQ.切线斜率分别为k1和k2，切点分别为P、Q.(1)求证：k1k2为定值，并且直线PQ过定点；(2)记S为面积，当最小时，求的值解：(1)证明：证法一：设过A点的直线为yk(xa)，与抛物线联立得，整

9、理得x2kxka10，k24ak40，所以k1k24a，k1k24为定值抛物线方程yx21，求导得y2x，设切点P、Q的坐标分别为(xp，yp)、(xq，yq)，k12xp，k22xq，所以xpxq2a，xpxq1.直线PQ的方程：yyp(xxp)，由ypx1，yqx1，得到y(xpxq)xxpxq1，整理可得y2xa2，所以直线PQ过定点(0,2)证法二：设切点P、Q的坐标分别为(xp，yp)、(xq，yq)求导得y2x，所以lAP：y2xp(xa)，(xp，yp)在直线上，即yp2xp(xpa)，由P(xp，yp)在抛物线上得ypx1，整理可得yp2xpa2，同理yq2xqa2，所以lQP

10、：y2xa2，所以直线PQ过定点(0,2)联立PQ的直线方程lQP：y2xa2和抛物线方程yx21，可得：x22xa10，所以xpxq1，xpxq2a，所以k1k22xp2xq4为定值(2)设A到PQ的距离为d.SAPQ|PQ|，所以，设t1，所以，当且仅当t时取等号，即a.因为(xpa，yp)(xqa，yq)xpxqa(xpxq)a2ypyq，ypyq(2xpa2)(2xqa2)4a2xpxq44a(xpxq)4a24，所以3a23.15(2014大庆质检)已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动

11、直线l与椭圆C交于P，Q两点，且0，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标解：(1)圆M的圆心为(3,1)，半径r.由题意知A(0,1)，F(c,0)，直线AF的方程为y1，即xcyc0，由直线AF与圆M相切，得，解得c22，a2c213，故椭圆C的方程为y21.(2)证明：证法一：由0知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1.联立得，整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，故点P的坐标为，同理，点Q的坐标为，直线l的斜率为，直线l的方程为y，即yx.直线l过定点.证法二：由0知APAQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为y

12、kxt(t1)，联立得，整理得(13k2)x26ktx3(t21)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(*)由(6kt)24(13k2)3(t21)0，得3k2t21.由0，得(x1，y11)(x2，y21)(1k2)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，将(*)代入，得t，直线l过定点.热点预测16(2014绵阳诊断)已知椭圆C的两个焦点是(0，)和(0，)，并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F.(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则由题意得c，2a4，a2，b2a2c21，椭圆C的标准方程为x21.右顶点F的坐标为(1,0)设抛物线E的标准方程为y22px(p0)，1,2p4，抛物线E的标准方程为y24x.(2)设l1的方