浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目与答案

1、1.（本题满分15 分）如图，平面PAC 平面 ABC ，ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形。 E, F , O 分别为 PA, PB, PC 的中点， AC16, PAPC10 。（I ） 设 C 是 OC 的中点，证明：PC / 平面 BOE ； w.w.w. .s.5.u.c.o.m（II ）证明：在 ABO 内存在一点 M ，使 FM 平面 BOE ，并求点 M 到 OA , OB 的距离。zyx2.如图，在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中， P 是侧棱 CC1 上的一点， CP=m ，（）试确定m，使得直线AP 与平面 BDB 1D1 所成角的正切值为32 ；

2、（）在线段 A 1C1 上是否存在一个定点 Q，使得对任意的 m， D1Q 在平面 APD 1 上的射影垂直于 AP，并证明你的结论。3. 如图甲， ABC 是边长为 6 的等边三角形， E， D 分别为 AB 、 AC 靠近 B 、 C 的三等分点，点 G 为 BC 边的中点线段 AG 交线段 ED 于 F 点，将 AED 沿 ED 翻折，使平面 AED 平面 BCDE ，连接 AB 、AC 、 AG 形成如图乙所示的几何体。（ I）求证 BC平面 AFG ；（ II ）求二面角 BAE D 的余弦值.4在如图所示的几何体中， EA平 面 ABC， DB平 面 ABC， ACBC ，ACBC

3、 BD 2 AE ，M是 AB的中点（ 1）求证： CMEM ；D（2）求 CM与平面 CDE所成的角EACMB5. 如图，矩形 ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直， BECF ，BCFCEF90 ， AD3， EF2D（）求证：AE 平面 DCF ；AC（）当 AB 的长为何值时，二面角AEFC 的大小为 60 ？BFE（第 18 题）6. 如图，在矩形ABCD 中，点 E，F 分别在线段AB ，AD 上， AE=EB=AF=2 FD 4.沿直3线 EF 将AEF 翻折成A EF , 使平面 A EF平面 BEF.（ I ）求二面角 A FD C 的余弦值；（ II ）点 M ，N 分别

4、在线段 FD，BC 上，若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折，使 C 与 A 重合，求线段 FM 的长 .7. 如图，在三棱锥 P-ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点， PO平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC 8， PO 4， AO 3， OD 2（）证明： AP BC；（）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。8. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是边长为23 的菱形，BAD=120 ，且 PA平面 ABCD ， PA= 26 ,M ，N 分别为 PB,PD 的中点。（

5、1）证明： MN 平面 ABCD ；（ 2）过点 A 作 AQ PC，垂足为点 Q，求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。9. 如图，在四面体ABCD 中， AD平面 BCD ，BCCD， AD2， BD22 M 是 AD的中点， P是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ3QC （）证明：PQ / / 平面 BCD ；（）若二面角CBMD 的大小为 60 ，求BDC 的大小10.如图，在五面体ABCDEF 中，已知 DE平面 ABCD ， AD /BC， BAD60o ，AB2，DE EFE1（ 1）求证： BC / /EF ；（ 2）求三棱锥 B DEF 的体积FDCAB（

6、第 16 题图）11. 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，已知 CACB 1， AA12 ， BCA 90o （ 1）求异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值；C1B1（ 2）求二面角 B AB1C 平面角的余弦值A1CBA（第 22 题图）12( 本小题 14 分 ) 在等腰梯形 ABCD 中， AD / / BC ， AD1，N是BCBC ， ABC 602的中点将梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90，得到梯形 ABC D （如图）（ 1）求证： AC平面 ABC ；C（ 2）求证： C N/平面 ADD ；（ 3）求二面角 AC N C 的余弦值DDABNC13. （本题满分

7、 14 分） 如图，在四棱锥P- ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD/BC，ADC =90，平面 PAD 底面 ABCD ， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 上P的点， PA=PD=2， BC= 1AD =1， CD=3 2（ I ）求证：平面 PQB平面 PAD；（ II ）若二面角 M- BQ- C 为 30，设 PM =tMC ，M试确定 t 的值DQCAB14 如图，直角梯形ABCD中， AB/CD，BCD = 90 ,BC = CD =2 ,AD =BD：EC丄底面 ABCD, FD丄底面 ABCD且有EC=FD=2.( I)求证：AD丄 BF:(II )若线段

8、 EC上一点 M在平面 BDF上的射影恰好是BF 的中点 N, 试求二面角 B-MF-C的余弦值 .1.证明：（ I）如图，连结OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB 、OC、OP 所在直线为 x 轴， y轴， z 轴，建立空间直角坐标系O xyz ， w.w.w. k.s.5.u.c.o.m则 O 0,0,0, A(0,8,0), B(8,0,0), C(0,8,0),P(0,0,6), E(0, 4,3), F 4,0,3 ，由题意得，G0,4,0 , 因 OB(8,0,0), OE(0, 4,3) ，因此平面 BOE 的法向z量为 n(0,3, 4) ， FG( 4,4, 3 得 n F

9、G0 ，又直线 FG 不在平面 BOE 内，因此有 FG / / 平面 BOE（II ）设点 M 的坐标为x0 , y0 ,0，则 FM( x04, y0,3) ，因为yFM平面 BOE，所以有 FM / n ，因此有 x04, y09，即点x4M 的坐标为4,9 , 0，在平面直角坐标系xoy 中，AOB 的内部区域满足不等式组4x0y0，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO 内存在一点 M ，使xy8FM平面 BOE ，由点 M 的坐标得点 M 到 OA ， OB 的距离为 4, 9 w.w.w. s.5.u.c.o.m42. 解法：（） 连 AC, 设 AC BD O,AP

10、与面 BDDB 交于点 G，连 OG.11因为 PC / 面BDD1 B1 ,面BDD1 B1面APCOG,故 OG / PC 。所以 OG1 PCm 。22又 AO DB,AO BB1,所以 AO面BDD1 B1 .故 AGO即为 AP与面 BDD 1 B1 所成的角。2在Rt中，23 2，即m1.AOG tan AGOm312故当与平面 BDDB 所成的角的正切值为 2。时，直线m3AP1 1（）依题意，要在A1 C1上找一点 Q ，使得 D1 Q AP .可推测 A1 C1的中点 O1 即为所求的 Q 点。因为 D1 O1A1C1 . D1 O1AA1，所以 D1 Q面ACC1 A1 .

11、又 AP面ACC1 A1 . ,故 D1O1AP 。从而 D1 O1 在平面 AD1 P上的射影与 AP垂直。解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1, )， C(0,1,0),D(0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1).所以 BD( 1, 1,0), BB1(0,0,1),AP( 1,1,m), AC( 1,1,0).又由知为平面 BB的一个法向量 .AC BD 0, AC BB10AC1D1 D设 AP 与 面BDD1 B1所成的角为，则 sincos(| APAC |2)2 2 m22|AP| |AC|依题意有：2321

12、2 2 m22) 2，解得 m.1 (33故当m1与平面 BDDB 所成的角的正切值为 2 。3时，直线 AP1 1（）若在 A1 C1 上存在这样的点 Q ，设此点的横坐标为x ，则 Q(x,1x,1),DQ (x,1x,0) 。1依题意，对任意的m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于AP 。等价于D1QAP1AP D1Q 0 x (1 x) 0 x2即Q为.A C1的中点时，满足题设的要求13. () 在图甲中，由 ABC 是等边三角形， E，D 分别为 AB， AC 的三等分点，点 G 为 BC边的中点，易知 DE AF， DE GF ， DE/BC2 分在图乙中，因为DE

13、AF， DE GF ， AFFG=F，所以 DE 平面 AFG 又 DE /BC，所以 BC平面 AFG 4 分( ) 因为平面 AED 平面 BCDE ，平面 AED 平面 BCDE =DE ，DE AF ，DE GF ，所以 FA， FD ， FG 两两垂直以点 F 为坐标原点，分别以FG ， FD ， FA 所在的直线为x, y, z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz 则 A(0,0,2 3) ， B(3, 3,0) ， E(0, 2,0) ，所以AB(3,3, 2 3)，BE(3,1,0)6 分设平面 ABE 的一个法向量为n( x, y, z) n AB03x 3y23z0则

14、，即，n BE03xy0取 x 1，则 y3 ， z1，则 n(1, 3, 1)8 分显然 m(1,0,0)为平面 ADE 的一个法向量，所以 cosm,nm n5| m | | n |10分5二面角 BAED 为钝角，所以二面角BAED 的余弦值为4. 方法一：（ 1）证明：因为 AC=BC，M是 AB的中点，所以 CMAB又 EA 平面 ABC，所以 CMEM（ 2）解：过点 M作 MH平面 CDE，垂足是 H，连结CH并延长交ED于点 F，连结 MF、 MD， FCM是直线 CM512分5和平面 CDE所成的角因为 MH平面 CDE，所以 MHED，又因为 CM平面 EDM，所以 CME

15、D，则 ED平面 CMF，因此 EDMF设 EA a，BD BC AC 2a，在直角梯形 ABDE中， AB 22 a， M是 AB的中点，所以 DE 3a， EM3a ，MD6 a ，得 EMD是直角三角形，其中 EMD90所以 MF EM MD2DEaMF=1，所以 FCM=45，在 RtCMF中， tan FCM=MC故 CM与平面 CDE所成的角是 45方法二：如图，以点 C 为坐标原点，以 CA ，CB 分别作为 x 轴和 y 轴，过点 C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C-xyz ，设 EA=a ，则A （ 2a， 0， 0），B （ 0， 2a， 0），C（

16、2 a， 0， a），A（ 0，2 a， 2 a）， A（ a， a，0） .（ 1）证明：因为EM =（-a ， a，-a ）， CM=（ a， a， 0），所以EM CM=0，故 EM CM.（ 2）解：设向量 n=（ 1， y o ， x 0 ）与平面 CDE垂直，则 nCE ， nCD，即 nCE =0 ， nCD=0.因为 CE=（ 2a,0,a ） ,CD=(0,2a,2a),所以 y 0 =2，z 0 =-2 ，即 n=（ 1， 2， -2 ），cos n, CMCMn2M n，2直线 CM与平面 CDE所称的角是45 .5. 方法一：（）证明：过点E作EGCF 交CF 于G，连

17、结 DG，DACBGFHE可得四边形 BCGE 为矩形，又 ABCD 为矩形，所以 AD EG ，从而四边形ADGE 为平行四边形，故 AEDG因为 AE平面DCF ， DG平面 DCF ，所以 AE 平面DCF （）解：过点B作BHEF 交 FE 的延长线于 H ，连结 AH 由平面 ABCD平面 BEFC ， ABBC ，得AB平面 BEFC ，从而AHEF 所以AHB 为二面角 A EFC 的平面角在RtEFG中，因为 EGAD3 ，EF 2，所以 CFE60 ，FG1又因为 CEEF ，所以 CF4 ，z从而 BECG3 D于是 BHBE sinBEH33AC2xB因为 ABBH ta

18、nAHB ，FEy所以当 AB 为 9 时，二面角 AEFC 的大小为60 2方法二：如图，以点C 为坐标原点，以 CB，CF 和 CD 分别作为 x 轴， y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz 设 AB a， BE b，CF c ，则 C (0，0，0) ， A(3，0， a) ， B(3，0，0) ， E (3， b，0) ， F (0， c，0) （）证明：AE(0， b， a) ， CB(3，0，0) ， BE(0， b，0) ，所以 CB CE0，CB BE0，从而 CBAE，CBBE，所以因为CB平面 ABE CB平面 DCF ，所以平面 ABE 平面 DCF 故 AE平面

19、 DCF （）解：因为EF (3， c b， 0) ， CE( 3， b，0) ，所以 EF CE0，|EF |2，从而3b(cb)0，3(cb)22，解得 b3， c4 所以 E (3，3，0) ， F (0，4，0) 设 n (1， y，z) 与平面 AEF 垂直，则 n AE0 ， nEF 0，解得 n33(1， 3，) a又因为 BA平面 BEFC ， BA(0，0， a) ，所以，| BA n |3 3a1 ，|cos|n BAa 4a2272| BA | | n |得到 a92所以当 AB 为 9 时，二面角 AEF C 的大小为 60 26. 方法一：（）解：取线段EF 的中点

20、H，连结 A H因为 AEAF 及H 是EF的中点，所以 AHEF又因为平面A EF平面 BEF，及 A H平面 A EF.所以 AH平面 BEF 。如图建立空间直角坐标系A xyz.则 A (2, 2, 2 2), C (10,8,0), F (4,0,0), D (10,0,0).故 FN(2, 2,22), FD(6,0,0)设 n( x, y, z) 为平面 A FD 的一个法向量所以2 x2 y22z06x0取 z2, 则 n(0,2,2)又平面 BEF 的一个法向量m(0,0,1)故 cos n, mn m3| n | | m |3所以二面角的余弦值为3 .3（）解：设FMx? 则

21、 M (4x,0,0)因为翻折后，C与 A 重合，所以 CM= AM故 (6 x)28202( 2x)222(2 2)2 ，21得 x4经检验，此时点N在线段 BG上所以 FM21.4方法二：（）解：取截段EF 的中点 H， AF 的中点 G，连结 A G ， NH ， GH因为 AEAF 及H 是EF的中点，所以 A H/EF 。又因为平面A EF平面 BEF，所以 A H平面 BEF，又 AF平面 BEF，故AHAF，又因为 G，H 是 AF， EF 的中点，易知 GH/AB ，所以GHAF，于是AF面AGH所以A GH 为二面角 A DF C 的平面角，在 Rt A GH 中， A H2

22、2, GH2, A G2 3所以 cosA GH3 .3故二面角 A DF C 的余弦值为3 。3（）解：设FM x ，因为翻折后，G与A 重合，所以CMAM，而CM 2DC2DMAM2AH2MH21得 x4282(6 x)22A H 2MG 2GH 2(2 2)2(x 2) 222经检验，此时点N 在线段 BC 上，所以 FM21.47. 解：（）证：AB AC ，D 为 BC 的中点， BC ADPO平面 ABCPO BC，而 PO AD=OBC 平面 ADPAP BC（）当 CM AP 时，二面角 A-MC-B 为直二面角，OB OC2 5，PB PC6， ABAC41， AP 5PAB

23、PACAMCAMBAMMBAM 平面 MBC平面 AMC 平面 MBCcos PAB2541363cosPAB34132541AMAB4141方法二：8. （）因为 M ， N 分别是 PB ， PD 的中点，所以 MN 是 PBD 的中位线，所以MM / /BD又因为 MN平面 ABCD ，所以MM / / 平面 ABCD（）方法一：连结 AC 交 BD 于 O ，以 O 为原点， OC ， OD 所在直线为x ， y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示在菱形 ABCD 中，BAD120 ，得ACAB23，BD3AB6又因为 PA平面 ABCD ，所以PAAC在直角PAC中， AC2

24、 3，PA2 6， AQPC，得QC2， PQ4由此知各点坐标如下，A(3 ,0,0)，B(0 ,3,0)，C( 3 ,0,0)， D(0,3,0)，P(3,0,2 6)，M(3 ,3, 6)，22N (333262, , 6)，Q(, 0 ,3) 23设 m (x , y , z)为平面 AMN 的法向量由AM ( 3,3, 6)，AN (3,3, 6)知22223 x3 y6z0223 x3 y6z02 2取 x 1 ，得m (2 2,0, 1)设 n(x , y , z) 为平面 QMN 的法向量由 QM(53,3 ,6)，QN ( 5 3,3,6 ) 知62362353 x3 y6z0

25、6235336z0xy362取 z 5 ，得n(22 ,0,5)于是cos m , nm n33 | m | | n |33所以二面角 A MNQ 的平面角的余弦值为33 33方法二：在菱形 ABCD 中，BAD120，得ACABBCDA， BD3AB ，有因为 PA平面 ABCD ，所以PAAB，PAAC， PAAD ，所以 PBPCPD 所以PBCPDC 而 M ， N 分别是 PB ， PD 的中点，所以MQNQ ，且 AM1 PB1 PDAN 22取线段 MN 的中点 E ，连结 AE ， EQ ，则AEMN ，QEMN ，所以AEQ 为二面角 AMN Q 的平面角由 AB2 3， P

26、A26，故在AMN 中， AMAN3， MN1 BD3 ，得2AE332在直角PAC 中， AQPC ，得AQ22，QG2， PQ4，在PBC 中， cosBPCPB 2PC 2BC 25 ，得2PBPC6MQPM 2PQ22PMPQ cosBPC5 在等腰MQN 中， MQNQ5，MN3 ，得QEMQ 2ME 2112在AEQ 中， AE3311， AQ2 2，得2， QE2cosAEQAE2QE2AQ233 2AE QE33所以二面角AMNQ 的平面角的余弦值为33 339. 方法一：（）取 BD 中点 O ，在线段 CD 上取点 F ，使得 DF3FC ，连结 OP ， OF ， FQ因

27、为 AQ3QC ，所以 QF / / AD ，且 QF1 AD4因为 O ， P 分别为 BD ， SM 的中点，所以 OP 是 BDM 的中位线，所以 OP / /DM ，且 OP1DM 21AD又点 M 是 AD 的中点，所以 OP / / AD ，且 OP4从而 OP / /FQ ，且 OPFQ 所以四边形 OPQF 为平行四边形，故 FQ / / QF又 PQ平面 BCD ， OF平面 BCD ，所以 PQ / / 平面 BCD （）作 CGBD于点G，作GHBM 于点 H ，连结 CH因为 AD平面 BCD ， CG平面 BCD ，所以 ADCG ，又 CGBD， AD BDD，故

28、CG平面 ABD ，又 BM 平面 ABD ，所以 CG BM 又GH BM ，CG GH G，故 BM 平面 CGH ，所以 GH BM， CH BM所以CHG 为二面角 C BMD 的平面角，即CHG 60 设BDC在 RtBCD 中， CDBD cos22 cos，CGCD cos22 cossin，BGBC sin22 sin2在 RtBDM 中， HGBG DM2 3 sin2BM3在 RtCHG 中， tanCHGCG3cos3 HGsin所以 tan3 从而60 ，即 BDC 60 方法二：（）如图，取BD中点 O，以 O为原点， OD， OP所在射线为 y ， z 轴的正半轴，

29、建立空间直角坐标系Oxyz 由题意知 A(0 ， 2 ，2)， B(0，2，0) ， D(0， 2 ，0) 设点 C 的坐标为 ( x0 ，y0，0) ，因为 AQ3QC ，所以 Q(3231x0，y0， ) 44421因为 M 是 AD 的中点，故 M (0 ， 2 ，1) 又 P 是 BM 的中点，故 P(0，0， ) 2所以 PQ( 3 x0， 23 y0 ，0) 444又平面 BCD 的一个法向量为a(0 ，0 ，1) ，故 PQ a0 又 PQ平面 BCD ，所以 PQ / / 平面 BCD （）设 m( x ，y ，z) 为平面 BMC 的一个法向量由CM ( x0 ， 2y0 ，1)，BM(0 ，2 2 ，1)知x0 x ( 2 y0 ) y z 0，2 2 y z 0取 y1，得 m ( y02，1，2 2)x0又平面 BDM 的一个法向量为n (1，0 ，0) ，于是y02，| m n |x01，| c o sm | =| m | n| |22y029x0y0223 （ 1）即x0又BC CD，所以CB 0C ，D 故( x ，2， y， 0x)，(y020)0000即 x0 2y022（ 2）6x00x0212y022y02x03tan BDC2 y0BDCBDC 6010 1AD /BC ADADE