数学高中学业水平测试课件专题九第34讲简单的三角恒等变换

1、专题 九 三角恒等变换 第34讲 简单的三角恒等 变换 1公式的常见变形公式的常见变形 (1)1cos 2cos2 2； ； 1cos 2sin2 2； ； (2)1sin (sin 2 cos 2) 2； ； 1sin (sin 2 cos 2) 2. (3)tan 2 sin 1cos 1 cos sin . 2辅助角公式辅助角公式 asin xbcos x a 2 b2sin(x)， 其中其中 sin b a 2 b2， ，cos a a 2 b2. 1三角函数式的化简与求值 【例 1】 (1)cos 9cos 2 9 cos? ? ? ? ? 23 9 等于( ) A1 8 B 1 1

2、6 C. 1 16 D. 1 8 (2)若1cos 2 sin 2 1 2，则 tan 2 等于( ) A.5 4 B 5 4 C. 4 3 D 4 3 解析：(1)原式cos 9 cos 2 9 cos(3 4 9 ) cos 9cos 2 9cos 4 9sin 9 sin 9 1 2sin 2 9cos 2 9cos 4 9 sin 9 1 8sin 8 9 sin 9 1 8. (2) 1cos 2 sin 2 2cos2 2sin cos cos sin 1 2， tan 2，tan 2 2tan 1tan 2 4 14 4 3. 答案：(1)A (2)D 剖析：(1)三角函数式的化

3、简要遵循 “三看”原则， 一看角，二看名，三看式子结构与特征 (2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系 (和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式 之间的共同点 2三角函数的求角问题 【例2】 (1)在ABC中角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知，已知4sin2 AB 2 cos 2C 7 2 ，且ab5，c 7，则，则ABC的面积为( ) A.3 3 2 B. 3 2 C. 3 4 D.3 3 4 (2)在在ABC中，tan Atan B 3 3tan Atan B，则C等于( ) A. 3 B.2 3 C. 6 D. 4 解析：(1)因为4cos2C 2 cos 2

4、C7 2，所以cos C 1 2， 所以c2a 2b22abcos C(ab)22ab2abcos C，所 以ab6，所以面积S1 2absin C 3 3 2 ，选A. (2)由已知可得tan Atan B 3(tan Atan B 1)， 所以tan(AB) tan Atan B 1tan Atan B 3， 又0AB，所以AB2 3，所以C 3 . 答案：(1)A (2)A 剖析：通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函 数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数 (2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若 角的范围是? ? ? ? ? ? 0， 2 ，则选正弦、余弦皆

5、可；若角的范围是 (0，)，则选余弦较好；若角的范围为 ? ? ? ? ? ? 2， 2 ，则选正 弦较好 3三角恒等变换的应用 【例3】 (1)函数f(x)sin(x)2sin cos x的最 大值为_ (2)函数f(x)sin(2x 4 )22sin 2x的最小正周期是 _ 解析：(1)f(x)sin(x)2sincos xsin xcos cos xsin sin(x)，1sin(x)1，f(x)的最 大值为 1. (2)f(x) 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x 2(1cos 2x) 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x 2sin(2x 4) 2，T 2 2 . 答案：

6、 (1)1 (2) 剖析：剖析： 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与 三角函数的性质相结合，三角函数的性质相结合， 通过变换把函数化为通过变换把函数化为 yAsin(x )k 的形式再研究性质，的形式再研究性质， 解题时注意观察角、解题时注意观察角、 函数名、函数名、 结构等特征结构等特征 1设sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 5，则sin 2 ( ) A 8 25 B. 8 25 C. 17 25 D 17 25 解析：因为sin ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 5 ，即 2 2 (sin c

7、os ) 2 5，即sin cos 2 2 5 ，所以两边平方得，1sin 2 8 25，所以sin 2 17 25，选D. 答案：D 2函数 f(x)sin xcos ? ? ? ? ? ? ? ? x 6 的值域为( ) A2，2 B 3， 3 C1，1 D. ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ， 3 2 解析：函数 f(x)sin xcos ? ? ? ? ? ? ? ? x 6 1 2sin x 3 2 cos x sin ? ? ? ? ? ? ? ? x 3 ，所以值域为1，1，故选 C. 答案：C 3函数y 3cos2xsin xcos x 3 2 的最小正周期是 ( )

8、A. 4 B. 2 C D2 解析：因为 y 3cos2xsin xcos x 3 2 3 2 (1cos 2x)1 2sin 2x 3 2 3 2 cos 2x1 2sin 2xsin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2x 3 ， 所以最小正周期 T 2 2 ，故选 C. 答案：C 4 已 知 2sin 2 sin 2 1tan k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 4 ， 则 sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 的值( ) A随 k 的增大而减小 B有时随 k 的增大而增大，有时随 k

9、 的增大而减小 C随 k 的增大而增大 D是一个与 k 无关的常数 解析：2sin 2sin 2 1tan 2sin 2 2sin cos 1 sin cos 2sin cos sin 2. 因为 0 4 ，02 2 ， 所以 ksin 2(0，1)，随角的增大而增大， sin? ? ? ? ? ? ? ? 4 随角的增大而增大， 所以所以 sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 随随 k的增大而增大的增大而增大 答案：答案：C 5设f(x)是以2为周期的奇函数，且f ? ? ? ? ? ? 2 5 3，若 sin 5 5 ，则f(4cos 2 )( ) A

10、3 B3 C 5 5 D. 5 5 解析：因为f(x)是以2为周期的奇函数，且f ? ? ? ? ? ? 2 5 3，若sin 5 5 ，则cos 212sin 212 5 3 5. 所以所以f(4cos 2)f? ? ? ? ? ? 12 5 f? ? ? ? ? ? 22 5 f? ? ? ? ? ? 2 5 f? ? ? ? ? ? 2 5 3. 答案：答案：A 6cos215sin 215_ 解析：由于二倍角余弦公式可知， cos215sin 215 cos 30 3 2 . 答案： 3 2 7化简求值：(tan 5cot 5) cos 70 1sin 70 _ 解析：因为(tan 5

11、cot 5) cos 70 1sin 70 2cos 10 sin 10 cos 70 1sin 702. 答案：2 8已知sin cos 1 5，则sin 2 _ 解析：sin cos 1 5? 1sin 2 1 25? sin 2 24 25. 答案：24 25 9设函数f(x)cos 2xasin 2x，若f ? ? ? ? ? ? ? ? 5 8 x f? ? ? ? ? ? ? ? 5 8 x ，那么a等于_ 解析：f ? ? ? ? ? ? ? ? 5 8 x f ? ? ? ? ? ? ? ? 5 8 x 则函数关于直线x 5 8 对称，f(0)f ? ? ? ? ? ? ? ?

12、 10 8 ，代入得cos 0asin 0cos 5 2 asin 5 2 ，所以1a. 答案：1 10在ABC中，已知cos A1 7，cos(AB) 13 14， 0BA 2 . (1)求tan 2A的值； (2)求角B. 解：(1)因为cos A 1 7 且A ? ? ? ? ? ? ? ? 0， 2 ，所以sin A 4 3 7 ，所以tan A4 3， 故tan 2A 2tan A 1tan 2A8 3 47 . (2)因为A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0， 2 ，cos A1 7， 所以sin A4 3 7 ，又BA 2 ， 所以0AB 2 ，

13、因为cos(AB) 13 14，所以sin(A B)3 3 14 所以cos Bcos A(AB)cos Acos(AB)sin Asin(AB)1 2， ， 因为B ? ? ? ? ? ? ? ? 0， 2 ，所以B 3 . 2019/7/9 最新中小学教学课件 32 编后语 ? 听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议： ? 一、听要点。 ? 一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物 理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三

14、要素大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。 ? 二、听思路。 ? 思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行 解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。 ? 三、听问题。 ? 对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。 ? 四、听方法。 ? 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义” 的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和