321 几类不同增长的函数模型

1、3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 【选题明细表】 知识点、方法 题号 指数函数、对数函数、幂函数模型的比较1,2,5 图象信息迁移问题 3,8 应用函数模型解决问题 4,6,7 1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( D ) (A)y=100x (B)y=logx 100100x (D)y=100 (C)y=x解析:几种函数模型中,指数函数增长速度最快,故选D. 2.在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表. x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -1.01 0.01 0.98 2.00 则x,y最合适的函数是( D ) x2-1

2、(B)y=x (A)y=2(C)y=2x-2 (D)y=logx 2解析:根据x=0.50,y=-1.01,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y =0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=logx,可知满足2题意.故选D. 页 1 第3.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变,则可以用来描述该厂前t年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的是( ) 解析:注意以下几种情形:图表示不再增长,图表示增速恒定不变,图表示增长速度越来越快,图表示增长速度逐渐变慢.故选A. 4.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一

3、月份减产10%,设二月份产量为b,则( A ) (A)ab (B)ab. ,b=a所以所以【教师备用】 在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I与电线半径r的三次方成正比,若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为( D ) (A)60安 (B)240安 (C)75安 (D)135安 3. r则I=k解析:由已知,设比例常数为k,3, 4时,I=320,故有320=kr=4由题意,当 3. I=5rk=5,解得所以3=135(安),故选3,I=5r=3故当时D. 页 2 第【教师备用】 在某种金属材料的耐

4、高温实验中,温度y()随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示: 现给出下列说法: 前5 min温度增加越来越快; 前5 min温度增加越来越慢; 5 min后温度保持匀速增加; 5 min后温度保持不变. 其中说法正确的是( C ) (A) (B) (C) (D) 解析:前5 min温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢; 5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故正确.故选C. 5.以下是三个变量y,y,y随变量x变化的函数值表: 312x 1 2 3 4 5 6 7 8 y12 4 8 16 32 64 128 256 y21 4 9 16 25

5、36 49 64 y30 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 其中,关于x呈指数函数变化的函数是 . 解析:从表格可以看出三个变量y,y,y都随x的增大而变大,但增长321速度不同,其中y的增长速度最快,画出它的散点图(图略)知变量y11关于x呈指数函数变化. 答案:y 1 页 3 第【教师备用】 如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲,乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息: (1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h; (2)骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动

6、; (3)骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者; (4)骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样. 其中正确信息的序号是 . 解析:看时间轴易知(1)正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此(2)正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故(3)正确,(4)错误. 答案:(1)(2)(3) 2 -2的图象,与函数并比较两g(x)= 【教师备用】画出函数xf(x)=者在0,+)上的大小关系. 解:函数f(x)与g(x)的图象如下. 根据图象易得:当0xg(x); 当x=4时,f(x)=g(

7、x);当x4时,f(x)0,bb1),哪个模型能更好地反映该公g(x)=a数模型司年产量y与年份x的关系? 解:建立年产量y与年份x的函数, 可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30). 2+bx+c(af(x)=ax0), 构造二次函数模型 将点坐标代入,可得 a=1,b=7,c=0, 解得2+7x, f(x)=x则1. 与计划误差为故f(4)=44,x+c(a0,b0,bb1), g(x)=a构造指数函数模型 将点坐标代入,可得 页 6 第 ,b=,c=-42, a=解得 x-42, g(x)=)(则 4-42=44.4, )(故g(4)=与计划误差为1.4. 2+7x能更好

8、地反映该公司年产量y由可得,二次函数模型f(x)=x与年份x的关系. 8.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l交梯形OABC于另一点D,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km). (1)当t=4时,求s的值; (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由. 解:(1)由图象知,点A的

9、坐标为(10,30),故直线OA的解析式为v=3t,当t=4时,D点坐标为(4,12), 所以OT=4,TD=12, s=412=24(km). 所以(2)当0t10时,此时OT=t,TD=3t, 页 7 第 2, t所以3t=s=t当10t20时,此时OT=t,AD=t-10,TD=30, s=10所以30+30(t-10)=30t-150; 当20t35时, 因为B,C的坐标分别为(20,30),(35,0), 所以直线BC的解析式为v=-2t+70, 此时D点坐标为(t,-2t+70), 所以TC=35-t,TD=-2t+70, 2+675, (35-t)(-2t+70)=-(35-t)(10+35)所以30-s= s= 所以(3)法一 由(2)知,当10t20时,30t-1503020-150=450. 2+675=650得t=40(舍去)或t=30. -(35-t)当20t35时,令故当沙尘暴发生30 h后它将侵袭到N城. 法二 因为当t=20时,s=3020-150=4