13选修选考几何证明

1、2013新课标高考数学选修选考10分大题“几何证明选讲”试题精选30题编辑审校王承龙【高考要求】(1 )理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理(2)会证明和应用以下定理：直角三角形射影定理； 圆周角定理；圆的切线判定定理与性质定理；相交弦定理;圆内接四边形的性质定理与判定定理；切割线定理注意，考纲虽未列出，但应该掌握的几个定理：三角形内角平分线定理；切线长定理；弦切角定理；割线定理；四点共圆的判 定方法；初中相似三角形的判定定理、三角形全等的判定及性质定理等有关知识E,点F在BA的延长线上.【试题精选】1如图，A,B,C,D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点EC 1 ED 1DC

2、/ 古(1 )若，求 的值；EB 3 EA 2AB(2)若 EF2 FA FB，证明：EF / CD .2、如图，AB、CD都是圆O的切线长， AB二AC , ADE是圆O的割线，CE交圆O于G , (1)求证：AC/DG ； ( 2)延长BD交AC于F，求证： C.E.B, F四点共圆.解：(1)依题意，有AB2 =AD AE又 AB = AC,. CAD 二.EAC，故 AC2 = AD AE , 即 AC = ADAE AC所以=ADCACE所以.ACD AEC DEC而CD是圆O的切线，故.DEC =/CDG所以.ACD CDG，故 AC/DG(2)连结 BE ,因为 AC/DG，所以

3、.ACG 二.DGE10分由于四边形BDGE内接于圆O，所以 DGE . DBE =180： 所以.ACG DBE =180：，故 C.E.B.F 四点共圆3、如图所示，已知 PA与O O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD / AP , AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且2DE EF EC(1) 求证：.P =/EDF ；(2) 求证：CE EB = EF EP .证明：(1) DE 2 二 EF EC , . DE : CE 二 EF : ED . DEF是公共角，DEF相似于 CED , EDFC, CD /AP,. C = P.P EDF5分. P = EDF , DEF 二 P

4、EA,:DEF 相似于 PEA, DE : PE =EF : EA,即 EF EP = DE EA.弦 AD,BC 相交于点 E,. DE EA=CE EBO2CE EB = EF EP 10 分4、如图，圆 O与圆O相交于A、B两点，AB是圆O2的直径，过 A点作圆O的切线交圆于点E,并与BO的延长线交于点 P, PB分别与圆O、圆Q交于C, D两点. 求证：(I )PA PD=PE PC ( n )AD=AE.证明：(I)； PE、PB分别是O O2的割线 PAPE =PD PB又；PA、PB分别是O O,的切线和割线 PA2 =PC PB 由，得PA PD = PE PCO2FCD(n)

5、连结 AC、ED 设DE与AB相交于点F BC是0 O,的直径 . CAB 二 90 AC是O O2的切线.PA pc由 (I)知， AC / ED AB 丄 DE ,PE PD.CAD ADE又 AC 是O O2 的切线，- CAD =/AED又.CAD ADE , . AED 二.ADE AD =AE5、在心ABC中，AB=AC过点A的直线与其外接圆交于点 P,交BC延长线于点D.PC pd(1)求证：；(2)若AC=3求AP AD的值.AC BD解：(1)CPD 二 ABC, D = D，DPC s QBA，PCABPDBD又 AB =AC,.PCACPDBDAP AC(2) ACD =

6、. APC,. CAP =. CAP, APC s . ：ACD . =C， AC AD6、自圆O外一点P引圆的一条切线 PA，切点为A，M为PA的中点，过点 M引圆O的 割线交该圆于 B,C两点，且 BMP =100：，. BPC =40；.求证：UMBP与.MPC相似； 求乙MPB的大小.解： 因为MA为圆的切线，所以 MA2二MB MC .又M为PA中点，所以MP2二MB MC . 因为.BMP =/PMC，所以. BMP s . ：PMC . 由中 BMP与：PMC相似，可得 MPB=/MCP.在 MCP 中，由 MPB MCP BPCBMP =180：，得， MPB =20.7、如图

7、，在 ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.(I)求旦匸的值；FC(n)若厶BEF的面积为S-i，四边形CDEF的面积为S2， 求S : S2的值.证明：(I)过D点作DG/ BC并交AF于G点，/ E是BD的中点， BE=DE又/ EBF=Z EDG / BEF=/ DEGF BEFA DEG 贝U BF=DG BF: FC=DG FC 又T D是 AC的中点，贝U DG FC=1: 2,BF 1则BF: FC=1: 2;即王=丄FC 2()若厶BEF以BF为底， BDC以 BC为底，则由(1 )知 BF: BC=1: 3,又由BE BD=1 : 2可知h2=1

8、: 2,其中、h2分别为 BEF和厶BDC的高，则S BEF J 1 J，则 S =1 : 5.S BDC 3268、如图，E是圆0内两弦AB和CD的交点，F是AD延长线上一 点，FG与圆0相切于点G ,且EF二FG .求证:(1). ：EFD li . AFE(2) EF / BC 证明：(1)因为FG与圆O相切于点G,(2)由(1)知，.FED FAE ,又因为9、 如图，AB是O 0的直径，弦BD、CA的延长线相交于点 E , EF 垂直BA的延长线于点F .求证:(1) BE *DE AC CE =CE2 ；(2) NEDF =NCDB ;(3) E, F,C, B四点共圆.2(1)要

9、证BEDE ACCE =CE ,只需证证明：BE DE二CE(CE - AC)即BEDE =CEAE ,由割线定理知它显然成立.故BE DE AC CE =CE2;(2) 连接AD ,由AB是直径得.ADB =90,又.EFB =90,所以E,F,A,D四点 共圆，所以.EDF =/EAF ,在L O 中.CDB =/CAB , . CAB =/EAF ,故EDF CDB ；(3) 连接CB ,设M是BE的中点，由AB是直径和.EFB =90，在Rt EFB和1Rt ECB 中，MF BE=MC=ME=MB,所以 E,F,C,B 四点共圆(M 是圆2心).如图，已知 C是以AB为直径的半圆 0

10、上一点， AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F ,直11、CHD , 线Cf交直线AB于点G .(1 )求证：点F是BD中点；(2)求证：CG是圆O的切线.(1) 证明：T CHL AB DB丄 AB, AEHTA AFBADF, EH _ AE _ CEBF AF FD又t HE= EC, BF= FD5证明：如图，连接/ ACB= 90 .又t F是BD中点，/ BCF=/ CBF=90分CB OC.v AB是直径,-/ CBA=/ CAB=/ ACO10/ OCF=90 , CG是O O 的切线.12、如图，AB CD是圆的两条平行弦，BE/

11、 AC BE交CD于 E、交圆于F,过A点的切线交 DC的延长线于 P, PC=ED=1，PA=2.(1 )求AC的长；(2)求证：BE= EF.解：(1) PA =PC PD,PA=2,PC.PD=4,又.PC =ED =1,. CE =2 ,- . PAC 二.CBA, . PCA CAB,PC ac.：PAC s . CBA ,AC AB=PC AB =2 , AC ；2BE =AC =2 , CE =2 ,(2 分)=1(4分).AC2(2)而 CE ED 二 BE EFEFEF =BE .13、如图， ABC为直角三角形，.ABC = 90 ,以AB为 直径的圆交 AC于点E ,点D

12、是BC边的中点，连 OD交圆O于点M求证：O, B, D, E四点共圆；求证：2DE2=DM AC+DM AB.解：(1)连接 BE，贝U BE _ EC又D是BC的中点，所以 DE = BD(5分)(8分)又 OE =OB,OD =OD，所以. ODE 三.ODB ,所以.OBD =/OED =90故D,E,O,B四点共圆.(2)延长 DO 交圆于点 H , DE2 二 DM DH = DM (DO OH)二 DM DO DM OH2 1 1.DE = DM (AC) DM (AB)，即2 222DE DM AC DM AB14、如图，已知 PA是O O的切线，A是切点，直线 PO交 O O

13、于B、C两点，D是OC的中点，连结 AD并延长 交O O于点 E,若 PA= 2、. 3，/ APB= 30.(I)求/ AEC的大小；(n)求AE的长.15、如图，直线 AB经过O O上的点C，并且OA =OB,CA =CB, O O交直线OB于E ,D，连接 EC,CD .(1)求证：直线AB是O O的切线；1(2CED , O O的半径为3，求OA的长.2证明：(1)如图，连接 OC , ：OA =OB,CA 二 CB,.OC_AB,OC是圆的半径，-AB是圆的切线.3 分(2) ED是直径，ECD =90 , E EDC =90又 BCD OCD =90 , OCD =/ODC, BC

14、D =/E,又 CBD =“EBC ,BCD s . BEC ,BC BDBE BCBC2 = BD BE ,5 分CD tan ZCED =ECBCD s EEC ,1 2，BD CDBC 一 EC1-2=BD BE (2x)2 =x(x 6). BD = 29 分10设 BD 二 x,则BC =2x, BC2OA = OB = BD OD = 2 3=5. 10分17、 如图，AD、AE、BC分别与圆 O切于点D、E、F,延长 AF交圆O于G.(1)求证：AD + AE = AB + BC + CA ;求证：AF - AG = AD - AE.证明：(1) T AD, AE BC分别与圆

15、O切于点 D, E, F BD= BF, CE= CF, AD AE= AO CE+ AB+ BD= A叶 AB+ CF+ BF= AO AB+ BC AD AE= AB+ BC+ CA.(2)/ AD, AE,分别与圆 O切于点 D, E, AD= AE由切割线定理得 AD= AF- AG - AF - AG= AD- AE.18、如图，/ BAC的平分线与BC和外接圆分别相交于 D和E,延长AC 交过D E、C三点的圆于点F。=ED EA ；=3 ,求AFAC的值的外接圆，D是AC的中点，BD交AC于 E.DE DB ;O到AC的距离为解：(I )证明：T . ABD =. CBD , .

16、 ABD . CBD ECD ,又.CDB EDCBCD CED _D =匹DC DB ( 5 分) =4, C为半圆上一A 作 AD _CD 于 D ,求证：EF2 若 AE 6,EF19、如图,(I)(n)O O是厶ABC 求证：DC2 = 若 CD = 2、3 ,1,求O 0的半径r .ECD Cb=DE DB20、已知AB为半圆O的直径，AB 点，过点C作半圆的切线CD，过点 交圆于点E , DE =1 .(I)求证：AC平分.BAD ；(n)求BC的长. 解：(I)连结 AC，因为 OA = OC，所以.OAC 二.OCA ,因为CD为半圆的切线，所以 OC丄CD，又因为AD丄CD，

17、所以OC 所以.OCA =/CAD , . OAC =/CAD，所以 AC 平分.BAD .(n)由(I)知 BC 二CE ,D/ AD ,连结CE，因为ABCE四点共圆，NB=NCED，所以cosB=cosCED , 分 所以匹二CB，所以BC =2 CE AB21、如右图，已知圆上的 AC=BD，过C点的圆的切线与 BA 的延长线交于E点。(1) 证明：(2) 若 BEACE 二 BCD ;= 4,CD =1，求 BC 的长.；AC 二 BD, ABC BCD解: (1)又；EC为圆的切线ACE =/ABC, ACE 二 BCD 5分(2)由圆内接四边形 ABCD . - CDB=/EAC

18、,. EAC = BEC,10分由. ：BCE s ,CDBCD BCBC =210分BC 一 EB22、如图，已知 PA与圆O相切于点A,经过点 O的割线PBC交圆O于点B. C,Z APC的平 分线分别交 AB. AC于点D. E.(I)证明：/ ADE玄 AED25、AD型二也则 AC2 二 AD AB =12，所以 AC =2、3 . AC AB如图所示，已知O Oi与o O2相交于A, B两点，过点A作O Oi的切线交O O2于点C , 过点B作两圆的割线，分别交O Oi,O O2于点D, E, DE与AC相交于点P.(1) 求证:AD / EC;(2) 若 AD 是O O2 的切线

19、，且 PA=6,PC=2,BD=9,的长.解：(1)证明：连接AB ,T AC是O O1的切线，/ BAC= / D,又/ BAC= / E,(2 )设 BP=x , xy=12，/ D= / E o AD / ECPE=y,T PA=6, PC=2,E/ AD / EC,DPPE由可得,x=3或丿y=4AJ 9 J6 ，PC y 2x = 12 谷+(舍去) DE=9+x+y=16 ,y = -12TAD 是O O2 的切线， AD =DB *DE=9 X 16,二 AD=12.26、如图：已知AD为O O的直径，直线BA与O O相切于点A,直线OB与弦AC垂直并相 交于点G,连接DC.求证

20、：BA DC = GC AD.(H)若AC=AP求fC的值.PA23、如图，PA切圆O于点 A 割线 PBC经过圆心 O, OB=PB=1 绕点O逆时针旋转60到OD(1) 求线段PD的长；(2) 在如图所示的图形中是否有长度为3的线段？若 有,指出该线段；若没有，说明理由.解：(1 )T PA切圆O于点A,且B为PO中点， AB=OB=OA . AOB =60 ,. . POD =120在. POD中，：PD2 二 PO OD-2PO DOcos PODPD7(2)/ PA是切线,PB=BO=OC24、如图，已知 C、F是以AB为直径的半圆 O上的两点，且 AF的延长线与点 D .(I )证

21、明：CD为圆O的切线；(H )若 AD = 3, AB = 4,求 AC 的长.(I)证明： CF =CB ,. CAF =/CAB . OA =OC , . CAO =/ACO ,贝U CAF ACO , AF / OC . CD _ AF , . CD _ OC .则 CD 为圆 O 的切线.(H)解：连接 BC，由(I)知.CAD =/CAB . 又.CDA =/ACB =90 , ADC s ：ACB .证法一： AC A OB , ?AGB 90 , 又 AD是O O的直径，? DCA 90 ,又/ ? BAG ? ADC (弦切角等于同弧对圆周角)Rt AGB s Rt DCABA

22、AG,又.OG a AC GC _ AGADDCBA GCADDC即 BA?DC=G C?AD证法二： BA与O O相切于A ? BAO 90：又 AG a BO 于 G , ?ABG ?GOARt BGA s Rt AGO.BA _ AOAG _ OG/ OG a弦AC于G , G为AC的中点 又/ O为直径1- AO 二一AD21 adBA_ 2AD_AG IdC2AD的中点，1,OG 二一DC2ADDCBA ?DC=G C?A D27、已知：如图， ABC中，AB=AC，/ BAC=901AE= AC,3上,口1且CF= BC.求证:3EF 丄 BC; / ADE= / EBC.(1)(

23、2)证明：设 AB_AC_3a，贝U AE_BD_a , CF_ 、2a.CE 2a 、2 CF 2a 2 (1)CB 3 2a3 CA 3a又/ C公共，故 BACEFC，由/3BAC=90EFC=90 , EF 丄 BC(2)由(1)得 EF = -2a,故 AEDAE_ / BFE_90 ADEF-2a 2 , BF ADEFBE ,2a2、2a/ ADE= / EBC.28、已知C点在圆O直径AE于点F，交AB于(1 )求 ADF的度数；BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC D点.(2)若 AB=AC，求 AC:BC.解：(1厂，AC为圆O的切线，一 B=/EAC 又知，DC是.AC

24、B的平分线, ACD DCB B DCB EAC ACDDBC是 ACB的平分线交A即.AD F = /AF D又因为BE为圆O的直径，二.DAE =90 /ABF =(180./DAE)=452(2)B =/EAC , ACB =/ACB，:ACE s . ：ABCACBcAEAB又.AB=AC, . B=/ACB=30 ,A CA L: Q在 RT ABE 中， 二 二 tan B 二 tan 30BC AB329、自圆O外一点P引切线与圆切于点 A , M为PA中点，过M引 割线交圆于 B,C两点求证：/ MCP= / MPB .证明： PA与圆相切于 A , MA2 =MB MC ,/

25、 M 为 PA中点， PM 二MA , PM2 .MB MC ,巡二些MC PM . BMP =. PMCBMPPMC , . MCP =/MPB 30、如图，AD是O O的直径，AB是O O于点M、N ,直线BMN交AD的延长线于点 C , BM MN = NC , AB =2，求BC的长和O O的半径.证明：幕AD是O O的直径，AB是O O的切线，直线BMN是O O的割线,DAO M B. “ 2BAC =90 , AB =BM BN .AB2 AC2 = BC2, 4 AC2 =18 , AC = . 14.CN CM 二 CD CA, 、2 2 一 2 = CD 14, CD = ?

26、 71 5 /.O O 的半径为一(CA-CD)142 1431、如图，AB是O O的直径，C, F为O O上的点，CA是/ BAF的角平分线，过点 C作CD丄AF交AF的延长线于 D点，CM丄AB，垂足为点M.(1) 求证：DC是O O的切线；(2) 求证：AM MB=DF DA.证明；(I)连结 OC,./ OAC= / OCA，又T CA 是/ BAF 的角 平分线，/ OAC= / FAC,：/ FAC=Z ACO , OC/ AD. / CD丄AF , CD丄OC,即卩DC是O O的切线.(n)连结 BC,在 Rt ACB 中， CM 丄AB,2- CM =AM MB.又T DC 是

27、O O 的切线，- DC2=DF DA.易知 AMC也厶 ADC , DC=CM , AM -MB = DF DA.32、如图，已知 AP是O O的切线，P为切点，AC是O O 的割线，与O O交于B、C两点，圆心O在.PAC的内 部，点M是BC的中点.(I)证明 A, P, O, M四点共圆；(n)求/ OAM +/ APM 的大小.(I)证明：连结OP, OM.因为AP与O O相切于点P,所以OP丄AP.因为M是O O的弦BC的中点，所以 OM丄BC.于是/ OPA +/ OMA=180，由圆心 O在.PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补，所以 A, P, O, M四点共圆（H）解：

28、由（I）得 A, P, O, M四点共圆，所以/ OAM=Z OPM. 由（I）得OP丄AP.由圆心O在.PAC的内部，可知/ OPM +Z APM=90 . 所以/ OAM +Z APM=90 .33、已知ABC中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧 AC上的点（不与点 A,C重合），延长BD至E.（1）求证：AD的延长线平分.CDE ;（2）若也BAC= 30，二ABC中BC边上的高为 2+ 3，求厶ABC 外接圆的面积.解：（1）如图，设F为AD延长线上一点 A , B, C, D 四点共圆，/ CDF = Z ABC又 AB=ACABC=Z ACB且/ ADB2 ACB,/ ADB=

29、/ CDF对顶角/ EDF=Z ADB, 故/ EDF=/ CDF即卩AD的延长线平分/ CDE.(2)设O为外接圆圆心，连接 AO交BC于H,则AHI BC. 连接 OC,A由题意/ OAC/ OCA=l5, / ACB=7& / OCH=64 二.设圆半径为r,则r+ 3 r=2+ . 3 ,a得r=2,外接圆的面积为234、如图，已知 ABC的两条角平分线 AD和CE相交于 H，乙 B = 60, F 在 AC 上，且 AE 二 AF .（1）证明：B,D,H,E四点共圆：（2）证明：CE平分.DEF .解：（1）在厶ABC中，因为/ B=60 ,所以/ BAC+ / BCA=120 .因为AD , CE是角平分线，所以/ HAC+ / HCA=60 ,故/ AHC=120 .于是/ EHD= / AHC=120 .因为/ EBD+ / EHD=180 ，所以B,D,H,E四点共圆.（2）连结BH,则BH为/ ABC的平分线，得/ HBD=30 由（I）知 B,D,H,E 四点共圆，所以/ CED= / HBD=30 .又/ AHE= / EBD=60 ，由已知可得 EF丄AD,可得/ CEF=30 所以CE平分/ DEF.35、已知：如右图，在等腰梯形 ABCD中,