二阶矩阵与平面向量-综合检测-

1、综合检测(二)2 01.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2 + y2= 1在矩阵A = 对应的 变换下得到曲线F，求F的方程.【解】 设P(xo, yo)是椭圆上任意一点，点P(xo, yo)在矩阵A对应的变换下变为点p，(x，0，y，0)，!x020 X02x0则， y0=01 y0yo ，!x=2x0,x，00：x0即2，fy0：=y，yo=y，0.又点P在椭圆上，代入得4x 22亍+y1，即x2 +1.曲线F的方程为x2 + y2= 1.2 .若点A彳，彳在矩阵M =COS a sin aSin a对应的变换作用下得到点为COS aB(1,0)，求a的值.解由题意知COS asin

2、asin aCOS aJ 2. d所以2 COS a 2 Sin a= 1，迈i亠壘 02 Sin a+ 2 COS a= 0，COS a= 2 ，解得Sin a= 2，从而可知， a 2k n-才，（k Z）.1 03.已知直线I与直线3x+ 5y+ 6 = 0平行，且过点（5,6），求矩阵 1将直 0 5线I变成了什么图形？并写出方程.【解】由已知得直线I的方程为3x+ 5y-45= 0,设P（x, y）为I上的任意点，点P在矩阵对应的变换下对应点P （x，y）.,10xxx则，=c 1= 1y 0 5 y 5y!x!yx，15y.x=x，代入 3x+ 5y-45= 0，y= 5y .得

3、3x + 25y 45= 0，直线I变换成直线3x+ 25y 45= 0.4.求直线y= 2x在矩阵31确定的变换作用下得到的图形的表达式.解设点（x，y）为直线y= 2x上的任意一点，其在矩阵1 3确定的变0 1xx换作用下得到的点为（x ， y ），贝U fyyx+ 3yyx = x+ 3y，y = y，x=x 3y ，所以将其代入y = 2x,并整理得2x 7y y=y，=0，所以直线y= 2x在矩阵1 3确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x-7y= 0.5切变变换矩阵01把直线x+ y= 1变成什么几何图形?【解设P(x,y)在该变换下的象为P(X,y)，则!所以切变变换矩阵xy0

4、 1 y直线x+y= 1变成与y轴平行的直线x= 1.6.若曲线x2 + 4xy+ 2y2= 1在矩阵M的作用下变换成曲线X2 - 2y2M的作=1,求a、b的值.【解设(x, y)为曲线x2 + 4xy+ 2y2= 1上的任意一点，其在矩阵22x用下变换成点(x , y)，则(x , y)在曲线x2-2y2= 1 上, , u y bx+ ayx = x+ ay,，即，将其代入x2- 2y2= 1,并整理，得(1- 2b2)x2 + (2a-bx+ yy = bx+ y,1-2b2 = 1,4b) xy+ (a2- 2)y2= 1，比较系数得2a- 4b = 4,2 a2-2 = 2,a =

5、 2,解得b = 0.7.点(2,2x )在旋转变换矩阵12厂的作用下得到点(y,4),求x, y, m, n.2 n解12 m因为矩阵是旋转变换矩阵,所以m=n由题意知1_yJ3x= y,X = 4羽,所以解得3 + x = 4,y = 4 4 3 .8二阶矩阵M对应的变换T将点(1, 1), ( 2,1)均变为点(1,1).(1)求矩阵M ;(2)直线1: 2x+ 3y+ 1= 0在变换T作用下得到什么图形？说明理由.【解】设m =a d，则由题设得c dab11a b21一且cd11 ,c d11 ,a-b 1,a= 2,cd=1,b= 3,即解得一2a+ b= 1,c一一2,2c +

6、d = 1,d = 3.一 23所以M 23设P(x, y)是1: 2x+ 3y+ 1 = 0上任一点P (x , y)是对应的点，则由!x!y一 2 一 3 x一 2x 一 3y2 3 y 2x 3y即 2x+ 3y= x = yx = 2x 3y, 得y = 2x 3y,又 2x+ 3y+ 1 = 0,所以 x = y = 1.故在I在变换T作用下变为点(1,1).9求直线y= 2x+ 1绕原点逆时针旋转45。后所得的直线方程.解cos 45 sin 45 22sin 45 cos 45 22设直线y= 2x+ 1上任意一点为（xo, yo）,其在旋转变换作用下得到点（x o,y o),则

7、122匸2122工y。2xox o=y oo= 2 xo yo ,o= 2 xo + yo ,xo =解得x o+ y o,yo =_#x o y o .xf2因为点(xo, yo)在直线 y= 2x+ 1 上,所以 2x o + y o 1 = o,所以 2X2(x o + y o)2(x oy o)1 = o,整理得 卡x o+3j2y o1 = o.所以直线y=- 2x+ 1绕原点逆时针旋转45后所得的直线的方程是 x+3,22 y 1=o.1o.如图所示的是一个含有6o角的菱形ABCD,要使只变换其四个顶点中 的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵 M.该变换矩阵惟一 吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵.【解 由题设知AC : BD = 3 : 1.若只变换A, C两个顶点，则应把A, C两个顶点的横坐标