专题09特殊与一般

1、专题09特殊与一般阅读与思考二次函数的一般形式是y = ax-+bx + c（aO）.从这个式子中能够看出，二次函数的解析式实际 上是关于X的二次三项式，若令V=0,则得ax-+bx + c = 0这是一个关于兀的一元二次方程，所以二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为:-4ac1当aO时，方程有两个不相等实数根.抛物线与X轴有两个不同的交点，设为A（x. 0）, Bg, 0）,其中州，勺是方程两相异实根，AB =2当 = 0时，方程有两个柑等实数根，抛物线与X轴只有一个交点：3. 当 0 ：（2）若儿B两点之间距离不超过2卩一3,求P的最大值.（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据题意

2、，方程x2_2px_p = 0有两个不同的实数根，于是aO,综合使用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解.【例5】是否存有这样的实数k,使得二次方程F+（2R - l）x-（3R + 2）= 0有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确圮k的取值范围；如果没有，试述理由（“祖冲之杯邀请赛试题） 解题思路：因为根的表示形式复杂，所以，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相对应 二次函数交点在2 与4Z间，k应满足的条件，借助函数图彖解题.【例6】设为正整数，且加工2如果对一切实数几 二次函数y = F+（3-加丫一3加的图彖勺X轴的两个交点间的距离不小于2/ + ,求W, 的值

3、.（全国初中数学联赛试题）fiit r 由条件得 ”1/ + 3|2/解题思路：由X +（3-nit）x-3mt = 0得只1=一3宀=等式对任意实数/都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解.水平训练1.已知二次函数y = 2x-4nix + m-的图象与x轴有两个交点A. B,顶点为C,若ABC的而积2.把抛物线y = -3（x-l）向上平移R个单位，所得抛物线与X轴相交于点川“ 0）和Bg, 0）.已处諧，那么平移后的抛物线的解析式为（杭州市中考试题）3抛物线y = ax-+bx + ca=Q）的图象如图所示.（1）判断“C及b-4ac的符号:abc0 , Ir -4ac0：（2当04

4、 = OB时，u4c满足的关系式为.第4题图第6题图4. 已知二次函数y = ax+hx + c的图象过（-L 0）和（0,-1）两点，则a的取值范用为（黑龙江省中考试题）5.若关于X的方程2x-3x + zh = 0的一个根大于2 且小于亠 另一个根大于2且小于3,则w的取值范用是（）9,9A / - B 一 14 V m 8 8C. 一9加5D. -147一2（天津市竞琛试题）6 设函数y = F-（川+ l）x-4（川+ 5）的图象如图所示,它打X轴交于血B两点,且线段OA仃OB的长的比为h 4,则W的值为（）A. 8B.-4C 11D-4或117 -已知二次函数y = ax +hx +

5、 c X轴相交于两点-4（ Xj , 0）, B（七，0）,其顶点坐标为b 4c-h4,AB=x,-x, *若Sa州=1，则b与C的关系是（A h- - 4c +1 = 0B Z/-4c-l=0C h- -4c + 4 = 0（福州市中考试题）&设关于X的方程ax-+（a + 2）x + 9a = 0有两个不等的实数根山，x?,且比VlVx, 那么“的取值范帀是（22Aa 52C. a 72CD = x-(nr+8)Lv + 2(z-+6).（1）求证：不论W取任何实数，此函数的图彖都与X轴有两个交点，且两个交点都在X轴的正半 轴上：（2）设这个函数的图象与X轴交于B, C两点，与y轴交于A点

6、，若ABC的而积为48,求w的值.（徐州市中考试题）1 310.已知抛物线y = xmx - 2m交x轴于A(x. 0), Bg, 0),交轴于C点，且x, Qx.2 2(AO + BO)2 = 12CO + 1（1）求抛物线的解析式：（2在x轴的下方是否存有着抛物线上的点P,使ZAPB为锐角？若存有，求出P点的横坐标的 范围：若不存有，请说明理由（武汉市中考试题）Bg, 0) (X, -,且OA + OB = 3OC.求抛物线的解析式及4. B.8在（2）情形下，点P, 0分别从A, 0两点同时岀发（如图）C运动，连接P0 jBC交于M,设AP=k，问：是否存有k值，使以P, B, M为顶点

7、的三角形与aBC 柑似？若存有，求所有k值：若不存有，请说明理由(3)以相同的速度沿AB. OC向B,（黃冈市中考试题）12. 某商品的进价为每件40元，售价为毎件50元，每个月可卖岀210件；如果每件商品的售价每 上涨1元，则每个月少卖10件（毎件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨X元（X为正整数）, 每个月的销售利润为y元.（1）求yx的函数关系式并直接写出自变虽*的取值范困：（2）每件商品的售价楚为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，毎个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出 售价在什么范用时，每个月的利润不低于2

8、200元？（武汉市中考试题）1. 已知抛物线y = x- + 2nix + ni-7 x轴的两个交点在（1, 0）两旁，则加的取值范围为2. 设抛物线y = /+（2 + tk + 2/ + 的图象与X轴只有一个交点，则/+32&严的值为（全国初中数学联赛试题）033设加是整数且方程3F+壮一2= 0的两根都大于-匕而小于2,则心57（全国初中数学联赛试题）4.已知抛物线y = x-+kx+x轴的正方向相交于儿B两点，顶点为G ABC为等腰直角三5, 如图，己知抛物线y = F + 轴交于A, B两点，交y轴负半轴于C点，ZACB=90 ,1 1 2且页一西=则8眈的外接圆的而积为6. 已知抛

9、物线y = F+4:+k-l,（1）求证：无论A为何实数，抛物线经过X轴上的一世点;（2）设抛物线与y轴殳于C点，与X轴交于人（兀1,0）, B（兀2 0）,两点，且满足J州V，X| ，S肚=6问：过儿B, C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标.（武汉市中考试题）7. 已知抛物线y = %2 + + /上有一点位于X轴下方(1)求证J已知抛物线必与X轴有两个交点4（ r 0）, B（ X21 0）,其中J| + 2（/1 + 1）（5 + 4） = 0的一整数根，求的值.（绍兴市竞赛试题）10. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2. 0）,连结OA,将线段

10、OA绕原点0顺时针旋转 120 .得到线段OB.（1）求点B的坐标：（2）求经过儿0, B三点的抛物线的解析式：（3）在（2中抛物线的对称轴上是否存有点G使BOC周长最小？若存有，求点出C的坐标: 若不存有，请说明理由：（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在兀轴的下方，那么MB是否有最大面积？若有, 求出此时P点的坐标及用B的最大面积：若没有，请说明理由.IL如图1,抛物线y = ax-+hx + 3经过两点A (3 0), B (1, 0)两点.(1)求抛物线的解析式:(2)设抛物线的顶点为直线y = -2x + 9 jy轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线 平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD (含端点C)只有一个公共点，求它的顶点 横坐标的值或取值范围：(3) 如图2,将抛物线平移，当顶点至原点时，过0(0, 3)作不平行于*轴的直线交抛物线于E, F 两点，问在y轴的负半轴上是否存有点P，使得PEF的内心在y轴上？若存有，求出点P的坐标：若 不存有，请说明理由(武汉市中考试题