初一数学分类讨论思想例题分析及练习

1、分类讨论思想在数学中 , 如果一个命题的条件或结论不唯一确定, 有多种可能情况 , 难以统一解答 , 就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论 , 最后综合归纳出问题的正确答案 , 这种解题方法叫做 分类讨论。在数学学习中， 我们不仅要分阶段学习知识， 还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有： 分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。 特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。 今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。在分类讨论的问题中有

2、三个重要的注意事项。1. 什么样的题会出现分类讨论思想 - 往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步” ( 如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等 ) 。2. 分类讨论需要注意什么 - 关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。3. 分类讨论中最容易错的是什么 - 总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。【例 1】解方程： |x-1|=2分析：绝对值为 2 的数有 2个解： x-1=2 或 x-1=-2,则 x=3或 x=-1说明 应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。1. 化简 ( 如

3、当 a0b 时，化简 |a-1|+|b+1|+|a-b|)处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性2. 类似于“解方程” ( 如本题 )处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。3. 使用绝对值的几何意义解题 ( 如已知 |x-1|2 ，求 x 的取值范围 )处理方法：画数轴， |x-1|b 即 a-b0 a=b 即 a-b=0ab 即 a-b0时， 2a0，即 (1+a)-(1-a)0，即 1+a1-a当 a=0时， 2a=0，即 (1+a)-(1-a)=0，即 1+a=1-a当 a0时， 2a0，即 (1+a)-(1-a)0，即 1+a0时， 1+a1-a；当 a=0时，

4、 1+a=1-a；当 a0时， 1+a1-a。【例 3】 已知线段 AB长度为 6cm，点 C 在直线 AB上，且 AC=2cm，求 BC的长度。分析：注意点 C 的位置不能确定。 在直线上， 与一个定点的距离为定值的点有两个。处理方法： 画一个示意图，往往能帮助理解。解：如示意图，有两种情况。如图 1，点 C 在 AB之间时， BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm如图 2，点 C 在 BA的延长线上时， BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm【例 4】 一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？解： 5个或 4个或 3个。【例 5】已知 ABC周长为 20cm，AB=AC，其中一边边

5、长是另一边边长的 2 倍， BC长多少？解：设 AB=AC=x当 AB=2BC时， BC=0.5x据题意，列 x+x+0.5x=20 ，解得 x=8cm，则 BC=0.5x=4cm 当 BC=2AB时， BC=2x据题意，列 x+x+2x=20，解得 x=5cm，则 BC=2x=10cm检验：当 AB=2BC时，三边长为 8cm，8cm，4cm，可组成三角形；当 BC=2AB时，三边长为 5cm，5cm， 10cm，不可组成三角形，舍。答： BC长为 4cm。【例 6】 富城书店推出售书优惠方案：一次性购书不超过 100 元，不享受优惠；一次性购书超过 100 元，但不超过 200 元，一律打

6、九折；一次性购书超过 200 元，一律打八折。如果小明一次性购书付款 162 元，那么小明所购书的价格为多少。解：付款 162 元，由于 162 100，可确定享受了优惠。因不确定是打九折还是打八折，所以分类。 200 9=180 162， 162 元可能享受了九折优惠，162 9=180（元）；1010 200 8=160 162， 162元可能享受了八折优惠，162 8 =202.5 （元）1010答：小明所购书的价格为180元或 202.5 元。【例7】 三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的 2倍，已知糖果总数是一个小于 50的质数，且它的各位数字之和为 11

7、，试求甲、乙、丙各分得几块糖？分析：1.两个限制条件：整数、质数2. 一个常见说法：乙比丙多得 13块，甲所得的糖果数是乙的 2倍3. 一个常见不等式列法：糖果总数是小于 50解：设丙获得了 x 块粮果，则乙的糖果数为 (x+13) 块，甲的糖果数为 2(x+13) ，根据题意，可列不等式 2(x+13)+(x+13)+x50整理这个不等式，解得x11/4=2.75由于糖果块数必为 正整数，所以 x=1或2当 x=1时， x+13=14，2(x+13)=28总块数 1+14+28=43，为质数，但 4+3=711，则 x=1应舍去；当 x=2时， x+13=15，2(x+13)=30总块数 2

8、+15+30=47，为质数 4+7=11，合题意。答：甲分得糖果数为 30块，乙分得 15块，丙分得 2块。练习题1. 解方程：（ 1） |x+4|=3（2） a 2( 3) 22.|a|+a 的值的情况讨论。3. 如果 a 、 b 、 c 是非零有理数，求 abc 的值abc4. 比较 a2 -a+4 与 a2+3 的大小5. 数轴上有 A、B 两点 , 若 A 点对应的数是 -2, 且 A、 B 两点的距离为 3, 则点 B 对应的数为多少（画图表示） 。6. 平面内有四点，经过两点可画多少条直线。7. 平面内有三条直线 , 它们可能有几个交点 ?8. 已知 A0B=120o， BOC=30o，则 AOC为多少。9. 在一条直线上顺次取 A、 B、 C 三点，已知 AB5cm，点 O 是线段 AC的中点，且 OB=1.5cm，求线段 BC的长。10. 已知 ABC周长为 18cm，AB=AC，其中一边边长比另一边边长大 3cm， BC长多少？11. 在 ABC中，若 AB=3，BC=1-2x，CA=8，求 x 的取值范围。12. A 、B 两地相距 480 千米 , 一列慢车从 A 地开出 , 每小时行 60 千米 , 一列快车从 B 地开出 , 每小时行 65 千米 , 慢车先开出 1 小时 , 两车相向而行 , 慢车开出 x 小时后 , 两车相距 100 千米 , 则列方