（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 10.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教A版

1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 (全国卷5年5考) 【知识梳理知识梳理】 1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 设直线设直线l:Ax+By+C=0(A:Ax+By+C=0(A2 2+B+B2 20),0), 圆圆:(x-a):(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r0),(r0), d d为圆心为圆心(a,b)(a,b)到直线到直线l l的距离的距离, ,联立直线和圆的方程联立直线和圆的方程, ,消消 元后得到的一元二次方程的判别式为元后得到的一元二次方程的判别式为. 方法方法 位置关系位置关系 几何法几何法代数法代数法 相交相交_ 相切相切_ 相离相离_

2、drd00 d=rd=r=0=0 drdr00),0), 圆圆O O2 2:(x-a:(x-a2 2) )2 2+(y-b+(y-b2 2) )2 2= (r= (r2 20).0). 2 1 r 2 2 r 方法方法 位置位置 关系关系 几何法几何法: :圆心距圆心距d d 与与r r1 1,r,r2 2的关系的关系 代数法代数法: :两圆方程两圆方程 联立组成方程组的联立组成方程组的 解的情况解的情况 外离外离_ 外切外切_一组实数解一组实数解 相交相交_两组不同的实数解两组不同的实数解 内切内切d=|rd=|r1 1-r-r2 2|(r|(r1 1rr2 2) )_ 内含内含 0d 0d

3、rdr1 1+r+r2 2 无解无解 d=rd=r1 1+r+r2 2 |r|r1 1-r-r2 2|dr|dr1 1+r+r2 2 一组实数解一组实数解 |r|r1 1-r-r2 2| | 无解无解 方法方法 位置位置 关系关系 几何法几何法: :圆心距圆心距d d 与与r r1 1,r,r2 2的关系的关系 代数法代数法: :两圆方程两圆方程 联立组成方程组的联立组成方程组的 解的情况解的情况 外离外离_ 外切外切_一组实数解一组实数解 相交相交_两组不同的实数解两组不同的实数解 内切内切d=|rd=|r1 1-r-r2 2|(r|(r1 1rr2 2) )_ 内含内含 0d 0d _ (

4、r(r1 1rr2 2) ) _ 【常用结论常用结论】 1.1.圆的切线方程常用结论圆的切线方程常用结论 (1)(1)过圆过圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上一点上一点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的圆的切线方程为的圆的切线方程为 x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2. . (2)(2)过圆过圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2上一点上一点P(xP(x0 0,y,y0 0) )的圆的切线的圆的切线 方程为方程为(x(x0 0-a)(x-a)+(y-a)(x-a)+(y0 0-b)(y-b)=r-b)(y-b)=r2 2. .

5、(3)(3)过圆过圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2外一点外一点M(xM(x0 0,y,y0 0) )作圆的两条切线作圆的两条切线, ,则两则两 切点所在直线方程为切点所在直线方程为x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2. . 2.2.直线与圆的位置关系的常用结论直线与圆的位置关系的常用结论 (1)(1)当直线与圆相交时当直线与圆相交时, ,由弦心距由弦心距( (圆心到直线的距离圆心到直线的距离),), 弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角 形形. . (2)(2)弦长公式弦长公式|AB|= |x|AB|= |xA A

6、-x-xB B| | = = 2 1k 2 2 ABAB 1kxx4x x. 3.3.圆与圆的位置关系的常用结论圆与圆的位置关系的常用结论 (1)(1)两圆的位置关系与公切线的条数两圆的位置关系与公切线的条数: : 内含内含:0:0条条; ;内切内切:1:1条条; ;相交相交:2:2条条; ; 外切外切:3:3条条; ;外离外离:4:4条条. . (2)(2)两圆相交时公共弦的方程两圆相交时公共弦的方程 设圆设圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0,=0, 圆圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+

7、Fy+F2 2=0,=0, 若两圆相交若两圆相交, ,则有一条公共弦则有一条公共弦, ,其公共弦所在直线方程其公共弦所在直线方程 由由- -所得所得, ,即即:(D:(D1 1-D-D2 2)x+(E)x+(E1 1-E-E2 2)y+(F)y+(F1 1-F-F2 2)=0.)=0. (3)(3)两个圆系方程两个圆系方程 过直线过直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0交点的圆系交点的圆系 方程方程:x:x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R);+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R)

8、; 过圆过圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1=0=0和圆和圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+D+D2 2x+Ex+E2 2y+Fy+F2 2 =0=0交点的圆系方程交点的圆系方程:x:x2 2+y+y2 2+D+D1 1x+Ex+E1 1y+Fy+F1 1+(x+(x2 2+y+y2 2+D+D2 2x x +E+E2 2y+Fy+F2 2)=0(-1)()=0(-1)(其中不含圆其中不含圆C C2 2, ,所以注意检验所以注意检验C C2 2 是否满足题意是否满足题意, ,以防丢解以防丢解).). 【基础自测基础自测】 题组

9、一题组一: :走出误区走出误区 1.1.思维辨析思维辨析( (在括号内打在括号内打“”“”或或“”).”). (1)(1)如果直线与圆组成的方程组有解如果直线与圆组成的方程组有解, ,则直线与圆相交则直线与圆相交 或相切或相切. . ( () ) (2)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解, , 则两圆外切则两圆外切. .( () ) (3)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和, ,则两圆相则两圆相 交交. . ( () ) (4)(4)从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共弦从两圆的方程中消掉二次

10、项后所得的方程为公共弦 所在直线方程所在直线方程. .( () ) (5)(5)过圆过圆O:xO:x2 2+y+y2 2=r=r2 2外一点外一点P(xP(x0 0,y,y0 0) )作圆的两条切线作圆的两条切线, ,切切 点为点为A,B,A,B,则则O,P,A,BO,P,A,B四点共圆且直线四点共圆且直线ABAB的方程是的方程是 x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2. . ( () ) 【解析解析】(1).(1).直线与圆组成的方程组有一组解时直线与圆组成的方程组有一组解时, ,直直 线与圆相切线与圆相切, ,有两组解时有两组解时, ,直线与圆相交直线与圆相交. . (2)(2

11、). .因为除外切外因为除外切外, ,还可能内切还可能内切. . (3)(3). .因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对 值值, ,否则可能内切或内含否则可能内切或内含. . (4)(4). .只有当两圆相交时只有当两圆相交时, ,方程才是公共弦所在的直线方程才是公共弦所在的直线 方程方程. . (5).(5).由已知由已知,O,P,A,B,O,P,A,B四点共圆四点共圆, , 其方程为其方程为 即即x x2 2+y+y2 2-x-x0 0 x-yx-y0 0y=0,y=0, 又圆又圆O O方程为方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 2, ,

12、2222 0000 xyxy xy 2222 （）（） （）（） ， - -得得x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2, ,而两圆相交于而两圆相交于A,BA,B两点两点, , 所以直线所以直线ABAB的方程是的方程是x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2. . 2.2.已知点已知点P(2,2),P(2,2),点点Q Q是曲线是曲线C:(xC:(x2 2+y+y2 2-1)(x-1)(x2 2+y+y2 2-2)=0-2)=0上上 一动点一动点, ,则则|PQ|PQ|的最小值是的最小值是_._. 【解析解析】曲线曲线C C由两部分组成由两部分组成, ,圆圆M:xM:x2

13、2+y+y2 2=1=1与圆与圆 N:xN:x2 2+y+y2 2=2,=2,如图如图, , 要使要使|PQ|PQ|最小最小, ,需点需点Q Q在圆在圆N N上且在直线上且在直线OPOP上上, , 此时此时,|PQ|=|OP|- = ,|PQ|=|OP|- = , 所以所以|PQ|PQ|的最小值是的最小值是 . . 答案答案: : 22 2 2 题组二题组二: :走进教材走进教材 1.(1.(必修必修2P1272P127例例1 1改编改编) )直线直线y=x+1y=x+1与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1的位置的位置 关系为关系为( () ) A.A.相切相切B.B.相交但直线不过圆心

14、相交但直线不过圆心 C.C.直线过圆心直线过圆心D.D.相离相离 【解析解析】选选B.B.圆心为圆心为(0,0),(0,0),到直线到直线y=x+1y=x+1即即x-y+1=0 x-y+1=0的的 距离距离d= = ,d= = ,而而0 1,0 1,但是圆心不在直线但是圆心不在直线y=x+1y=x+1上上, , 所以直线与圆相交所以直线与圆相交, ,但直线不过圆心但直线不过圆心. . 1 2 2 2 2 2 2.(2.(必修必修2P1292P129例例3 3改编改编) )两圆两圆x x2 2+y+y2 2-2y=0-2y=0与与x x2 2+y+y2 2-4=0-4=0的的 位置关系是位置关系

15、是( () ) A.A.相交相交B.B.内切内切C.C.外切外切D.D.内含内含 【解析解析】选选B.B.两圆方程可化为两圆方程可化为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,x=1,x2 2+y+y2 2=4.=4.两两 圆圆心分别为圆圆心分别为O O1 1(0,1),O(0,1),O2 2(0,0),(0,0),半径分别为半径分别为r r1 1=1,r=1,r2 2=2.=2. 因为因为|O|O1 1O O2 2|=1=r|=1=r2 2-r-r1 1, ,所以两圆内切所以两圆内切. . 3.(3.(必修必修2P133A2P133A组组T9T9改编改编) )圆圆x x2 2+y+y2

16、 2=4=4与圆与圆x x2 2+y+y2 2-4x+4y-12-4x+4y-12 =0=0的公共弦所在的直线方程为的公共弦所在的直线方程为_._. 【解析解析】由由 得得4x-4y+8=0,4x-4y+8=0,即即x-y+2=0.x-y+2=0. 答案答案: :x-y+2=0 x-y+2=0 22 22 xy40, xy4x4y 120, 考点一圆与圆的位置关系考点一圆与圆的位置关系 【题组练透题组练透】 1.(20181.(2018重庆模拟重庆模拟) )圆圆O O1 1:x:x2 2+y+y2 2-2x=0-2x=0和圆和圆O O2 2:x:x2 2+y+y2 2-4y -4y =0=0的

17、位置关系是的位置关系是 ( () ) A.A.相离相离B.B.相交相交C.C.外切外切 D.D.内切内切 【解析解析】选选B.B.圆圆O O1 1的圆心坐标为的圆心坐标为(1,0),(1,0),半径长半径长r r1 1=1,=1,圆圆 O O2 2的圆心坐标为的圆心坐标为(0,2),(0,2),半径长半径长r r2 2=2,=2,所以两圆的圆心距所以两圆的圆心距 d= ,d= ,而而r r2 2-r-r1 1=1,r=1,r1 1+r+r2 2=3,=3,则有则有r r2 2-r-r1 1drdr1 1+r+r2 2, ,所以两所以两 圆相交圆相交. . 5 2.2.已知圆已知圆C C1 1:

18、x:x2 2+y+y2 2-2mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0-5=0与圆与圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+2x-2my +2x-2my +m+m2 2-3=0,-3=0,若圆若圆C C1 1与圆与圆C C2 2相外切相外切, ,则实数则实数m=m=( () ) A.-5 A.-5 B.-5B.-5或或2 2C.-6 C.-6 D.8D.8 【解析解析】选选B.B.对于圆对于圆C C1 1与圆与圆C C2 2的方程的方程, ,配方得圆配方得圆C C1 1: : (x-m)(x-m)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9,=9,圆圆C C2 2:(x+1):(x+1)

19、2 2+(y-m)+(y-m)2 2=4,=4,则圆则圆C C1 1的圆的圆 心心C C1 1(m,-2),(m,-2),半径半径r r1 1=3,=3,圆圆C C2 2的圆心的圆心C C2 2(-1,m),(-1,m),半径半径r r2 2=2.=2. 因为圆因为圆C C1 1与圆与圆C C2 2相外切相外切, ,所以所以|C|C1 1C C2 2|=r|=r1 1+r+r2 2, ,即即 =5,m=5,m2 2+3m-10=0,+3m-10=0,解得解得m=-5m=-5或或m=2.m=2. 22 m1m2（）（） 3.(20193.(2019合肥模拟合肥模拟) )已知圆已知圆C C1 1:

20、(x-a):(x-a)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=4=4与圆与圆 C C2 2:(x+b):(x+b)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1相外切相外切, ,则则abab的最大值为的最大值为( () ) 639 A. B. C. D.2 3 224 【解析解析】选选C.C.由已知得圆由已知得圆C C1 1圆心圆心C C1 1(a,-2),(a,-2),圆圆C C2 2圆心圆心 C C2 2(-b,-2),(-b,-2),由两圆外切可知由两圆外切可知|a+b|=3,|a+b|=3,故故a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=9,=9,所所 以以4ab9,4ab9,所以所以ab

21、ab 9 . 4 4.(20184.(2018南充模拟南充模拟) )若圆若圆O O1 1:x:x2 2+y+y2 2=5=5与圆与圆O O2 2:(x+m):(x+m)2 2+y+y2 2 =20(mR)=20(mR)相交于相交于A,BA,B两点两点, ,且两圆在点且两圆在点A A处的切线互相处的切线互相 垂直垂直, ,则线段则线段ABAB的长度是的长度是_._. 【解析解析】由已知由已知,O,O1 1(0,0),O(0,0),O2 2(-m,0),(-m,0),由圆心距大于半由圆心距大于半 径之差而小于半径之和径之差而小于半径之和, ,得得 |m|3 ,|m|0,+5)0, 故直线故直线l与

22、圆相交与圆相交. . 2 2 mxy 1 m0 xy 15 ， ， (2)(2)由圆由圆C:xC:x2 2+y+y2 2-2ay-2=0-2ay-2=0可得可得x x2 2+(y-a)+(y-a)2 2=a=a2 2+2,+2,所以圆所以圆 心心C(0,a),C(0,a),由题意可知由题意可知 解得解得a a2 2=2,=2,所以圆所以圆C C的面的面 积为积为(a(a2 2+2)=4.+2)=4. 答案答案: :44 2 a2a a23 2 ， 【规律方法规律方法】 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 (1)(1)代数法代数法: : (2)(2)几何

23、法几何法: :利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离d d和圆半径和圆半径r r的大小的大小 关系关系:dr:dr,dr相离相离. . 【对点训练对点训练】 1.(20191.(2019深圳模拟深圳模拟) )已知点已知点M(a,b)M(a,b)在圆在圆O:xO:x2 2+y+y2 2=1=1外外, , 则直线则直线ax+by=1ax+by=1与圆与圆O O的位置关系是的位置关系是 ( () ) A.A.相切相切B.B.相交相交C.C.相离相离 D.D.不确定不确定 【解析解析】选选B.B.因为因为M(a,b)M(a,b)在圆在圆O:xO:x2 2+y+y2 2=1=1外外, ,所以所以 a

24、a2 2+b+b2 21,1,又圆心又圆心O O到直线到直线ax+by=1ax+by=1的距离的距离 d= d= 所以直线与圆相交所以直线与圆相交. . 2222 |a 0b 0 1|1 1 abab ， 2.2.若直线若直线y=x+by=x+b与曲线与曲线x= x= 恰有一个公共点恰有一个公共点, ,则则 b b的取值范围是的取值范围是 ( () ) A.(-1,1A.(-1,1 B.- B.- C.- ,2C.- ,2D.(-1,1- D.(-1,1- 2 1y 2 22 【解析解析】选选D.D.由由x= x= 知知, ,曲线表示半圆曲线表示半圆, ,如图所示如图所示, , 2 1y 当当

25、-1b1-1b1时时, ,直线直线y=x+by=x+b与半圆有一个公共点与半圆有一个公共点; ;当直当直 线与半圆相切时线与半圆相切时, ,也与半圆只有一个公共点也与半圆只有一个公共点, ,此时此时 =1(b-1),=1(b0)=4(a0)及直线及直线l:x-y+3=0,:x-y+3=0, 当直线当直线l被圆被圆C C截得的弦长为截得的弦长为2 2 时时, ,则则a= a= ( () ) A. A. B.2- B.2- C. -1C. -1 D. +1 D. +12 222 3 【解析解析】选选C.C.由已知由已知, +( ), +( )2 2=4,=4, 解得解得a=a= -1, -1,又因

26、为又因为a0,a0, 所以所以a= -1.a= -1. 2 a1 1 1 （）3 2 2 2.2.平行于直线平行于直线2x+y+1=02x+y+1=0且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2=5=5相切的直线的方相切的直线的方 程是程是_._. 【解析解析】因为所求直线与直线因为所求直线与直线2x+y+1=02x+y+1=0平行平行, , 所以设所求的直线方程为所以设所求的直线方程为2x+y+m=0.2x+y+m=0. 因为所求直线与圆因为所求直线与圆x x2 2+y+y2 2=5=5相切相切, , 所以所以 = ,= ,所以所以 m=m=5.5. 即所求的直线方程为即所求的直线方程为2x+y+

27、5=02x+y+5=0或或2x+y-5=0.2x+y-5=0. 答案答案: :2x+y+5=02x+y+5=0或或2x+y-5=02x+y-5=0 m 14 5 数学能力系列数学能力系列2323与圆有关最值问题中数学建模的与圆有关最值问题中数学建模的 核心素养核心素养 【能力诠释能力诠释】 根据圆的方程、直线的方程根据圆的方程、直线的方程, ,结合题目的特点结合题目的特点, ,设设 元元, ,列式列式, ,建立恰当的函数、基本不等式模型解决相关建立恰当的函数、基本不等式模型解决相关 的最值问题的最值问题. . 【典例典例】已知已知AC,BDAC,BD为圆为圆O:xO:x2 2+y+y2 2=4

28、=4的两条相互垂直的的两条相互垂直的 弦弦, ,垂足为垂足为M(1, ),M(1, ),则四边形则四边形ABCDABCD的面积的最大值为的面积的最大值为 ( () ) A.5A.5 B.10B.10C.15 C.15 D.20D.20 2 【解析解析】选选A.A.由已知由已知, ,圆心为圆心为O(0,0),O(0,0),半径为半径为2.2. 设圆心设圆心O O到到AC,BDAC,BD的距离分别为的距离分别为d d1 1,d,d2 2, ,作作OEAC,OFBD,OEAC,OFBD, 垂足分别为垂足分别为E,F,E,F,则四边形则四边形OEMFOEMF为矩形为矩形, ,连接连接OM,OM,则则 =OM=OM2 2=3.=3.又又|AC|=2 ,|BD|=2|AC|=2 ,|BD|=2 22 12 dd 2 1 4d 2 2 4d， 所以所以S S四边形 四边形ABCDABCD= |A