用待定系数法求二次函数的解析式(作课).ppt（经典实用）

1、用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 学习目标：学习目标： 1、通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究， 掌握求解析式的方法。 2、能灵活地根据条件恰当地选取解析式，体会二次 函数解析式之间的转化。 学习重点：学习重点：用待定系数法求二次函数解析式。 学习难点：学习难点：灵活地根据条件恰当地选取解析式。 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 回顾：用待定系数法求解析式回顾：用待定系数法求解析式 已知一次函数经过点（已知一次函数经过点（1，3）和

2、（）和（-2，-12），求），求 这个一次函数的解析式。这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k0), 因为一次函数经过点因为一次函数经过点（1，3）和（）和（-2，-12），）， 所以所以 k+b=3 -2k+b=-12 解得解得 k=3，b=-6 一次函数的解析式为一次函数的解析式为y=3x-6. 设设出函数的解析式 根据所给条件，将已知点坐标代代入 函数解析式中，得到关于解析式中 待定系数的方程（组） 解解此方程或方程组，求待定系数 将求出的待定系数还还 原原到解析式中 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 二次函数解析

3、式有哪几种表达式？二次函数解析式有哪几种表达式？ 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 求二次函数求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待的解析式，关键是求出待 定系数定系数a，b，c的值。的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标） 列出关于列出关于a，b，c的方程组，并求出的方程组，并求出a，b，c，就就 可以写出二次函数的解析式。可以写出二次函数的解析式。 一般式一般式y=ax2+bx+c（a

4、,b,c为常数，为常数，a0) 思考： 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的解析式中有几个待定系数？的解析式中有几个待定系数？ 需要图象上的几个点才能求出来？需要图象上的几个点才能求出来？ 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 例例1 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,10）、（）、（1,4）、）、 （2,7）三点，求这个函数的解析式）三点，求这个函数的解析式 解：设所求的二次函数为解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c（a0） 由条件得：由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程组得：解方程组得：a=2, b=-3,

5、c=5 因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5 变式变式1:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数值为函数值为10,当当x=1时时 ,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这个二次函数的解析试求这个二次函数的解析试. 由题意得：为解：设所求的二次函数, 2 cbxaxy 724 4 10 cba cba cba 5, 3, 2cba解得， 532 2 xxy所求的二次函数是 设设 代代 解解 还原还原 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 顶点式顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数，为常数，a0). 若

6、已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐 标时，通过设函数的解析式为顶点式标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k. 特别地，当抛物线的顶点为原点时，特别地，当抛物线的顶点为原点时，h=0,k=0,可设可设 函数的解析式为函数的解析式为 当抛物线的对称轴为当抛物线的对称轴为y轴时，轴时，h=0,可设函数的解析可设函数的解析 式为式为 当抛物线的顶点在当抛物线的顶点在x轴上时，轴上时，k=0，可设函数的解析，可设函数的解析 式为式为 思考： 二次函数y=a(x-h)2+k的解析式中有几个待定系数？需要知的解析式中有几个待定系数？需要

7、知 道图象上的几个点才能求出来？如果知道图象上的顶点坐道图象上的几个点才能求出来？如果知道图象上的顶点坐 标为标为A(1,-1)和点和点B（2，1），两个点能求出它的解析式吗？），两个点能求出它的解析式吗？ y=ax2. y=ax2+k. y=a(x-h)2. 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 例例2：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求 出对应的二次函数解析式 变式变式2：已知二次函数的图象经过点（4，3），并且当x=3 时有最大值4，求出对应的二次函数解析式； 又过点（2，3） a(2-1)2+2=3，a=1 解：设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k（a0）

8、 顶点是（1，2） y=a(x-1)2+2， y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3 已知抛物线的顶点与已知抛物线的顶点与 抛物线上另一点时，抛物线上另一点时， 通常设为顶点式通常设为顶点式 已知条件中的当已知条件中的当x=3x=3时有最大值时有最大值4 4 也就是抛物线的顶点坐标为（也就是抛物线的顶点坐标为（3,43,4），）， 所以设为顶点式较方便所以设为顶点式较方便 y=-7(x-3)2+4 即y=-7x2+42x-59 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 解：解： 设所求的二次函数为设所求的二次函数为 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30

9、,-3） （4,54,5） 对称轴为直线对称轴为直线x=1=1，求这个函数的解析式？，求这个函数的解析式？ y=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式思考：怎样设二次函数关系式 22 (1)423yxyxx即 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数为常数a0） 当抛物线与当抛物线与x轴有两个交点为（轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，时， 二次函数二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式可以转化为交点式y=a(x- x1)(x-x2).因此当抛物线与因此当抛物线与x轴有两个交点为轴有两个交点为 （

10、x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为时，可设函数的解析式为y=a(x- x1)(x-x2)，再把另一个点的坐标代入其中，即，再把另一个点的坐标代入其中，即 可解得可解得a，求出抛物线的解析式。，求出抛物线的解析式。 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 例例3 3：已知抛物线与已知抛物线与x x轴两交点横坐标为轴两交点横坐标为1 1，3 3且图像过（且图像过（0 0， -3-3），求出对应的二次函数解析式。），求出对应的二次函数解析式。 解：设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2) 已知已知抛物线与抛物线与x x轴的交点轴的交点 或交点横坐标时，通常或交点横坐标时

11、，通常 设为交点式（两根式）设为交点式（两根式） 由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3， y=a(x-1)(x-3), 又过（0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3, a=-1a=-1 y=-(x-1)(x-3), y=-(x-1)(x-3),即即y=-xy=-x2 2+4x-3+4x-3 练习：已知二次函数yax2bxc的图象过A(0，5)，B(5， 0)两点，它的对称轴为直线x2，那么这个二次函数的解析式 是_ _。 分析：因为抛物线与分析：因为抛物线与x x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称， 又又B(5B(5，0)0)关于直线关于直线x x2 2的

12、对称点坐标为（的对称点坐标为（-1,0-1,0），所以可以设为交），所以可以设为交 点式，类似例点式，类似例3 3求解，当然也可以按一般式求解。求解，当然也可以按一般式求解。 y=(x-5)(x+1),y=(x-5)(x+1),即即y=xy=x2 2-4x-5-4x-5 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 课堂小结课堂小结 求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法： 已知图象上三点或三组对应值，已知图象上三点或三组对应值， 通常选择通常选择 已知图象的顶点坐标或对称轴或最值已知图象的顶点坐标或对称轴或最值 通常选择通常选择 已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横坐标

13、轴的两个交点的横坐标x1、x2， 或与或与X轴的一交点坐标与对称轴轴的一交点坐标与对称轴 通常选择通常选择 y x o 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，恰当地选用一种函数表达式， 一般式一般式y=ax2+bx+c; 顶点式顶点式y=a(x-h)2+k， 交点式（两根式）交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2) 。 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 1 1、求经过有三点、求经过有三点A A（-2-2，-3-3），），B B（1 1，0 0），），C C（2 2，5 5）的二次）的二次 函数的

14、解析式函数的解析式. . 2 2、已知抛物线的顶点为、已知抛物线的顶点为D(-1D(-1，-4)-4)，又经过点，又经过点C(2C(2，5)5)，求其，求其 解析式。解析式。 顶点式：顶点式：khxay 2 )( 交点式：交点式：)( 21 xxxxay 3 3、已知抛物线与、已知抛物线与x x轴的两个交点为轴的两个交点为A(-3A(-3，0)0)、B(1B(1，0)0)，又经，又经 过点过点C(2C(2，5)5)，求其解析式。，求其解析式。 一般式：一般式： 2 y=ax +bx+c 反馈练习反馈练习 2 yx2x3 22 y(x1)4yx2x3即 2 y(x3)(x1) yx2x3即 用待

15、定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 二次函数图象如图所示，二次函数图象如图所示， (1)(1)直接写出点的坐标；（直接写出点的坐标；（2 2）求这个二次函数）求这个二次函数 的解析式的解析式 22 2 4 6 44 8 2 4C AB 2 3339 (3)(1) 4424 yxxxx即y= 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 反馈练习反馈练习 4 4、已知抛物线对称轴为、已知抛物线对称轴为x=2x=2，且经过点（，且经过点（1,41,4） 和（和（5,05,0），求该二次函数解析式。），求该二次函数解析式。 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 5 5、已知

16、抛物线的顶点为、已知抛物线的顶点为A(-1A(-1，-4)-4)，又知它与，又知它与x x 轴的两个交点轴的两个交点 B B、C C间的距离为间的距离为4 4，求其解析式。，求其解析式。 充分利用条件充分利用条件 合理选用以上三式合理选用以上三式 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 6、抛物线与、抛物线与x轴的一个交点坐标是轴的一个交点坐标是 （- 1，0），且当），且当x= 1时，函数有最大值为时，函数有最大值为 4，求，求 此函数解析式。此函数解析式。 7、抛物线与、抛物线与x轴的一个交点坐标是轴的一个交点坐标是 （-1， 0），对称轴为直线），对称轴为直线x=1，抛物线顶点

17、到，抛物线顶点到x轴的轴的 距离为距离为4，求此函数解析式。，求此函数解析式。 * 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 一、一、 一般式一般式 1.已知一个二次函数图象经过（已知一个二次函数图象经过（-1，10）、）、 （2，7）和（）和（1，4）三点，那么这个函）三点，那么这个函 数的解析式是数的解析式是_。 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 2.已知一个二次函数的图象经过已知一个二次函数的图象经过 （1，8），（），（1，2），（），（2，5） 三点。求这个函数的解析式三点。求这个函数的解析式 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 二、顶点式二、顶

18、点式 1. 已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点的顶点 是是A(-1,4)且经过点且经过点(1,2)求其解析求其解析 式。式。 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 2、已知抛物线的顶点为（、已知抛物线的顶点为（ 2， 3），）， 且过点（且过点（1，4），求），求 这个函数的解析式。这个函数的解析式。 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 应应 用用 例例4 4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系 里里( (如图所示

19、如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=ax2bxc， 根据题意可知根据题意可知 抛物线经过抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件 列出列出a、b、c的三元的三元 一次方程组，求出一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定的值，从而确定 函数的解析式函数的解析式 过程较繁杂，过程较繁杂， 评价评价 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解： 根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，

20、在抛物线上， 通过利用条件中的顶通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点点和过原点选用顶点 式求解，式求解， 方法比较灵活方法比较灵活 评价评价 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 例例4 4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系 里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 应应 用用 用待定系数法求二次函数的解析式 (作课).ppt 设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解： 根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 选用两根式求解，选用两根式求解， 方法灵活巧妙，过方法灵活巧妙，过 程也较简捷程也较简捷 评价评价 例例4 4 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱