锐角三角函数《复习与小结》(湘教版)（经典实用）

1、锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 湘教版湘教版九年级数学九年级数学 （复习课）（复习课） 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 1. 1. 巩固三角函数的概念巩固三角函数的概念, ,巩固用直角三角形边之巩固用直角三角形边之 比来表示某个锐角的三角函数比来表示某个锐角的三角函数. . 2. 2. 熟记熟记3030，4545, 60, 60角的三角函数值角的三角函数值. .会计会计 算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊 锐角的三角函数值，求出它的对应的角度锐角的三角函数值，求出它的对应的角度. . 3.3.掌握直角三角

2、形的边角关系，会运用勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理， 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直 角三角形角三角形. . 4.4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际 问题问题. . 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 一一. .锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念 正弦：正弦：把锐角把锐角A A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A A 的正弦，记作的正弦，记作 c a A sin 余弦：余弦：把锐角把锐角A A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A A的的 余弦，记作余弦，记作 正

3、切：正切：把锐角把锐角A A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A A的的 正切，记作正切，记作 c b A cos b a A tan B C A 对边对边a a 邻边邻边b b 斜边斜边c c 锐角锐角A A的正弦的正弦、余弦余弦、正切都叫做正切都叫做AA的锐角三角函数的锐角三角函数. . 对这些关系式对这些关系式 要学会灵活变要学会灵活变 式运用式运用 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系 是：正弦值等于它的余角的余弦值，余是：正弦值等于它的余角的余弦值，余 弦值等于它的余角的正弦值弦值等于它的余角的正弦值. . 即

4、即sinAsinAcoscos（9090一一 A A）cosB cosB cosAcosAsinsin（9090一一A A）sinBsinB 思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之思考：同一个锐角的正弦值和余弦值之 间有何关系？间有何关系？ 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 二二. .特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3 13 锐角的锐角的三角函数值三角函数值 有何变化规律呢？有何变化规律呢？ 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 三三. .解直角三角形解直角三角形 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所由直角三角形中，除直角外的已知元素

5、，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形有未知元素的过程，叫做解直角三角形. . 1.1.什么叫解直角三角形？什么叫解直角三角形？ 2.2.直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系： 222 cba A A十十B B9090 c a A sin c b A cos b a A tan 归纳：归纳：只要知道其中的只要知道其中的2 2个元素（至少有一个是边），个元素（至少有一个是边）， 就可以求出其余就可以求出其余3 3个未知个未知元素元素. . （1 1）三边关系：）三边关系：（勾股定理）（勾股定理） （2 2）两锐角的关系：）两锐角的关系： （3 3）边角的关系：）边角的关系： 锐角

6、三角函数复习与小结(湘 教版) 四四. .解直角三角形的应用解直角三角形的应用 1.仰角和俯角仰角和俯角 在进行测量时，在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角. . 铅铅 直直 线线 水平线水平线 视线视线 视线视线 仰角仰角 俯角俯角 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 2.2.方向角方向角 指南或北的方向线与目标方向线构成小于指南或北的方向线与目标方向线构成小于 9090的角的角, ,叫做方向角叫做方向角. . 如图：点如图：点A A在在O O的北偏东的北偏

7、东3030 点点B B在点在点O O的南偏西的南偏西4545（西南方向）（西南方向） 30 45 B O A 东东西西 北北 南南 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 坡度（坡比）：坡度（坡比）：坡面的铅坡面的铅 直高度直高度h h和水平距离和水平距离l l的的 比叫做坡度，用字母比叫做坡度，用字母i i表表 示，则示，则 3.3.坡度、坡角坡度、坡角 坡角：坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示表示. . tan h i l h l tan h i l 坡度通常写成坡度通常写成 的形式的形式. . 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 解：原式解：原式=

8、2=2 +1 +1 2 1 2 1 =1+=1+ 2 1 例例1.1.计算计算2sin30 2sin30 +tan45 +tan45 cos60cos60 2 1 = = 步骤：步骤： 一一“代代”二二 “算算” 例例2.2.若若 ，则锐角，则锐角=01tan33030 点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先 将原式变形为将原式变形为tan= tan= ，从而求得，从而求得的度数的度数. . 3 3 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 例例3.3.在在Rt Rt ABC ABC中，中，C=90C=90， A=30 A=30，a=5a=5， 求求

9、b b、c c的大小的大小. . 解解: : sinA=a/c,sinA=a/c, c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10. c=a/sinA=5/sin30=5/(1/2)=10. A B C 5 30 B=90B=90- A=90- A=90-30-30=60=60， tanB=b/a,tanB=b/a, b=atanB=5tan60b=atanB=5tan60= =35 解直角三角形分为两类解直角三角形分为两类: :一是已知一边一角解直角三一是已知一边一角解直角三 角形角形; ;二是已知两边解直角三角形二是已知两边解直角三角形. . 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 例

10、例4.4.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高， 若若tanB=cosDAC.tanB=cosDAC. （）（）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由； D CB A 故故BD=ACBD=AC 解：（）解：（） 在在Rt Rt ABDABD和和ACDACD中，中，tanB=tanB=， BD AD AC AD 因为因为tanB=cosDACtanB=cosDAC，所以，所以 BD AD AC AD cosDACcosDAC （）若（）若sinCsinC，BC=12BC=12，求，求ADAD的长的长. . 13 12 锐角三角函数复习与小结(

11、湘 教版) 例例4.4.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高， 若若tanB=cosDAC.tanB=cosDAC. （）（）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由； D CB A （）若（）若sinCsinC，BC=12BC=12，求，求ADAD的长的长. . 13 12 （）（） 设设AC=13k,AD=12kAC=13k,AD=12k，所以，所以CD=5k,CD=5k,又又AC=BD=13kAC=BD=13k， 在在Rt Rt ACDACD中，因为中，因为sinCsinC 13 12 所以所以BC=18k=12,BC=18k=12,故

12、故k=k= 3 2 所以所以AD=12AD=12 3 2 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 例例5.5.海中有一个小岛海中有一个小岛P P，它的周围，它的周围1818海里内有暗礁，海里内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A A测得小岛测得小岛P P在北在北 偏东偏东6060方向上，航行方向上，航行1212海里到达海里到达B B点，这时测得小点，这时测得小 岛岛P P在北偏东在北偏东4545方向上如果渔船不改变航线继续方向上如果渔船不改变航线继续 向东航行，有没有触礁危险？请说明理由向东航行，有没有触礁危险？请说明理由 D D 分析：作分析：作PDBCPDB

13、C，设，设PD=x,PD=x,则则 BD=x,AD=x+12,BD=x,AD=x+12,根据根据AD= PD,AD= PD, 得得x+12= x,x+12= x,求出求出x x的值的值, ,再再 比较比较PDPD与与1818的大小关系的大小关系. . 3 3 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 解：有触礁危险解：有触礁危险. . 理由：过点理由：过点P P作作PDACPDAC于于D.D.设设PDPD为为x x，在，在RtRtPBDPBD中，中， PBD=90PBD=9045454545BDBDPDPDx,AD=12+x.x,AD=12+x. 在在RtRtPADPAD中，中，PADPAD9090

14、60603030， ,3PDAD 渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险 ,312xx .18) 13(6 13 12 x D D 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) .30cos260tan45sin 2 2 ) 1 ( 2000 2 6tan 303sin602cos45 . 1.1.若若 ，则锐角，则锐角= 02sin2 2.2.若若 ，则锐角，则锐角= 0320tan(） 3.3.计算：计算： 4545 8080 2 1 2 2 1 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 4.4.如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，b= ,c

15、=4.b= ,c=4. 则则a=a= ，B=B= ，A=A= . . 32 A B C 2 260603030 D D 5.5.如果如果 那么那么ABCABC是（是（ ） A.A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.等边三角形等边三角形 03tan3 2 1 cosBA 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 6.6.直角三角形纸片的两直角边分别直角三角形纸片的两直角边分别BCBC为为6 6， ACAC为为8,8,现将现将ABCABC，按如图折叠，使点，按如图折叠，使点A A 与点与点B B重合，折痕为重合，折痕为DEDE，则，则tanCBEt

16、anCBE的值的值 是是 . . AB C 6 8 E D 方法点拨方法点拨: :设设CE=x,CE=x,则则AE=BE=8-x,AE=BE=8-x, 利用勾股定理求出利用勾股定理求出x,x,再求再求 tanCBEtanCBE的值的值. . 24 7 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 锐角三角函数锐角三角函数 1.1.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义 正弦正弦 余弦余弦 正切正切 2.302.30、4545、6060特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 3.3.解直角三角形解直角三角形 定义定义 解解直角三角形的依据直角三角形的依据 三边间关系三边间关系 锐角间关系锐角间关系 边角间关系

17、边角间关系 解直角三角形在实际问题中解直角三角形在实际问题中 的应用的应用 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 2、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以海里以 内的区域。如图，设内的区域。如图，设A、B是我们的观察站，是我们的观察站，A和和B之间之间 的距离为的距离为160海里，海岸线是过海里，海岸线是过A、B的一条直线。一艘的一条直线。一艘 外国船只航行到外国船只航行到P点，在点，在A点测得点测得 BAP=450，同时在，同时在B点测得点测得 ABP=600。问此时是否要。问此时是否要 向外国船只发出警告，向外国船只发出警告， 令其退出我国海

18、域令其退出我国海域. AB P 160 4560 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) A B P 45 60 C 分析：作分析：作PCAB于于C ，A = 45 APC=45 AC=PC PC BC cotB = B = 60 3 3 BC = PCcot60 = PC AC + BC = AB = 160 3 3 PC + PC = 160 PC = )33(80 33 480 101.44 此时不要向外国船只发出警告，令其退出我国海域。此时不要向外国船只发出警告，令其退出我国海域。 100 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 1如图所示，边长为如图所示，边长为1的小正方形构成的的小正方形构

19、成的 网格中，半径为网格中，半径为1的的 O的圆心的圆心O在格点在格点 上，则上，则AED的正切值等于的正切值等于。 D C B O E A 1 2 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 2.A 关于原点对称的点关于原点对称的点B 的坐标的坐标 是是( ).A cos60 - 1 2 , 3 3 - 3 2 , 3 3 - 1 2 ,- 3 3 - 1 2 , 3 2 A C D B 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 3.（20102010广东中山）广东中山）如图，已知如图，已知 RtRtABC中，斜边中，斜边BCBC上的高上的高AD AD = 4，cosBcosB= ，则，则 ACAC=_=

20、_。 5 4 A BC D 5 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 如图所示，如图所示，在正方形在正方形 网格中，网格中，的位置如图所示，则的位置如图所示，则sin的的 值为（值为（ ） 。10 3 5 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 如图，甲船在港口如图，甲船在港口P P的北偏西的北偏西6060方向，距港口方向，距港口8080海里的海里的A A处，处， 沿沿APAP方向以方向以1212海里海里/ /时的速度驶向港口时的速度驶向港口P P乙船从港口乙船从港口P P出发，出发， 沿北偏东沿北偏东4545方向匀速驶离港口方向匀速驶离港口P P，现两船同时出发

21、，现两船同时出发，2 2小时小时 后乙船在甲船的正东方向求乙船的航行速度后乙船在甲船的正东方向求乙船的航行速度 214 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 1. 1. 巩固三角函数的概念巩固三角函数的概念, ,巩固用直角三角形边之巩固用直角三角形边之 比来表示某个锐角的三角函数比来表示某个锐角的三角函数. . 2. 2. 熟记熟记3030，4545, 60, 60角的三角函数值角的三角函数值. .会计会计 算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊算含有特殊角的三角函数的值，会由一个特殊 锐角的三角函数值，求出它的对应的角度锐角的三角函数值，求出它的对应的角度

22、. . 3.3.掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理， 直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直 角三角形角三角形. . 4.4.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际 问题问题. . 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 一一. .锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念 正弦：正弦：把锐角把锐角A A的的_的比叫做的比叫做A A 的正弦，记作的正弦，记作 c a A sin 余弦：余弦：把锐角把锐角A A的的_的比叫做的比叫做A A的的 余弦，记作余弦，记作 正切：正切

23、：把锐角把锐角A A的的_的比叫做的比叫做A A的的 正切，记作正切，记作 c b A cos b a A tan 锐角锐角A A的正弦、余弦、正切都叫做的正弦、余弦、正切都叫做AA的锐角三角函数的锐角三角函数. . 对边与斜边对边与斜边 邻边与斜边邻边与斜边 对边与邻边对边与邻边 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 1 1、如图，在、如图，在RtRtABCABC中，中，C=90,C=90, AB=5,AC=3, AB=5,AC=3,求求sinA,cosAsinA,cosA及及tanAtanA。 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 2 2、 在正方形网格中，在正方形网格中，ABCABC的位置如

24、图所示，的位置如图所示， 则则cosABCcosABC的值为的值为_。 作辅助线构造作辅助线构造 直角三角形直角三角形！ 专家指点专家指点 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 3 3、如图，直径为、如图，直径为5 5的的A A经过点经过点C(0,3)C(0,3)和和 点点O(0,0)O(0,0)，B B是是y y轴右侧轴右侧A A优弧上一点，优弧上一点， 则则OBCOBC的余弦值为的余弦值为_。 专家指点专家指点 找一个与之找一个与之 相等的角相等的角！ 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 二二. .特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3

25、13 锐角的锐角的三角函数值三角函数值 有何变化规律呢？有何变化规律呢？ 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 正切值和正弦值正切值和正弦值都随着锐角度数的增大而都随着锐角度数的增大而_； 余弦值余弦值随着锐角度数的增大而随着锐角度数的增大而_._. 增大增大 减小减小 思考：若思考：若A+A+B=90B=900 0，那么：，那么： sinAsinA cosAcosA cosBcosB sinBsinB 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) (2)2sin30(2)2sin30+3tan30+3tan30+tan45+tan45 (3)cos(3)cos2 24545+ tan60+ tan60c

26、os30cos30 (1)tan45(1)tan45-sin60-sin60cos30cos30 (4)2sin60(4)2sin60-3tan30-3tan30-(-(-cos30-cos30)+(-1)+(-1) 20122012 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) （1 1）已知）已知 sinA= sinA= ，求锐角，求锐角A .A . 2 3 （2 2）已知）已知2cosA - = 0 , 2cosA - = 0 , 求锐角求锐角A.A. 2 （3 3）已知）已知 tan( tan( A+20A+20)= )= ，求锐角，求锐角A .A . 3 （4 4）在）在ABCABC中，中，

27、B B、 C C均为锐角，且均为锐角，且 ，求，求A的度数。的度数。 0 2 3 cos 2 1 sin 2 CB 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) （1 1）sin250_sin430 （2 2）cos70_cos80 （3 3）sin400_cos600 （4 4）tan480_tan400 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 三三. .解直角三角形解直角三角形 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做解直角三角形有未知元素的过程，叫做解直角三角形. . 1.1.什么叫解直角三角形？什么叫解直角三角形？ 2.2.直角三角

28、形中的边角关系：直角三角形中的边角关系： 222 cba AA十十B B9090 c a A sin c b A cos b a A tan 归纳：归纳：只要知道其中的只要知道其中的2 2个元素（至少有一个是个元素（至少有一个是_)_)， 就可以求出其余就可以求出其余3 3个未知个未知元素元素. . （1 1）三边关系：）三边关系：（勾股定理）（勾股定理） （2 2）两锐角的关系：）两锐角的关系： （3 3）边角的关系：）边角的关系： 边边 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 四四. .解直角三角形的应用解直角三角形的应用 1.仰角和俯角仰角和俯角 在进行测量时，在进行测量时， 从下向上看，视

29、线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做_； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做_。 铅铅 直直 线线 水平线水平线 视线视线 视线视线 仰角仰角 俯角俯角 仰角仰角 俯角俯角 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 坡度：坡度：坡面的铅直高度坡面的铅直高度h h和水和水 平距离平距离l l的比叫做坡度，用字的比叫做坡度，用字 母母i i表示，即：表示，即： 2.2.坡角坡角、坡度坡度 坡角：坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示表示. . h l l h itan 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 1 1.

30、 .在在Rt Rt ABC ABC中，中，C=90C=90， A=30 A=30，a=5a=5， 求求b b、c c的大小的大小. . A B C 5 30 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 2.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围6海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群 由西向到航行，在由西向到航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12 海里到达海里到达C点，这时测得小岛点，这时测得小岛A在北偏在北偏东东30方向上，如果渔船方向上，如果渔船 不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

31、 B A CD 30 练练 习习 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 3 3. .我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平 地，如图所示地，如图所示BCADBCAD，斜坡，斜坡AB=40AB=40米，坡角米，坡角BAD=60BAD=60，为防，为防 夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改 造经地质人员勘测，当坡角不超过造经地质人员勘测，当坡角不超过4545时，可确保山体不滑时，可确保山体不滑 坡，改造时保持坡脚坡，改造时保持坡脚A A不动，从坡顶不动，从坡顶B B沿沿BCBC削进到削进到E E处，问处，问BEBE至少至少 是多少米（结果保留根号）？是多少米（结果保留根号）？ G G F F 锐角三角函数复习与小结(湘 教版) 试