周期数列详解

1、周期数列、周期数列的定义:类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列an，如果存在一个常数T仃 N ），使得对任意的正整数 n no恒有an t an成立，则称数列a*是从第n项起的周期为T的周期数列。若n。1，则称数列an为纯周期数列，若n。 2，则称数列an为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。设An是整数,m是某个取定的大于 1的正整数，若Bn是An除以m后的余数,即 Bn=An（mod m）,且Bn在0,1,2,.,m-1,则称数列Bn是An关于m的模数列，记作An（mod m）。若模数列An（mod m）是周期的,则称An是关于模m的周期数列。二、周期数列的性质1、周期数列

2、是无穷数列，其值域是有限集；椎论1若周期数列（aJ的周期存在h若山|不是常歡列且】in%存衽则龜|不是周期数列=2、 如果T是数列an的周期，则对于任意的k N ，kT也是数列an的周期。3、 若数列an满足an an 1 an 2 （ n N，且n 2 ），则6是数列的一个周期。4、 已知数列 an满足an tan （n,t N ，且t为常数），Sn分别为an的前n项的和，若 n qt r （ 0 r t， rN），则anar，SnqStSr。特别地：数列an的周期为6,(即:an 6an)贝u S2012 335S6S25、若数列an满足an an k s (nk, nN )，则数列an是

3、周期数列；若数列an满足an an 1an ks (nk, nN ），则数列an是周期数列若数列an满足an an 1an ks (nk,n N,s 0），则数列an是周期数列。特别地：数列an满足an an 1s (nk,n N），则数列an周期T=2；数列an满足an an1an2 s (nk,n N ），则数列an周期T=3数列an满足a“an 1s (nk, n N），则数列an周期T=2；数列an满足 an an 1an 2 s (n k,n N )，则数列an周期 T=3 aa b6、若数列an满足an, a+d=0,则数列an是周期T=2；can 1 d精品例：数列an满足an3

4、an 17,则数列an是周期T=2；三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公式(1)数列 1 , 2, 1,2,1, 2,的通项公式解析：原数列可构造成:1 3131312 ,2 2 2 2 2 2 它的通项公式可以写成:an1)n12 (n N),或者写成：an3 1sin(-2 2n N),又或者写成:an31cos n2 2(n N),总结：一般的数列a , b,它的通项公式可以写成:an1b) (b a)cos n2N)(2) 1 , 0 , 1 ,0 , 1,的通项公式解析：该 数列周期为3,我们把它与周期为n的函数tanx进行改造，使它们能发生联系。事实上，当 x分别为 一，o

5、 ,-333 , 0 ,. 3 ,这样 1, 0, 1,时，tanx的值分别为1 , 0 , 1 ,的通项公式可以写成:1-ta n(n 2).3所以，原数列的通项公式为bn22tan(n32) (n N)(3)数列q ： 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3,4,的通项公式解析：将原数列扩大2倍：2, 4 ,6 , 8 , 2 , 4 , 6 , 8 ,再减去平均数5得到： 3 ,1 , 1 , 3 ,3 ,1 , 1 , 3 ,分解成两个数列：(1)1， 1，1， 1， 1， 1， 1， 1，2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,（1）的通项公式为（1）n易得，（

6、2）的通项只要求出1 ,的通项便可以了，它与 （2）相差一个系数2。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项:11c1n. 2sin(-n24)(n N),2, 2 , 2 , 2,2,2, 2 , 2,的通项为c2n 2 . 2 sin(丄 n1)(n N),243,1 , 1, 3 ,3,1 , 1, 3,的通项为:11c3n( 1)2 、2 sin( n) (n N),24则原数列Cn的通项为：AAAcn -5 ( 1)n 2 . 2 sin(n ) (n N)。224(4) Cn : 1, 1 , 1 , 1, 2, 2, 2,2, 3, 3, 3, 3, 4, 4,

7、4, 4,的通项公式乘以(一 4)得：4,4,4,4,8 ,8,8,8,12 ,12,12,12,加上(n+4)得：1 , 2 , 3 , 4 , 1, 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4,它的通项公式为：1 t11cn5 ( 1)n 2 2sin( n)2 24又cn4cn (n 4)化简整理得：cn12n 3 ( 1)n 2 2sinjn 1 (n N)。8242、求数列中的项ai3, a25且对于大于2的正整例3 （由第十四届希望杯改编）、已知数列 an中数，总有anan 1an 2，则 a2009 等于(A . -5B. -2C. 2D. 3.解析：由性质（2）知，数列

8、an是以6为周期的周期数列，而 2009 6 334 5 , 再由性质（3）可得a2009a5a4a3（a3a2）a35，故选A.例4 （上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列an满足a1a ( a为实数）an 灯,11 ( nN)，求 a2000.品an 1解：an3an 11 (3 an 1N ）可变形为anV3an 13.3a3.我们发现anan 1.3a3与三角式tan（x ）tanx tan 6-十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系1 tan xta n 6的原型.通过运算，发现本题中可取an=ta n6an 1tan（n。.显然此数列的6:3a 1周期是6 .而20

9、00 333 6 2，再由性质（3），得a2000 a2寸3 a3、求周期数列的前n项和例 5、设数列an中，a1 a2 1, a3 2，且对 n N，有 anan 偸 2an 3 = an an 1 an 2 an 3 ( anan 1an 2 1 )成立，试求该数列前 100 项和 S100 .解：由已知条件，对任何自然数 N ，有anan 1an 2an 3= an an 1 an 2 an 3，把 式中的n换成n1，得an 1an2an 3an 4=an1 an 2 an 3 an4 .两式相减得，an 1 an 2an 3 (anan 4 ) anan 4 .因为an1 an 2an

10、 31,所以an 4 an (n N ).所以an是以4为周期的周期数列，而100 4 25，再由性质(3),得 S100 25S4 25 (1 1 2 4) 200 .例6 （上海08质检题）、若数列an满足an2an1an（n N）, Sn为an的前n 项和，且 S2 2008 , S3 2010，求 S2008 .解析：由an 2 an1 an及性质（2）,可知所以数列an是以6为周期的周期数列.由S22008,S32010，知a1a22008,a1a2a32010，再结合a3 a2 a1，可求得印1003, a? 1005, a3 2 ；由递推关系式可进一步求得a41003, a51005 , a62 因为 2008 6 334 4，由性质（3）,得S2Q08334S6 S4334 0 10071007 4、求周期数列的极限例7、（ 06北京）在数列a.中，a1,a2是正整数，且anan1an2 ,n 3,4,5 ，则称an为“绝对差数列” 若“绝对差数列”an中，a20 3，a21 0，数列bn满足bn an an 1 an 2， n 1,2,3 ，分别判断当n 时，数 列an和bn的极限是否存在，如果存在，求出