双曲线的定义及其标准方程教案

1、圆锥曲线教案双曲线的定义及其标准方程教案教学目标1 通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程， 理解双曲线的定义， 双曲线的标准方程的探索推导过程.2在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提 高分析、归纳、推理的能力.3培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学 态度.教学重点与难点双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中的“差的绝对值”，a与c的关系的理解是难点.教学过程师：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？（学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标 准方程和图象放出来.）师：椭圆的两个定义虽然都是

2、由轨迹的问题引出来的， 但所采用的方法是不 同的.定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来， 在掌握了坐标法基础上利 用坐标方法建立轨迹方程.这是通过方程去认识轨迹曲线.定义中设定的常数 2a, |FF2|=2c，它们之间的变化对椭圆有什么影响？生：当a=c时，相应的轨迹是线段F1F2.当avc时，轨迹不存在.这是因 为a、c的关系违背了三角形中边与边之间的关系.师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点Fi、F2的距离的和”改写为“平 面内与两个定点Fi、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样 的呢？（师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起 做实验.教

3、师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点Fi、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明.）师：做法是：适当选取两定点Fi、F2,将拉锁拉开一段，其中一边的端点固 定在Fi处，在另一边上截取一段 AF（ v F1F2），作为动点M到两定点Fi和F2距离之差.而后把它固定在F2处.这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁的逐渐打 开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支如图2-36 .师：通过这个实验，你们发现了什么？生：所画的曲线不是椭圆，是两条相同的曲线，只是位置不同.其原因都是 应用“平面内与两个定点的距离之差|MR|-|MF 2|(或|MF2|-|MF i|)

4、是同一常数的条 件画图的.师：所画出图象与椭圆完全不同，能说出属于哪一类曲线吗？生：属于双曲型曲线.师：很好！我们把这类曲线就叫做双曲线.我们思考以下几个问题：1. |MFi| 和|MF2| 哪个大？生：不一定.当点M在双曲线右支时，有|MFi| |MF2|，当点M在双曲线左 支时，|MFi| 0且小于尸/|) 的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，这两个焦点间的距离叫 做焦距，记作2c(c 0).通过学生自己动手画图，得到了双曲线定义，同时进一步让学生在实验中观 察定义中两个常数间大小关系对于动点 M的轨迹的影响.激发学生探求知识的兴 趣，调动学生的求知的渴望.师生共同归纳：师：

5、由定义知|MFi|-|MF 2|=2a , |FF|=2c，并设动点为M请大家讨论以下 几个问题：(1)当Ov av c时，动点M的轨迹是什么？学生略思考一下，回答出是双曲线. 当a=c时，动点M的轨迹是什么？分析 若a=c，也就是|MFi|-|MF 2|=2a=2c，如图2-37所示:可以看出，动点M的轨迹是分别以点Fi、F2为端点，方向指向FF外侧的两 条射线.（3）当ac0时，动点M的轨迹是什么？由前面归纳已知动点M的轨迹不存在这是因为a、c的关系违背了三角形 中两边之差小于第三边的性质.、双曲线的标准方程师：现在来研究双曲线的方程.我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲 线的方程.首先

6、建立直角坐标系，即以两定点连线为x轴，两定点的垂直平分线 为y轴.然后，观察双曲线的特征，猜测双曲线方程的结构与椭圆方程的结构是 否有类似之处？（如图2-38）当点M移动到x轴上点A、A时，如何求点A、A的坐标？生：点A、A是关于原点对称的，所以|AA|=|F FI-IF iA|-|F 2A|=|F 冋-2尸 2A|=|F iA|-|F 2A|=2a .所以点Ai和A的坐标分别是（-a，0）和（a, 0）.师：请同学们对照椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方程.生：1.建立直角坐标系.2.设双曲线上任意一点的坐标为 M（x、y），|FiF2|=2c，并设Fi（-c，0），F2（c，

7、3.由两点间距离公式，得0).4.由双曲线定义，得|MFi|-|MF 2|= 2a, 即5化简方程两边平方，得化简得:两边再平方，整理得222 222 2 2、(c -a )x -a y =a (c -a ).(为使方程简化，更为对称和谐起见.)由 2 c-2a 0, 即卩 ca,所以 c2-a20.设c2-a 2=b2(b 0)，代入上式，得2 2 2 2 2 2bx-a y = ab，也就是师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质这一 简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中ab0的条

8、件是不可缺少的.b的选取不仅使 方程得到了简化、和谐，也有实际的几何意义具有 c2=a2+b2与椭圆中a2=b2+c2 的不同之处.师：与椭圆方程一样，如果双曲线的焦点在y轴上，这时双曲线的标准方程 形式又怎样呢？我们可以从所画的图形上观察， 对比来看一看互相间的转化.（图 2-39、图 2-40）生：从图形的对称来看，只要交换一下 x轴、y轴的名称，然后逆时针翻转 90使之y轴向上、下，x轴水平放置即可得到焦点在y轴上的双曲线.师：从方程上来分析，只要将方程（1）的x、y互换就可以得到它的方程此方程也是双曲线的标准方程.师：如何记忆这两个标准方程？生：双曲线的方程右边为1,左边是两个完全平方

9、项，符号一正一负，为正 的项相应的坐标轴为实轴，焦点在该轴上，且分母为a2.负项相应的坐标轴为虚 轴，且分母为b2.师：用一句话概括“以正负定实虚”.三、举例例1已知两点Fi（-4，0）和F2（4，0），曲线上的点到两个焦点的距离之差为6,求曲线方程.解 由焦点坐标可知c=4，2a=6，所以 a=3，而 b2=c2-a2=16-9=7.所以，所求的双曲线方程为例2 求满足下列条件的双曲线方程1若a=4, b=3,焦点在x轴上；解 因为a=4，b=3，并且焦点在x轴上,所以所求的双曲线方程为 由题意设双曲线的标准方程为:所以代入双曲线方程得所以b2=16.所以所求的双曲线的标准方程为例1和例2可

10、由学生自行解答，黑板上板演，并对照检查对错.四、小结（师生共同参与完成）1 知识方面双曲线的定义和双曲线的标准方程；方程中的 3个常数a b、c间的关系:2 2 2 c=a+b.理解“以正负定实虚”的意义，会确定实轴、虚轴、焦点所在位置，会求双 曲线的标准方程.2. 在教学中体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美.五、作业：第89页习题七1, 2.六、课后思考题2结合图形的演示，试讨论|MFi|-|MF 2|=2a，在2a趋近于零的过程中双 曲线的变化趋势.设计说明1 关于教学目标(1) 由于双曲线的定义及其标准方程是本章的重点之一，因而作为本节课的 教学目标之一.(2) MM教育方式的基本

11、要求，其课堂教学要师生共同参与.每个环节都应给学生创设一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会.运用教具的演示，增强 了数学教学的直观性，有助于培养学生观察、比较、分析、抽象、归纳及数学语 言的运用能力.对全面提高学生素质起着十分重要作用，待此制定了教学目标2和3.2. 关于教学重点为实现教学目标，把充分展现双曲线的定义及其标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成过程作为本节课的重点.3. 关于教学方法按照MM教育方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，在 教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的 教学氛围中获取新知识，提高能力，促进思维发展.因此，采用讨论式、启发式 的教学方法.4. 关于教学过程(1) 利用学生已清楚的知识，转换条件提出问题，通过自己动手和联想，为 类比地探索双曲线的定义奠定基础，最后推出双曲线的定义.(2) 在双曲线的标准方程的推导过程中，揭示科学实验的规律，巧妙地把学 生从旧知识引向新知识，使知识过渡那么自然，学生学起来不感到困难.体现数 学发现的本质，培养学生合情推理能力、逻辑思维能力、科学思维方式、实事求 是的科学态度及勇于探索的精神.(3) 例题比较简单，由学生自行解答，同