初二数学经典题练习及答案

1、初二数学经典题型练习1 .已知：如图，p是正方形 abc咕点,pad= z pda= 15,求证： pbb正三角形.证明如下。dc首先，pa=pd z pad=/ pda= (180 -150 ) +2=15 , / pab=9 -15 =75 。在正方形abcd外以ad为底边作正三角形 adq 连接pq 则/ pdq=6 +15 =75 ,同样/ paq=75 ,又 aq=dq, pa=pd 所以 pa箪 pdq 那么/ pqa=/ pqd=6 +2=3 ,在 pqa中，zapq=18 -3 -75 =75 =/ paqw par 于是 pq=aq=ab显然 pa* pab 得 / pba=

2、z pqa=3 ,pb=pq=ab=bc/pbc=9 -3 =6 ,所ha pbc是正三角形。ad bc的延长线交mn于e、2.已知：如图，在四边形 abcd43, ad= bc, m n分别是 ar cd的中点, f,求证：/ den= / f.证明：连接ac,并取ac的中点g,连接gf,gm.又点 n为 cd的中点，则 gn=ad/2;gin/ ad,/gnm= dem;(1)同理：gm=bc/2;gm/ bc,z gmn= cfn;(2)又 ad=bc贝u :gn=gm/ gnm= gmn: / dem= cfn.3、如图，分别以 abc的ac和bc为一边，在 abc的外侧作正方形 ac

3、d序口正方形 cbfg点p是ef 的中点.求证：点 p到边ab的距离等于 ab的一半.证明：分别过 e、c f作直线ab的垂线，垂足分别为 m q n在梯形 mefn, wefrt nf因为p为ef中点，pq平行于两底所以pq为梯形mefn位线，所以 pq= （ m曰 nf） /2又因为，角 cb+角obc= 9 =角 nbf+角cbo所以角ocb痛nbf而角cb=角鼻=角bnfcb=bf所以 ocb等于 nbf me心等于 oac（同理）所以 em= aq b= nf所以 pq=ab/2.4、设p是平行四边形 abcg部的一点，且/ pba= /pda求证：/ pab= / pcb过点p作d

4、a的平行线，过点 a作dp的平行线，两者相交于点 e;连接be因为 dp/ae, ad/pe所以，四边形aepm平行四边形所以，/ pda4 aep已知，/ pda4pba所以，/ pba之aep所以，a、e、r p四点共圆所以，/ pab之 peb因为四边形 aepm平行四边形，所以： pe/ad,且pe=ad 而，四边形 abc型平行四边形，所以： ad/bc,且ad=bc 所以，pe/bc ,且 pe=bc即，四边形ebcpfe是平行四边形所以，/ peb之 pcb所以，/ pab之 pcb5.p为正方形 abcm的一点，并且 pa= a, pb= 2a, pc=3a正方形的边长.解：将

5、 bap绕b点旋转90使ba与bc重合，p点旋转后到q点，连接pq因为 ba国 bcq所以 ap= cq bp= bq / abp= / cbq / bpa= / bqc因为四边形dcba正方形所以/ cba= 90 ,所以/ abp+ / cbp= 90 ,所以/ cba / cbp= 90即/ pbq= 90 ,所以 bpq等腰直角三角形所以 pq=，2*bp, / bq已 45因为 pa=a, pb=2a, pc=3a所以 pq= 2v2a, cq= a,所以 cpa2= 9aa2, pqa2+ cqa2= 8aa2 + aa2 = 9aa2所以cpa2= pqa2+ cqa2,所以 c

6、pq直角三角形且/ cqa= 90所以/ bqc=90 +45 = 135 ,所以/ bpa= / bqc=135作 bml pq则4 bpm等腰直角三角形所以 pm= bm= pb/v/2 = 2a/v/2 = v/2a所以根据勾股定理得：aba2= amt2+ bma2=(v2a+ a)a2 + (，2a)a2=5 + 2a/2aa2所以 ab= v/(5+2v/2)a6.一个圆柱形容器的容积为 v立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为 x,

7、则大水管进水速度为 4x。由题意得：t5v解之得：x 5v8t5v经检验得：x 一是原方程解。8t5v 5v，小口径水管速度为5v,大口径水管速度为5v。m(2, - 1),且 p (- 1, 2)为双曲8t2t7.如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点线上的一点，q为坐标平面上一动点， pa垂直于x轴，qbb直于y轴，垂足分别是 a、b.(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;(2)当点q在直线mok运动时，直线 moh是否存在这样的点 q使彳obqf oap积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由;(3)如图12,当点q在第一象限中的双曲线上运动时，作以 op

8、 o的邻边的平彳t四边形 opcq求平行四边形opc调长的最小值.图解：(1)设正比例函数解析式为 y1kx ,将点m ( 2 ,1)坐标代入得k =,所以正比例函数解2,11析式为y = x2同样可得，反比例函数解析式为设点当点q在直线do上运动时,1q的坐标为q(m,-m),2_ 1saobq = _2ob? bqoap=21(-1)?( 2)=1所以有，一m = 1 ,解得m41 .1一创一m2 2所以点q的坐标为q1(2,17dq2(- 2,-1)(3)因为四边形 opcqb平行四边形，所以 op= cq oq= pc2)是定点，所以 op勺长也是定长，所以要求平行四边形opc0长的最

9、小值就只而点p ( 1 , 需求oq勺最小值.2因为点q在第一象限中双曲线上，所以可设点q的坐标为q(n,2),n 22 42 2由勾股te理可得oq = n + = (n- -) + 4 , nn2 222 所以当(n- -) = 0即n- 二0时，oq有最小值4, nn又因为o徽正值，所以 oqf oq2同时取得最小值，所以ocw最小值2.由勾股定理得 op= j5 ,所以平行四边形 opcqo长的最小值是8.如图，p是边长为1的正方形abcd寸角线ac上一动点(p与a、c不重合)，点e在射线bc上，且pe=pb(1)求证： pe=pd; pel pq(2)设ap=x, 4pbe的面积为y

10、. 求出y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围；当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值 .解：(1)证法一：四边形abcd1正方形，ac为对角线，bc=dc z bcpz dcp45 . pc=pcapb(c3 pdc (sa9 .pb= pd,/pbg/pdc又. pb= pe ,pe=pd(i )当点e在线段bc上(e与r c不重合)时,. pb=pe/pb=/peb /peb/pdc / peb/peg/pdc/peg180 , /dpe360 -( / bcd/ pdc/pec=90 , pel pd)(ii )当点e与点c重合时，点p恰好在ac中点处，此时，pel pd(i

11、ii )当点e在bc的延长线上时，如图/ pec/ pdc / 1 = 72,/dpe/dce90 , pel pd综合(i ) (ii ) (iii ) , pexpd(2)过点p作pf, bc垂足为f,则bf=fe. apx, ac=j2, pc=j2 - x, pf=fc=12(7 x)2bf=fe=1-fc=1-( 1 _2 x)=2&pb=bf- pf=_2x(13.22) y1 2 x2!0, 2222.x22x2二 x)21 -x22 x.2(0x 22.).二时,2y最大值(1)证法二：过点p作 gf/ aeb分别交ad bc于g f.如图所示.四边形abc比正方形，四边形ab

12、fm四边形gfc嘟是矩形， ag桥口 pfctb是等腰直角三角形.gd=fcfp, gp=ag3f, / pgd/ pfe=90又. pb=pebf=fe,gp=fe,aeffp pgd (sa9 .pe=pd/1 = /2./ 1+/3=/2+/3=90 . z dpe90 . pel pd(2). ap=x,bf=pg-2x 2&pb=bf pf=2x(1 2pf=1-2x.22) y1x21x22x22x2(0二x)21 22x x.22x 22.).10时x的取值范围；(3)如图，等腰梯形 obc珅，bc/ od ob=cd odi在x轴上，过点 c作c吐odt点e, ce和反比 例函数的图象交于点 p,当才形obcd勺面积为12时，请判断pc和pe的大小关