相似三角形培优试题

1、1、(本题满分7分)cg,ae与cg相交于点m ,如图10,四边形abcd、defg都是正方形，连接 ae、cg与ad相交于点n .求证：(1) ae =cg ;(2) an dn =cn mn.图102、(本题满分7分)如图11,已知 abc的面积为3,且ab=ac ,现将 abc沿ca方向平移ca长度得到 efa.(1)求四边形 cefb的面积；(2)试判断af与be的位置关系，并说明理由;(3)若 /bec =15 :求 ac 的长.133、如图，在平行四边形 abcn,过点a作ae，bc,垂足为e,连接de, f为线段de上一点，且/ afe= / b.求证： adm dec(2)若

2、ab= 4,ad= 3 j3 ,ae = 3,求 af 的长.如图(4 ),在正方形 abcd中，e、f分别是边a d c dh的点，ae= e,d dn ，连结ef并延长交bc的延长线于点g.4图(4)(1)求证：abesdef；(2)若正方形的边长为 4,求bg的长.5 .如图(15),在梯形 abcd 中，dc / ab, /a =90, ad =6厘米，dc = 4厘米，bc的坡度i =3：4,动点p从a出发以2厘米/秒的速度沿 ab方向向点b运动，动点q从点b出发以3厘米/秒的速度沿bt ct d方向向点d运动，两个动点同时出发，当其中t秒.一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止.

3、设动点运动的时间为 (1)求边bc的长；(2)当t为何值时，pc与bq相互平分;(3)连结pq,设4pbq的面积为y,探求y与t的函数关系式，求t为何值时,y有最大值？最大值是多少?6 .(本题满分9分)一块直角三角形木板的一条直角边ab长为1.5m,面积为1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1,乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由.(加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数)第6题图7、如图1,0为正方形abcd的中心，分别延长oa、od到点f、e,使of=2oa, 0e=20d,连接ef.将 eof绕

4、点0逆时针旋转a角得到 e1of1 (如图2).(1)探究ae1与bf1的数量关系，并给予证明；(2)当a =30时，求证： aoe1为直角三角形.8、(本题满分 12分)将矩形abcd纸片沿对角线 ac剪开，得到aabc和c d如图1所示.将“zc d的 顶点a与点a重合，并绕点 a按逆时针方向旋转，使点 d、a(a)、b在同一条直线上，如 图2所示.观察图2可知：与bc相等的线段是, /cac=:问题探究如图3, 4abc中，aglbc于点g,以a为直角顶点，分别以ab、ac为直角边，向那bc 外作等腰rt abe和等腰rta acf,过点e、f作射线ga的垂线，垂足分别为 p、q.试 探

5、究ep与fq之间的数量关系，并证明你的结论 .拓展延伸如图4, aabc中，agxbc于点g,分别以 ab、ac为一边向aabc外作矩形 abme 和矩形acnf,射线ga交ef于点h.若ab = k ae, ac=k af,试探究 he与hf之间的数 量关系，并说明理由.9.(本小题12分)如图，有一块塑料矩形模板 abcd长为10cm,宽为4cm,将 你手中足够大的直角三角板 phf的直角顶点p落在ad边上(不与a d重合)， 在ad上适当移动三角板顶点p:(1)、能否使你的三角板两直角边分别通过点 b与点c?若能，请你求出这时ap 的长；若不能，请说明理由；(2)、再次移动三角板的位置，

6、使三角板顶点p在ad上移动，直角边ph始终通 过点b,另一直角边pf与dc的延长线交于点q,与bc交于点e,能否使ce=2cm若能，请你求出这时ap的长；若不能，请你说明理由。fancnmndn即an *dn =cn *mn参考答案1、 证明：（1）:四边形abcd和四边形defg都是正方形,ad =cd,de =dg,. adc =/edg =90，二/ade =zcdg ,.aade acdg, 3 分，ae=cg4 分（2）由（1）得 aade 三 acdg,. ndae = ndcg,又/anm =ncnd, amn s acdn2、解：（1）由平移的性质得afbc且af =bc,ae

7、faa abc, 二四边形afbc为平行四边形，s.efa = s. baf二s abc=3,j.四边形efbc的面积为9.3分（2） be _l af .证明如下：由（1）知四边形 afbc为平行四边形, bf ac且 bf =ac,又 ae =ca,/. bf ae且bf = ae,二四边形efba为平行四边形又已知 ab = ac,，ab = ae,，平行四边形efba为菱形，:be _l af 5分bd _lac于d, 丫/bec =15 : ae =ab,./eba =/bec =15 :二/bac = 2/bec =30：在 rtabad中，ab =2bd.设bd =x,贝uac=

8、ab =2x,丁 s&bc =3,且 sabc =1ac *bd =1 2x ,x =x2，二 x2 =3,丁 x为正数 二 x = 73,，ac =2437分3、（1）证明：二四边形 abc虚平行四边形ad/ bc ab / cd / adf4 ced/ b+/ c=180 / afe吆 afd=180 / afe土 b/ afd=/ c .adm dec（2）解：二四边形abc比平行四边形.ad/ bc cd=ab=4又a已 bc aexad在 rt ade中，de=jad2 +ae2 = %：1(3曜3) 2 + 32 = 6 . adm decadaf3.3afdecdaf= 2 .

9、34、(1)证明：；abcd为正方形，二 ad =ab = dc =bc, /a = /d=90.1 分ae 1,ae 二 ed ab 2p 一 1df又 * df =dc,.4de=.， abe s def .ab de（2）解：；abcd为正方形,ed, ed / bg.cgdfcf1又* df =一 dc,正方形的边长为4ed =2, cg =6.7分4.9分bg =bc cg =10.5.解：（1）作ce_lab于点e ,如图（3）所示，则四边形aecd为矩形.j.ae=cd=4, ce = da = 6. 1 分又. i =3： 4,.ceebeb =8, ab =12.在rtzxc

10、eb中，由勾股定理得：bc =jce2 +eb2 =10.（2）假设pc与bq相互平分.由 dc / ab,则pbcq是平行四边形（此时 q在cd上）.即 cq =bp,. 3t -10 =12 _2t.2222一解得t =一即t =一秒时，pc与bq相互平分.5510(3)当q在bc上，即0 w t w 10时，3作 qf _l ab 于 f ,则 ce / qf .qf bqcebc，qf即j610s*a pbq1-pb qf219t= _(12-2t 产259=(t -3)581十 5当t =3秒时,sapbq有最大值为81厘米2.5八 ，r 1014当q在cd上，即10 t w 14时

11、,c1-1. sapbq =-pb ce = (12 -2t) 6 22=36 -6t.易知s随t的增大而减小.,10,一，故当t = 一秒时，,sa pbq有最大值为 3101.236 父6=16厘米.38分9分10分11分, ,8116, 512分图19t2+54t/0wtw)55.31014-6t+36. t1a. 5 b. 6 c. 74428.如图1 55,平行四边形 abcd中，。1、。2、。3是bd的四等分点，连接 aoi,并延长交bc于巳连接eo2,并延长交ad于f,则ad等于（）fda. v 3 : 1b. 3: 1c. 3: 2d. 7: 39.如果一个三角形的一条高分这个

12、三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（）a.等腰三角形b.任意三角形d.直角三角形或等腰三角形10.在4abc 和abc中，ab:a.相似，但不全等c. 一定相似11 .如图161,正方形 abcd）1b .一2ac=ab : ac, / b= / b,则这两个三角形（）b.全等d.无法判断是否相似中，e是ab上的任一点，作 efxbdtf,则为be八 2a2dc.直角三角形6cm,且把斜边分成 3: 2两段,b. 446 cm12 .如图1 62,把4abc沿边ab平移到 abc的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是 abc的面积的一半，若ab则此三角形移动的距离人4是（）a.

13、衣-1b.亭c 1d-113 .如图 16 3,在四边形 abcd 中，/a=135，/b= / d=90 , bc= ad=2 ,则四边形 abcd的面积是（）a. 442b. 4v3c. 4d. 614 .如图16 4,平行四边形 abcd中，g是bc延长线上一点，ag与bd交于点e,与dc交于点f,则图中相似三角形共有（）a. 3 对b. 4 对c. 5 对d . 6对15 .在直角三角形中，斜边上的高为则斜边上的中线的长为（）5 6a. cmc. 5d6 cm16. ad为rtaabc斜边bc上的高，作 dexac于eab 5ac - 416 a.254b. 一517.如图 165,

14、abc 中，ab=ac5c.一4,/ a=36 ,d.bd平分/皿ce,则=(ea2516abc ,已知ab=m , bc=n,求cd的长。甲同学求得2cd=mn,乙同学求得 cd = m下列判断正确的是（）a.甲、乙都正确b.甲正确、乙不正确c.甲不正确、乙正确d.甲、乙都不正确18.如图16 6,在直角梯形 abcd中, 点p使得以p、a、d为顶点的三角形和以图 1-6-5ab=7 , ad=2 , bc=3。如果边 ab 上的p、b、c为顶点的三角形相似，那么这样的点p有（）a. 1个b. 2个c. 3个d. 4个a图 1-5-923图 1-6-621 .等腰三角形底边上的高为8,周长为

15、 32,则此三角形的面积是二、填空题(每小题 4分，共16分)20.如图 1 56,在 rtaabc 中，/acb=90 , cd ab , ac=6 ,ad=3.6 ,贝u bc=图15622 .在 abc中，bd, ce分别为 ac、ab边上的中线， m、n分别是 bd,ce的中点，则mn : bc=。23 .在 abc 中，de/bc , d、e 分别在 ab、ac 边上，若 ad=1 , db=2 ,那么de bc=。de24 .平行于 abc的边ab的直线交ca于e,交cb于f,若直线ef把 abc分成面积 相等的两部分，则 ce: ca=。25 . rtaabc中，cd是斜边 ab

16、上的高，该图中共有x个三角形与 abc相似，则x=。26 .在 abc 中，点 d 在线段 bc 上，/ bac= / adc , ac=8 , bc=16 ,则cd=三、计算题（本大题共 86分）27 .如图157, aabc为直角三角形，/ abc=90。，以ab为边向外作正方形 abde , 连接ec交ab于p点，过p作pq/bc交ac于点q。证明pq=pb。28 .如图 158,已知 deab , efbc。求证： def abc o图 1-5-729 .在 rtaabc 中，zc=90 , cdxab 于 d , sqbcd =s-bc sadc。求证：bd=ac 。图卜5-830.

17、如图1 59,在平行四边形 abcd中，e为ab的中点，-1-，求证 ag = ac。5af 1在ad上取一点f,使 =一，连接fe交cb的延长线于h,交ac于gfd 234.如图1510,已知ad是4abc的中线，过 abc的顶点c任作一直线分别交 ab、ad 于点 f 和点 e,证明：ae - fb=2af - ed。图 1-5-1032 .如图1511,在 abc中，/ a、/ b、z c的对边分别是 a、b、c。点p是ab 上一个动点（p与a、b不重合）。连接pc,过p作pq/ac交bc于q点。4求证：abbca图 1-5-1133 .如图167,在4abc中，bd是ac边上的中线，b

18、e=ab,且ae与bd交于f点,efo34.如图出证明。图 1-6-71 68, /apd=90 , ap=pb=bc=cd ,找出图中两个相似的三角形，并给af35.如图 1 69, ad、be 是 abc 的高, 线交ac的延长线于h,求证df2=fg - fh。dfxab于f, df交be于g, fd的延长图 1-6-936.如图1610, ap是4abc的高，点d、g分别在 ab、ac上，点e、f在bc上, 四边形 defg 是矩形，ap=h, bc=a, (1)设 dg=x , s 矩形 defg=y，试用 a、h、x 表示 y; (2) 按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不

19、同的矩形，使它们的面积和等于abc的面积？a33图 1-6-10选彳4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试【试题答案】-、选择题（每小题 6分，共60分）1. a2. d3. b4. a解析：如图d1 24所示，d、e、f分别为 abc三边中点_1 _ ef/1bc，.二 mef 7abc=2日ef 1且=bc 2 l def ef 1 i二 bc w1abe 1 def又守 =s.abcef2bc1 s .abc =16=169二二，s abc2，选a图 d-l-245. a解析：验证法：（1）不能判定 abc为直角三角形/ b+/dac=90 ，而/ b+/dab=90 ,/ ba

20、d= / dac同理/ b=/c,不能判定/ bad+ zdac等于90 ;（2）中/ b=/dac, /c 为公共角， abcsdac。. dac为直角三角形，.abc为直角三角形；一- 一cd ac 一在（3）中，= 可得 acd s bad ,ad ab ./ bad= zc, / b= / dac , / bad+ / dac=90 ;,、7bd ab，一(4)中ab =bd bc,即=，/ b为公共角,ab bcabca dba ,即4abc为直角三角形。，正确命题有3个选a。6. b解析：直接法。注意到/ a=/c=60可设 ad=a ,则 ac=3a,而 ab=ac=bc=3a

21、.3所以 ae=be= - a ,2ada2所以=一。ae33a 2p cd 2a 2bc 3a 3ad cd所以=,/ a= / c=60ae cb故 aeds cbd，选 b。8. b7. a9. d10. d11. a12. c13. c解析：由/ b=zd=90 ,于是设想构造直角三角形，延长ba与cd,它们的延长线交于 e,则得到 rtbce和rtaade 由题目条件知， ade为等腰直角三角形，de=ad=2 ,saade=- x 2x2=2.2二3又可证 rta ebcrtaeda ,s 志bcrbc、2一 -s 在da 0),则(a+d) 2=a2+ (ad) 2, . a=4

22、d.，三边之比为 3: 4: 5.20. 821.4822.1: 4223. 424.225. 2解析：acdsabc, cbdsabc26. 4解析：由4bac adc可知bcacaccd三、解答题（本大题共 74分）27. 证明： pq/bc , bc/ae ,pq/ae / cpq=/ cea , / cqp=/ cae . . cpqs cea .pq _ cpea 一 cepb cp pq pb同理可得=，=ed ce ae ed而 ae=de , .1. pq=pb .28.证明： de/ab ,de odoeab oa又 ef/bc ,obefoeofbcdeobefocab由知

23、bcodoaofoc而/fod= / coa , . foda coa,dfodac.一 abc 和 def 中,oadeefdfabbcacabca def29.证明：如图d125图 d-l-25.s.abc _ s. bdcis.bdcs.adcab cd bd cd ad cd - ad cdab bd 2 ,bd =abbd adad由射影定理得，ac2 =ad ab. ac2=bd30.证明：.2,即 ac=bd .af 1 af 1af 1ad -3bc 3 ae=eb ,/ aef= / heb , / fae= / ebhafea bhe ,af=bh ,af 1ch 4-/

24、agfa cgh,af agch cgag 1acaeedaffhaf1 -bfaeed2af2af ,即 ae bf = 2af edbf,2.2 一_32.解：（1） a +b 12a16b+100 = 0即（a -6）2 （b -8）2 -0a=6, b=8解不等式组2x -132x 3x -46x 125解得一：二x211c=10,22a2 b21即 ag ac531.证明：过 d作dh/cf交ab于点h,贝u/bdh=/bcf, /b=/b, /.a bdh bcf又d为bc的中点.bd bh 1bc =-bf = 211bh =-bf,即 fh = bf22同理可证 aefa adh. .abc是直角三角形 1 ._ .（2）由（1）,付 s&bc =2ab =2433.证明：过 e 作 ek/bd ,则 bcda eckbe _ dkbc - dc ek/bdef