【高考调研】2013届高考数学一轮复习课时作业2-2方法技巧专题理新人教版

1、方法技巧专题求函数最值的常用方法1 .配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如f(x) = af 2(x) + bf (x) + c的函数的最值问题，可以考虑用配方法.例1已知函数y= (ex- a) 2+ (ex - a) 2( a r：, aw。)，求函数y的最小值.【思路】将函数表达式按 ex+e-x配方，转化为关于变量 ex+e-x的二次函数.【解析】y= (ex- a)2+(e x-a)2=(ex+ e x) 2 - 2a( ex+ e x) + 2a2 - 2.令 t=ex+e x, f (t) =t2 2at +2a2 2.,-t 2, . f (t) = t22at +2a2

2、2 = (t a)2+a2 2 的定义域为2 ,十).抛物线y = f(t)的对称轴为t = a,.当 aw 2 且 aw o 时，ymin = f (2) = 2( a 1)；当 a0),x= 1 -12,y=x+ 21-x = 1 t2 + 2t= -t2+2t + 1 = -(t-1)2+2,，当 t = 1 即 x= 0 时，ymax= 2.方法二：f (x)的定义域为x| xw1,f (x) = 1-f,一 1 一x由 f (x) = 0 得 x=0.0vxw1 时,f (x) v0, f (x)为减函数.xv0 时，f (x) 0, f(x)为增函数.当 x=0 时，f(x)max

3、= f (0) =2.(2)求函数y=x+44 x2的值域.【解析】换元法：由4 x20得一2wxw 2, .设x=2cos。(。c 0 ,兀),则y =2cos 0 + * 4cos2 = 2cos 0 + 2sin 0 = 2j2sin(。+4), 。+46 -4, sin(。+宁)c -* 1，ye2,2 也.3 .不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问 题的一种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：22. 、， a+ b a + b 2 ab( a, b 为头数)；ob(b(0, b0);a+ b 2 a2+ b2tabw(2-) &ia,

4、 b 为头数).2例3设x, y, z为正实数，x 2y+ 3z= 0,则上的最小值为 xz【思路】 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值.【解析】因为x2y + 3z=0,2所以v=,所以xz=x2+ 9z2+ 6xz4xz又x, z为正实数，所以由基本不等式,2,口 y 6xz + 6xz得 =3，xz 4xz当且仅当x=3z时取“=”故x的最小值为3.故填3.xz【讲评】本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决.在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误.4

5、.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性， 然后依据单调性求函数的最值. 这种利用函数单调 性求最值的方法就是函数单调性法. 这种求解方法在高考中是必考的， 且多在解答题中的某 一问中出现.1 一例4 设a1,函数f(x)=logax在区间a,2a上的取大值与取小值之差为2,则a =【思路】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值.【解析】:a,，函数f(x) =log ax在区间a, 2a上是增函数，.函数在区间a, 2a，一，一1一一上的取大值与取小值分力1j为log a2a, log aa= 1. log a2= 2 , a =4.故填4.【讲评】

6、解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点处理好了，以下的问题就容易了. 一般而言，对一次函数、哥函数、指数函数、对数函数在闭 区间m n上的最值：若函数f(x)在m n上单调递增，则f(x)mm=f(m), f(x)max= f(n)； 若函数 f (x)在mi n上单调递减，则 f ( x) min= f ( n) , f(x)max= f(m)；若函数 f (x)在m n 上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理.5 .导数法设函数f(x)在区间a, b上连续，在区间(a, b)内可导，则f(x)在a, b上的最大值 和最小值应

7、为f(x)在(a, b)内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值.利用这种方法 求函数最值的方法就是导数法.例5函数f(x)=x3-3x+1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是 .【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值.【解析】因为f 1 (x) = 3x2 3,所以令f (x) = 0,得x= 1(舍去).又f(3)= 17, f( 1) = 3, f(0) =1,比较得，f(x)的最大值为3,最小值为一17.【讲评】(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a, b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b);第三，比较上述极值

8、与端点函数值的大小，即得函数的最值.(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不 存在的点及其端点.6 .平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题.1 a. 一c.例6已知函数y=d x +-+3的最大值为 m最小值为f则m勺值为()1b. 一 2d.【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决.1-x0,【解析】由题意，得x+30,所以函数的定义域为x|3wxwi.又两边平方，得 y2 = 4 + 21 x ,

9、.x+ 3=4+ 2 -xx+；.所以当x=1时，y取得最大值m= 2m2;当x = 3或1时，y取得最小值m 2, 选c【讲评】 对于形如y=qa=cx+眄不b的无理函数的最值问题，可以利用平方法将 问题化为函数 y2=(a+b)+2a cx cx+ b的最值问题，这只需利用二次函数的最 值即可求得.7 .数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法. 这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径.因此，在学习中， 我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中.a, ab,例 7 对 a, be r,记 max a, b| = 5函数 f (x) =maxi x+ 1| , |x 2|( xb, a| x 2| ,得(x+1)2(x2)2,所以 x2.11|x+1| , x2, 所以f (x) = j| |x-2| , xx, x1,如果点 o为坐标原点，那么|op的最小值等于 ,最大值等于 .【思路