广东省2012届高三数学全真模拟卷4文

1、则目标函数z = xy的取值范围为(d -若广东省2012届高三全真模拟卷数学文科4第i卷一.选择题：本大题共 10小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.1 .已知集合 m= x|x23 c .x|1vxv 2 d.x|2vxv32 .已知为虚数单位，则复数上i的虚部为()1 ia. 0b. 2 c. 1 d.-13. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何 体的表面积为a. 144b. 124 c . 104d. 844 .在同一平面直角坐标系中，画出函数u(x) = 3sin x-cosx,v(x) =sin(2x) 3cos(2 x),中(x)

2、=2sin x+2cos x的部分图像如下，则()a. f (x)=u(x), g(x)=v(x),h(x)二f(x) b- f (x) hp(x), g(x)=u(x),h(x)=v(x) c f (x) =u(x), g(x) = (x),h(x) =v(x)d. f (x) =v(x),g(x) = (x), h(x) = u(x)x - y t5 .设变量x, y满足约束条件 x + y e6a. 12,8 b . j2 351 c .力,9】一4用心爱心专心-3 -6.执行如图的程序框图,如果输入p = 7则输出的s=（a.63 b.6412764c.127 d.128255128输

3、入7.对任意实数a,函数2y = ax +ax+1的图象都不经过点 p,则点p的轨迹是（a.两条平行直线c. 两条抛物线)b.8.如下图所示，两射线四条除去顶点的射线d.两条除去顶点的抛物线oa与ob交于点o,下列5个向量中,s= 0 2oa-ob31- oa obaa若以。为起点,a. 1b. 2终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（c. 3d.4)个.9.已知数列 qn满足a1 = a ,且an中 =11-(an 1) an，对任意的.2an(an 1)n w n ,总有and3=an成立，则a在（0,1】内的可能值有（a. 1个10.已知定义域为区间la, b的函数f （x）,其图象是一

4、条连续不断地曲线,f （x）的值域为g ,且g la, b；对任意不同f(x)-f(y)|xy|,那么函数g(x)=f(x)x在区间ab上(输出s否且满足下列条件:a.没有零点c.恰有两个不同的零点b. 有且只有一个零点d .有无数个不同的零点第n卷二.填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分。0.40.1211 .某校为了解高三同学寒假期间学习情况，调查了 100名 同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方6 810 12小时图(如图).则这100名同学中学习时间在 6至8小时的同学为 人.12 .设圆x2 +y2 =1的切线与x轴的正半轴，丫轴的正半轴分别交于点a, b,当|

5、ab|取最小值时，切线的方程为.13 .图中的三角形称为谢宾斯基 (sierpinski)三角形。在下图中，将第 1个三角形的三边中点为顶点的三角形着色，将第k(k w n*)个图形中的每个未着色三角形的三边中点为顶点的三角形着色，得到第k +1个图形，这样这些图形中着色三角形的个数依次构成一个数列an,则数列an的通项公式为15 .(在给出的二个题中，任选一题作答.若多选做，则按所做的第一题给分)(1)(坐标系与参数方程)在极坐标系中，曲线ccos2 9 =2sin6的焦点的极坐标为(2)(不等式选讲)若不等式 jxta之x(a0)的解集为x|mwxwn,且|m n|=2a, 则a的取值集合

6、为.三.解答题：本大题共 75分。其中(16)(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答 应写出文字说明，证明过程和演算步骤16 .(本小题满分12分)在锐角 abc, a, b, c分别为内角a b, c的对边，且2asin a = (2b - c)sin b (2c - b)sin c(i)求a的大小;(n)求表达式sin b cosc的取值范围.cosb sinc17 .(本小题满分12分)已知四棱锥 p abcd (如图)底面是边长为 2的正方形.mq _l pd 于 q.pa_l平面abcd, pa = 2, m , n分别为ad , bc的中点,1000万元投资

7、到“低碳”项目上,(i)求证：平面 pmn，平面pad ;(n )求二面角 p - mn -q的余弦值.18 .(本小题满分12分)某投资公司在 2011年年初准备将现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30% ,也可能亏损15% ,且这两种情况发生的概率分别为1和2 ;99项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%,可能损失30%,311也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3、1和,.5315(i)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(n)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期

8、投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番？(参考数据：lg 2= 0.3010, lg 3 = 0.4771 )19 .(本小题满分12分)已知函数f(x)=x20.(本题满分13分)如图，双曲线c1 : 土与 b2+(k1)x2+(k+5)x,其中kw r .(i)若函数f(x)有三个不同零点，求 k的取值范围;求k的取值范围.(ii )若函数f(x)在区间(0,3)上不是单调函数,用心爱心专心22，一一 x y-=1与椭圆c2:一+=1(0b 0,xe r,yw r的正数 m 的最大值4 m43是b ,求b的值；21 .(本题满分14分)已

9、知数列an的前n和sn满足： =1, sn书+2sn =1(nw n),数 列bn的通项公式为bn =3n4(nw n).(i)求数列an的通项公式；(ii )试比较an与bn的大小；(iii )某圆的圆心c在x轴上，问点列(an(bn,an)：巾(匕,a)八(以，2), ,an(bn,an),ll| 中是否至少存在三点落在圆c上？说明理由.参考答案一.选择题：本大题共 10小题，每小题 项是符合题目要求的.第i卷5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有1 .【答案】c【解析】m =(-2, 2), n =(-1,3),赠 n =(-1,2).8,侧面的斜高为5,从而表面积为2 .【答案

10、】d21-i(1-i)2-2i【斛析】=-|1 i (1 i)(1 -i) 23 .【答案】a【解析】如图，此几何体是正四棱锥，其底面边长为18 8 48 5 =144.24 .【答案】d【解析】由 u(x) =。10 sin(x+a),v(x) =10sin(2x + b),中(x) =2、.sin(x + )知4函数u(x),v(x)w(x)的图像的振幅、最小正周期分别为 氏，尺,2&2兀n2式对照图形便知选d.5 .【答案】c【解析】如图，可行域为 mbc的边界及内部，双曲线xy 2 _z _9.6 .【答案】c解析s =1（1）2|（1）7=i_ 1j27222271287 .【答案】

11、b【解析】设p（x,y）,则对任意实数 a,函数2y = ax+ax +1的图象都不经过点 p u ,，、2x2 x = 0关于a的方程a（x +x）=y-1没有实数解 uay-1 二0y = 1y = 1所以点p的轨迹是除去两点（0,1）,（1,1）的两条平行直线 x = 0与x = 1.8 .【答案】at 亡 10,1,使得 on =toa + (1t)ob , 且存在实数r至1,使得om=ron ,从而【解析】设 m在阴影区域内，则射线 om与线段ab有公共点，记为 n ,则存在实数om =rtoa +r(1-t)ob,rt +r(1-t) = r 1,且 rt,r(1 t)至 0.只有

12、符合.9 .【答案】b1 41二 a 一2【解析】a1 =a 三（0,11,a2 =2a.8a,0 二 aa2 = 2a j ：0,1 1a3 = 4a, a4 :11 11,4a 4,一 111.1 *.由a4=a1 =a得一 aw,且1 =a ,故a = 一，此时经检验对任息的n匚n，总有42 4a2an 3 = an .a4 =2-1 ai113a2 =2a1,21自二1 -,2a 2 4r一, 一 一 . *.由a4=aaa 1 ,此时经检驯对任息的 n匚n，总有an-3 an.一 1故 a = 或 a =1.210 .【答案】b【解析】由知 g (a) = f (a) - a = a

13、 - a = 0, g (b) = f (b) - b 三b - b = 0.设 a wx1 x2 wb ,由知 f (x2) - f (x1) x2 -x1, f (x2) -x2 f (x1) -x1, g(x2) 0,b0 ,则切线的方程为个+丫 = 1, a bab = . a2 b2 ,m 11 .一信一2 + 2 = 1, aba b,2 . 2. 11b?=(ab)(a2 b2)=2 a2当且仅当a = b = j2时，上式取等号，故abmin =2,此时切线的方程为用心爱心专心3n -113 .【答案】an =31 2【解析】a1 =1,an4an =3n (n w n *),

14、当 n 之2 时3nan 二a1(a2一&)*(aaz)(anan)=1332“3n二一也可由不完全归纳法猜得e2 2114 .【答案】 +-+-l-12 e 2e2【解析】f (x) = x ln x - x, f (x) = ln x , f (e) = 0, f (x) = 1, l : y = x - es = j in x -(x -e) dx = ixln x -x -(1 x2 -ex) e.215 .(在给出的二个题中，任选一题作答 .若多选做，则按所做的第一题给分)(1)【答案】(工，).2 2cos21-2sin -:二(0,1),对应的极坐标为(工,工)22 2(2)【答

15、案】(2).【解析】如图，y = x-a=y2=xa2 2n -n =am - -a, . n = a, a = 2n -m =2a三.解答题：本大题共75分。其中（16）（19）每小题12分,（20）题13分,（21）题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤16.解：（i）由已知，根据正弦定理得一 2 一一2a2 =(2b-c)b (2c-b)c即 a2 =b2 c2 -bccosa/v2bc 2信 一 ：；：.66cos二 sin ：cos- -sin ;:，函数y =tanx在区间f 5i上是增函数,12,12冗5冗tan t :二 tan 一121210分_九 sin, 九12

16、v tan =-=乂 12 几cos一12o 2九2sin12.冗冗2sin cos12121-冗 cos-6九sin 一6=2 - 3,: 0 :二 a :二二,. n八a = . 5 分32,：;.rrrr(n)由(i)得：b +c =na =，设 b=+o(w (0,),c=aw (0, ),332321+tanu ,又 tan(工)1 - tan：4冗冗冗冗 5冗- ：二：:： ：二：, :66124 125冗tan = tan12)=1=2+v3.2 12 tan 工 2-、31212分故表达式t =s1nb +cosc的取值范围是 (2-73,2+石cos b sin c17.方法

17、一：（i）证明：pa_l平面 abcd, mnu平面 abcd,f. mn - pa. m , n分别为ad , bc的中点,且四边形abcd是正方形, mn _ ad.pa u 平面 pad , ad u 平面 pad，且 pa ad = a,mn _l平面 pad . 3分mn u 平面 pmn , 平面pmn，平面pad . 4分(n )解：由(i) mn _l 平面 pad ,及 pm u 平面 pad , mq u 平面 pad知 mn _ pm,mn _ nq.平面pmn 平面qmn =mnnpmq为二面角p - mn -q的平面角. 11分在 rtapad 中，mq _l pd

18、, pm = pa2+am2= 5, pd=2 2,pa md 2mq 10mq, coszpmq =pd 2pm 1010故二面角p mn -q的余弦值为 10 12分10方法二：解：:四棱锥p - abcd的底面是边长为2的正方形，且pa _l平面abcd ,以a为原点，射线ab,ad,ap分别为x, y,z轴的正半轴，可建立空间直角坐标系（如图）.pa =2,a(0,0,0), b(2,0,0), c(2, 2,0), d(0, 2,0), p(0,0, 2), ad = (0, 2,0), ap = (0,0, 2).m , n分别为ad , bc的中点，m (0,1,0), n(2,

19、1,0), mn =(2,0,0).(i ) mn ad = 2 0 0 2 0 0 = 0,mn ap = 2 0 0 0 0 2 = 0.mn _l ad , mn _l pa pa a 平面 pad , ad u 平面 pad，且 pa ad = a, mn _l平面 pad . 3分(n )设平面pmn的一个法向量为n=(x, y,z),则 n mn =2x =0= x =0, n pm =(x, y, z) (0,1, 2) = y -2z =0= y =2z,取 n =(0,2,1).zp pd mn =(0,2, -2) (2,0,0) =0= pd _ mn ,mq i pd

20、, mn u 平面 mnq , mq u 平面 mnq , mn mq = m ,qpd _l平面mnq , pd =(0,2,2)是平面mnq的一个法向量.am 由图形知二面角 p -mn -q的平面角8是锐角，所以二面角p -mn q的余弦值为 乂1012分1018.解：(1)若按“项目一”投资，设获利 4万元，则匕的分布列为-1300-150p7929_ .72_ 一八 e。=300父+(150) m=200 (万兀) 2 分99若按“项目二”投资，设获利 万元，则j的分布列为:匕500-3000p3513115311.二 ej =500x2+(300) m+0父一 =200 (万兀).

21、4 分5315又 d。=(300 200)2 乂,+(150 200)2x 2 = 35000 ,5 分992 32 121d-2 =(500 -200)父- +(-300200)父一十(0200)父一 =140000,6 分5315所以 e： =eg, dt cd2,这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.8分(2)假设n年后总资产可以翻一番， 依题意：1000(1+200、=2000，即12n = 2 ,1000分两边取对数得:lg221g 2 1g3-10.30102 0.3010 0.4771-1之 3.8053.用心爱心专心-21 -

22、11分所以大约4年后，即在2014年底总资产可以翻一番.答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在 2013年底，总资产可以翻一番.12分 19.解：(i )因为f (0)=0,所以函数f (x) = x，x2+(k-1)x+(k+5) i有三个不同零点的充要条件是关于x的方程x2 +(k 1)x +(k +5) = 0有两个不相等的非零实根，1分k 5 = 0,k = -5,即 422 u w之 一11 k 一3,且 k # 一5 .(k -1)2 -4(k 5)2 0 (k 3)(k 11) ：0故k的取值范围是(t1,5j (-5,-3). 5分(ii )解法一：f(x)=3x2+2(k

23、1)x + (k+5),函数f (x)在区间(0,3)上不是单调函数的充要条件是关于 x的方程f(x)=3x2+2(k1)x + (k+5) = 0有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间(0,3)内. 7分21、 若 f(0 )=k+5 = 0,则 k =-5, f(x)=3x 12x=3x(x 4).方程f(x)= 0的两个实根0,4均不在区间(0,3)内，所以k#5. 8分2612、 若 f(3)=7k+26 = 0,则 k =_26, f(x)=3(x_3)(x_3).方程f (x ) = 0在区间(0,3)内有实根1 ,所以k可以为26. 9分773、 若方程f(x )=0有一

24、个实根在区间(0,3)内，另一个实根在区间0,3外，则 f (0 )(3好0,即(k +5)(7k +26) 0,-5 k -26. 10分4、 若方程f 0f (0) =k +50k-10 -26 7 ka5-8 k 1(k 2)(k -7) 026 c-.k ：. -2.711分(ii )解法二:k的取值范围是(-5,-2 yf(x)=3x2 * 4+2(k-1)x + (k+5),12分函数f (x)在区间(0,3)上不是单调函数的充要条件是关于x的方程23x3c. 910 2(k -1)x (k 5) =0在区间(0,3)上有实根且a=4(k1)2 12(k+5)#0. 7分关于x的方

25、程3x2+2(k1)x + (k+5)=0在区间(0,3)上有实根的充要条件是三x三(0,3 ),使得 k(2x+1)=(3x2 -2x + 5) 8分之三xw(0,3 1使得k =2(3x2 -2x 5)2x 1 一令t =2*+1,有111,7),记 h(t) t+9,ht)1-2-(t+3)2t3)h(t) 0y 1 t 3;h(t) a0u 3 t 7. 10分则函数h(t城(1,3】上单调递减，在13,7)上单调递增，所以有 h(t卢16,10),即 k = _3 jh(t) -10 (-5,-21. 11 分4 一 3又由 a=4(k1)2 12(k +5)#0,得k 2,且k#7

26、.故k的取值范围是(-5, 2 1 12分(ii )解法三：记函数f(x)=3x2+2(k1)x+(k+5)在区间10,3】上的最大值为f(x)max, 最小值为f (x)min.函数f(x)在区间(0,3)上不单调 u 函数f(x)在区间10,3】上不单调仁 f (x)min 0 f (x)max. 7分k -1因为函数f (x )的图像是开口向上、对称轴为 x =-的抛物线,3所以 f(x)maxf (3),k -1 3 一327k 26,k , - 7! 7 2,k 5,k ：-2f (x)max a0u k -5. 9分k -1当ka4时，口2,3f (-k -1),0 - k -1

27、：2f min =3kl3f一；1 03f (x)min-5 :二 k -2.1l-(k-7)(k+2),-5k1k 5,k 111分故k的取值范围是(5, 2 1 12分(ii )解法四：求出当函数f (x)在区间(0,3)上是单调函数时，k的取值范围为集合 a则当函数f (x)在区间(0,3)上不是单调函数时,20. (i)解：由已知得 a(2,0), 4(2,0).设 a(x1, y1), p(x2, y2)，知 a, p 均在第一象限22xivib212分2kaa +kaa2kpa +kpa2小y1x1 2x1。2x22 -44 b2y2y2y2x22 x2 - 2x12 -442by

28、1x2v2x/2x2%; o.a, p在同一直线上，二x1y2kaakaa故 aa1aa2_ 二-1kpa1kpa22(ii )证明：设 oa=top,0 t 1,p(x,y),则 a(tx,ty),且 4 4 , b ,2 22 2tx t y =1,4 b21x2 =2(1 12)22tb b 1解得 o ；,op2=x2y2=(2 一 b)(2 b) 2.2 b /22 ty ( 2 -1) 2 t2,2.2.2 _2 _ 2_ b _ b1 - oa op -oa22 =top2 -oa22 =(2 b)t (2 b)14= f一. b2_ b2 1_ 0t1,二 f (t)=(2)(

29、2+，)0,函数 f(t)在区间(0,1 上是减函数，. 2. 2因此当 0 ct f(1)=(2b-)+(2b-)4 = 0，即丝 aoa 22oa2op故aoaa2与wa2p不相似.222222(iii)解：由土乌=1 得 x2 =4(4+1),由上l0 得 x2-y-4m2m2433 当 n2 时._s s _ |(-2)n i 卜2)n/ 1 l , 2、n; (x,y) 一42y2 =1,x r, y mr=(x, y)-40,x r,y r)111112一 y = 0,( - 2)2- 2 - 0= m - 3= b = 3.3 m y 3 m13分21 .解：(i)解法一：1 sn*+2sn =1(nw n*),sni 20 =-15.2 2sn1 =1n n ),两式相减得 an 2 2an 1 -0,an 2 -2an 1(n n ).又 a1 = s1 = -1, s2 2sl = 3al a2 =