勾股定理专题附答案全面

1、勾股定理 一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理内容：在RT中， 勾股定理的应用：在 RT中，知两边求第三边，关键 在于确定斜边或直角 典型题型 推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间 的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。 (等积法) 拼图法推导一般步骤：拼岀图形-找岀图形面积的 表达式-恒等变形一推出勾股定理。 (10) 用四个相同的直角三角形(直角边为a、b，斜边 为c)按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下图的面积吗对比两种 不同的表示方法，你发现了什么 1、对勾股定理的理解 (11)用两个完全相同的直角三角形(直角边为 a、b， (1)已知直角三角形的两条直角边

2、长分别为a, b，斜边 长c,则下列关于a,b,c的关系不成立的是( A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、 a2-c2=b2 D、a2+b2= c2 斜边为c)按下图拼法, (2)在直角三角形中，/ 立的是() A=90,则下列各式中不成 A、BC2- AB2=AC2 B、BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长 (3)已知在直角三角形 ABC中, 求AC的长. AB=10 cm, BC=8 cm, (4)在直角中，若两直角边长为 a、b，且满足 论证勾股定理： 2 , 2 2 a b c 3、运用勾股定理进行

3、 计算(重难点) (12) 如图,一根旗杆在离 地面9米处折断倒下，旗 杆顶部落在离旗杆底部 12米处，旗杆折断前有多 高 (13) 两棵之间的距离为 8m，两棵树的高度分别 则该直角三角形的斜 为8m、2m，一只小鸟从一棵 树的树顶飞到另一棵树的树 顶，这只小鸟至少要飞多少米 【基础检测】 a - 6 a + 9 + | b - 4| = 0， 边长为 3、利用勾股定理求面积 (5) 已知以直角的三边为直径作半圆，其中两个半圆 的面积为25 n，16 n，求另一个半圆的面积。 (6) 如图(1)，图中的数字代表正方形的面积，则正 方形A的面积为。 (7) 如图(2)，三角形中未知边 x与y的

4、长度分别是 x= ,y=。 (8) 在 RtAABC 中，/ C= 90，若 AC= 6，BC= 8， 则AB的长为() A、6B、8CC 10D、12 (9) 在直线I上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放 置的四个正方形的面积依次是S、S2、 【知识点2】勾股定理的验证 1、在 RtA ABC中，/ C= 90，若 AB= 13, BC= 5， 则AC的长为() 2、已知 RtAABC中，/C= 90，若 a b 14cm, c 10 cm,则RtAABC的面积为() A . 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60c

5、m2 3、若 ABC中，/ C=90, (1 )若 a = 5, b=12，则 c =; (2) 若 a =6, c =10，贝U b =; (3) 若 a : b=3 : 4, c =10,贝U a=, b= 4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积 为。( 不取近似值) 5、一个直角三角形的斜边为 20cm,且两直角边长度比为3 : 4, 求两直角边的长。 6、一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直高度为8m,梯子的顶端下滑2m后，底端向外 滑动了多少米 【培优突破】 1、折叠问题 （1）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC=6cm、 BC=8cm,现将AAB

6、C折叠，使点 B 与点A重合，折痕为 DE,则BE的 长为（ ） A、 4cm B、5cm C、 6cm D、 10cm （2）如图，折叠长方形的一边 AD,使点D落在BC边 上的点F处，已知 AB=8cm, BC=10cm,求线段EC的值 2、运用勾股定理解决生活中的实际问题 （3）如图，为了测得小水坑两边 A点和B点之间的距 离，一个观测者在 C点设桩，使/ ABC=90,并测得 AC=20m, BC=16m则A、B两点之间的距离是对少 3、分类讨论（已知直角的两边，求第三边） （4）在厶 ABC中，AB=15,AC=20, BC边上的高 AD=12, 则BC的值为（） A 25B、7C、

7、25或7 D、不能确定 （5）已知3,4, a是一个三角形的三边长，若三角形 为直角三角形，则a2的值是多少 （6） 在直角 ABC中，AB=15, AC=20, BC边上的高 AD=12,则BC的值为多少 4、利用方程解题 （7）如图，ABC中，/ C=90 , D是BC上的一点，已 知 BD=7, AB=20, AD=15, 求 AC的长. （8）如图，已知 ABC中，AB=AC=2Q BC=32, D 是 BC 上一点，且AD丄AC, 求BD的长。 【培优训练】 一、选择题 1 .在 RtAABC 中， / C=90； AC=9, BC=12,则点C到 AB的距离是（ ） A 36 12

8、 -9 3 v3 A、B、 5 25 C、- 4 D、一 4 2 .若三角形 ABC 中，/ A:/ B:Z C=2: 1: 1, a, b, c分别是/ A, / B,Z C的对边，则下列等式中，成立 的是（） a 2.22=2c2q 2门八 2 ”2 A. a +b =c B. a =2c C. c =2a D. c =2b 3.如图，/ AOC=/ BOC,点 P在 OC上, PD丄OA 于点 D, PE! OB 于点 E.若 OD=8,心 OP=1O,则 PE的长为（） A、5B、6_ C、 7D、8 4 .如图在直角 AABC中，/ BAC=90, AB=8, AC=6, DE是AB

9、边的垂直平分线，垂 足为D,交边BC于点E,连接AE,则MCE的周长为（） A、16 B、 15 C、 14D、13 5 .如图，矩形纸片 ABCD中，AB=4, AD=3,折叠纸片 6 .已知 AABC 中，AB=17, AC=10, BC边上的高AD=8,则边BC的长为（） A、 21B、15 C 6D、以上答案都不对 7 .如图，在 RtMBC中，/ ACB=90, CD丄 AB于 D，已 知BC=8, AC=6,则斜边AB上的高是（ ） A、10B、 5 2412 C、D、 55 8如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（ a、5cm2 b、3 cm2 ） 2 2 c、 4 cmd、5

10、cm 9 张大爷离家岀门散步，他先向正东走了 又向正南走了 40m，此时他离家的距离为 A. 30 B.40 C.50 D. 70 10 .如图在 ABC中/ C=90, AD平分/ BAC交 BC于 D,若 BC=64,且 BD:CD=9: 7,则点D到AB边的距离为（） A、 18B、 32 C、28D、24 11.如图所示，是用4个全等的直角三角形与 1个小正 方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49, 小正方形面积为4，若用x, y表示直角三角形的两直角 边（xy）,下列四个说法： x2+y2=49,X- y = 2, 2xy+4=49,x+y=9. 其中说法正确的是（ A、

11、C、 二填空题（共 12.如图，等腰 ） B、 D、 2小题） ABC 中, AB=AC I- 是底边上的高，若 _则 AD= AB=5cm, BC=6cm, cm. AD 13 .如图，直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到 直线L的距离分别是1和2，则正方 形的边长是 . 、勾股定理的逆定理 D 14、如图所示， ABC是等腰直角三 角形，AB=AC D是斜边BC的中点， E、F分别是 AB、AC边上的点，且 DE丄 DF,若 BE=12, CF=5. 求线段EF的长。 (7)若厶ABC的三边长分别长a,b,c，且满足？+? + ?+ 200 = 12 a+ 16b + 20? 试判断

12、 ABC 的形状。 8) A ABC的两边分别为5, 12，另一边为奇数，且 a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形 为。 9) 求： 若三角形三条边的长分别是7, 24, 25,则这个三角 形的最大内角是度。 已知三角形三边的比为1 : 3 : 2，则其最小角 为。 【知识点4】勾股数 【知识点3】勾股定理的逆定理 (1 )如果的三边a, b, c满足关系满足 该为直角三角形。 ，则 (1) (2) (2) 的三边 ?？ + ? ?？ + ? a b, c,假设c为最长边 ?，则该为三角形 ?，则该为 三角形 (3 )勾股定理逆定理的用途 典型题 (1 )下列各组数据中的三个数， 可作为三

13、边长构成直角 三角形的是( A. 4，5，6 B. 2 3, C. 11, 12, 13 (2)若线段a,b,c组成直角三角形, D.8, 15, 17 则它们的比为( A、2 : 3 : 4 B、 3 : 4 : 6 C、5 : 12 : 13 (3)下面的三角形中: D、4 : 6 : 7 厶 ABC 中，/ C=Z A-Z B; 厶 ABC中，Z A:Z B:Z C=1: 2 : 3; 厶 ABC 中，a: b: c=3: 4: 5; 厶ABC中，三边长分别为 其中是直角三角形的个数有 8, 15, 17. )个. A. 1 B. 2 C. D. 4 (4)若三角形的三边之比为 為:1，

14、则这个三角 (3) (4) 勾股数是正整数 满足的关系条件?+?= ? 勾股数的n倍(n工0),仍然满足? + ? = ? 常见勾股数 勾股定理的应用 1、与图形展开的有关计算(注意展开方式) (1)某楼梯的侧面视图如图 3所示，其中二石二止米, -, -1-，因某种活动要求铺设 红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 (2)如图，在棱长为1的正方体 的表面上，求从顶点 A到顶点C (3) 周长 ABCDA B 的最短距离. 如图一个圆柱， 6cm,高 4cm , C D 底圆 一只蚂 蚁沿外壁爬行，要从A点爬 到B点， 则最少要爬行 30 E3 形一定是( A. ) 等腰三角形 B. 直

15、角三角形 等腰直角三角形 D. 不等边三角形 已知a, b, (5) ?) ( ?+?- ?) A.直角三角形 C.等腰直角三角形 ABC三边，且满足(? 0则它的形状为( B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 (6 )将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到 的三角形是() A .钝角三角形 C.直角三角形 B. D. 锐角三角形 等腰三角形 cm (4 )国家电力 总公司为了改 善农村用电电 费过高的现状， 目前正在全国 各地农村进行 D，且正好位于 电网改造，某地有四个村庄 一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一 条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请 你帮助

16、计算一下，哪种架设方案最省电线. 2、航海问题 A、B、 C、 (1) 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行， 另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航 行，经过小时后，它们相距 海里 (2) 如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物 资从A处运往正东方向的 M处，在点A处测得某岛C 在北偏东60的方向上。该货船航行30分钟到达B处， 此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在C岛周 2 x 2ab + c2 围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该 货船有无暗礁危险试说明理由。 (3) 如图，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该市 正南方向260km的B处有

17、一台风中心，沿 BC方向以 15km/h的速度向D移动，已知城市 A至U BC的距离 AD=100km. 那么台风中心经过多长时间从B点移到D点 如果在距台风中心 30km的圆形区域内都将有受 到台风的破坏的危险，正在 D点休闲的游人在接到台风 警报后的几小时内撤离才可脱离危险 3、网格问题 (1) 如图1,正方形网格中，每个小正方形的边长为 1， 则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是() A. 0B. 1C. 2D. 3 (2) 如图2，正方形网格中的 ABC,若小方格边长 为1，则 ABC是() A.、直角三角形B、锐角三角形 C、钝角三角形D、以上答案都不对 (3) 如图，小方

18、格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是() A. 25 B. B. 9 D. (4) 如图，正方形网格中 的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点， 以格点为顶点分别按下列要求画三角形： 使三角形的三边长分别为 3、v8、v5 (在图甲中画一 个即可)； 使三角形为钝角三角形且面积为4 (在图乙中画一个 即可). 4、折叠问题 (1)如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6, BC=8,将厶ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE, 则CD等于() 2522 A.B. 43 75 C.D.- 43 (2 )如图所示，已知 ABC中，/ C=90, AB的垂直平分线交 B

19、C于M，交AB 于 N,若 AC=4, MB=2MC,求 AB 的长. (3)如图，在长方形 ABCD中，DC=5,在DC边上存在 一点E,沿直线AE把厶ABC折叠，使点D恰好在BC边 上,设此点为F,若厶ABF的面积为30,求折叠的厶AED 的面积 (4) 如图，在长方形 ABCD中，将 ABC沿AC对折至 AEC位置，CE与AD交于点F。 试说明：AF=FC 如果AB=3, BC=4,求AF的长 (5) 如图2所示，将长方形 ABCD沿直线AE折叠，顶 点D正好落在BC边上F点处，已知 CE=3cm, AB=8cm, 则图中阴影部分面积为 . (6) 如图，将正方形 ABCD折叠，使顶点A

20、与CD边上 的点M重合，折痕交 AD于E,交BC于F,边AB折叠 后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点， 求证：DE: DM: EM=3: 4: 5 勾股定理参考答案 一、探索勾股定理 (1) C(2) D (3)没有确定斜边的情况下，需要先确定斜边。6或 2.41 (4) 根据非负数的性质，b=4和a2 6a 9 0，解 得a=3,根据勾股定理，斜边=5 (5) 这类型题目(分别以直角三角形三边所作的同类型 图形，如正多边形、半圆等)，均满足(如图中所示) S1=S2+S3 S3=9n (6) 25(7) 10,12(8) C,斜边 AB=10 (9) 4,根据全等三角形和勾股定理，S1

21、+S2=1,S2+S3=2 S3+S4=3 S1+S2+S3+S4=1+3=4 2 1 (10) s= (a+ b)= 4 x，ab+ c2, 结论：a2 + b2 = c2 (11) S= 1(a+ b)(a+ b)= 结论：a2 + b2 = c2 (12) h=9+V92 + 122 = 9 + 15 = 24 m (13) 10 m 【基础检测】 1、B 2、A,解:(a + b)2 = a2 + 1 b2 + 2ab ,解得：ab = 24 3、 (1) 13,( 2) 8,( 3) 6, 8 4、72 n 5、12,16解：根据题意，本题中直角三角形三边关系为 3: 4: 5，三边

22、分别为 3x, 4x, 5x, 5x=20 6、 作如下辅助图：BD=CE=10 AB=8, BC=2, AC=6 根据勾股定理：AD=6, AE=8 DE=AE-AD=8-6=2 m 【培优突破】 (1) (2) B 3 cm,注意翻折构造全等，勾股定理 (3) 12 m C,如右图 25或7,在 (4) (5) 没有确定直角或 (8)直角三角形。分析：设三边分别为a,b,c，有 a+b+c=5+12+c=17+c 根据条件有： 17 + c是3的倍数 c为奇数 12 - 5 v cv 12+5 (三边关系) 解得：c=13，所以根据勾股定理的逆定理，为RtA (9)90, 30 三、勾股定

23、理的应用 1、与图形有关的计算 斜边的情况下，需要讨论确定斜边。 (6) 25，AB 一定是直角边，想想：BC是否一定是斜 边呢BC边上的高为12，不是15,所以BC一定是斜边 (7) 12,解：设DC=y,根据勾股定理有： AC2 = AB2 - (BD + y) 2 = AD2- y2，即 202 - (7 + y)2 = 152 - y2 解得：y=9 AC=12 (8) 7,解：作AE丄BC与E, 则 AE=12 设 BD=X DE=16-x DC=32-x 如图，根据勾股定理有： AD2 = AE2 + DE2 = DC2 - AC2即 (1)2 + 2( 2) v5(3) 5 (4)设：正方形的边长为 a 方案一：S=3a 方案二：S=3a 方案三：S=2 v2a 方案四：S=(1+V3)a 份析：FH = a , BF =身, 6 3 EF = a- V3 所以：方案四最节省电线 2、航海问题 (1) 30(2) CD=3V3 ,无暗礁风险 (3台风中心经过16h从B点移动到D点 14h内撤离才可脱离危险