单粒子轨道理论

1、单粒子轨道理论 单粒子轨道理论是指将等离子体中的带电粒子独立的处理，忽略它们之间的相互作用, 只考虑电磁场对单个带电粒子的作用，不考虑带电粒子运动引起的电磁场变化。 1.均匀磁场中的带电粒子的回旋运动 在处于恒定磁场的空间中，带电粒子的运动方程是 dv (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) mqv B dt 取B为z方向，写成分量形式： VX Vy Vy 二Vx Vz=0 这里 m 称为回旋频率。记 V =Vx iVy，将(1.3)式乘以i与(1.2)式相加，得到 V - V(1.6) 其解为 Vce(1.7) 其中，积分常数C=V_e_L是复数，可写为模V_和辐角的形式

2、。对(1.7)式分别取实部和虚 部，得到 Vx =V_COSt 匕)(1.8) (1.9) vy 二-v_sin(H 工) V,c均为积分常数，因此，带电粒子的运动是围绕磁场作以 为Larmor回旋运动。其角速度为： Q -G 回旋的半径(也称为 Larmor半径)为： V 门为角频率的回旋运动，也称 (1.10) (1.11) Vz(1.12) 而在平行于磁场的方向，从(1.4)解得: 积分常数v为平行方向速度的初值，带电粒子速度保持不变。 值得注意的是，回旋频率只与磁场的大小有关，而与回旋粒子的垂直速度或回旋半径无 关。但如果相对论效应不能忽略，则带电粒子的质量会发生变化，回旋频率会随着垂

3、直方向 的速度改变。此时，带电粒子的运动方程为 m dt =qv B (1.13) 其中相对论因子 (1.14) 它只与带电粒子速度的大小有关，与速度的方向无关。而事实上，只要用V点乘（1.13）式即 可看出： dv 1 dv v0 dt 2 dt (1.15) 即带电粒子速度的大小是常数。因此在解带电粒子的运动方程时，可以将视为常数。解的 结果与非相对论情况的不同点仅仅在于回旋频率的差别： (1.16) 带电粒子在磁场中的运动可以看作是垂直于磁场的回旋运动和回旋引导中心的运动 （即 平行于磁场的运动加上漂移运动）组成。 2.回旋引导中心的运动 首先，我们考虑带电粒子在稳恒、但空间上不一定均匀

4、的磁场中的运动过程。从上一节 的讨论可知，如果磁场不随空间和时间变化， 或者在带电粒子所在的区域内可以将磁场近似 的看成是不变的，带电粒子将沿着磁力线作回旋运动。为了更好理解和处理在空间不均匀磁 场中的带电粒子的运动， 我们将其分解为围绕引导中心 的回旋运动和引导中心自身运动两部分。 对于角频率为 Q的回旋运动，其速度 V为：B v = QXp (1.17) 这里pt）是回旋的矢量半径，它与V_, Q构成相互垂直 的右手体系。因而 (1.18) 在磁场中带电粒子回旋运动角频率矢量Q为: Q - -q - - b(1.19) (1.19) 这里b是磁场方向的单位向量。 带电粒子除了沿着 磁场方向

5、运动外，在垂直于磁场的方向上， 带电粒子做回旋运动及漂移运动。由于漂移运动 速度一般远小于回旋运动速度，带电粒子运动速度V的垂直分量可以用回旋运动速度V g替 代，在这种近似下，(1.18)式可以改写为 b v p(1.20) Q 实际应用中，却是先用此式定义回旋半径p,因为若还用(1.18)式，将会与(1.17)式一并 陷入循环定义。我们也可以理解(1.20)式定义的回旋半径p为带电粒子运动的瞬时的回旋半 径，在回旋一周的过程中，若同时有漂移运动，带电粒子的回旋速度和半径是随时改变的。 了解引导中心的运动比了解带电粒子的具体的运动更有意义。引导中心的位置R(t)可 (1.21) 以简单求得：

6、 这里r(t)是带电粒子的瞬时位置。 R 二 r(t)- P(t) 这实际上也可以看作是引导中心的定义。引导中心的运动 速度vc可以求得: b V d / b、 (1.22) =R (t) = v(一) v Q dt Q (1.22)式中出现的带电粒子加速度可分为两部分，其一是由磁场引起的旋转，另一部分由其 他外力的总和f引起的加速度 f + qv=B V = v：二 b m m 在稳恒近似的条件下，没有快速变化的电场和磁场，对时间的偏导数可以忽略，只保留空间 位置改变引起的变化。因而(1.22)式中对时间t的随体导数近似为 - VV dt 抚 用(1.23)和(1.24)，化简(1.22)式

7、，得到引导中心运动速度的三部分： (1.23) (1.24) (1.25) Vc = V | V f V m 其中v =vb= (V b)b是带电粒子沿平行磁场方向的运动速度。平行速度是引导中心运动 速度的主要部分。另外，(1.25)式中的第二项 f b v f m Q 是外力引起的垂直磁场方向的漂移，如电场漂移、重力漂移等。而 Vm 二 V (V 人)严 它与磁场的大小(Qh B )和方向(b )在空间上的变化有关，是由空间磁场的不均匀性 引起的漂移，如磁场梯度漂移、曲率漂移等。 现在，我们得到的带电粒子运动大致图像：首先，它主要是沿着磁力线运动，同时还绕 着磁力线旋转。其次，引导中心会在外

8、力作用下漂移偏离磁力线，其漂移方向与磁力线垂直， 也与力的方向垂直。此外，磁场的不均匀性也能引起漂移运动。 (1.25)式的第三项 (1.26) (1.27) F面我们详细分析一下带电粒子的各种漂移运动。 1) 电场力 对于恒定的电场，带电粒子受力f二qE，电场引起的漂移速度 EEx B v e b 2(1.28) BB 值得注意的是，电场漂移速度与带电粒子的电荷的正负符号无关，也与带电粒子的质量 无关。在等离子体中，离子和电子以相同的方向和速度漂移，不会造成的电荷分离。 事实上， 我们如果取一个以相对速度 vE运动的新参考系(称为 deHoffman-Teller参考系)，通过洛仑 兹变换可

9、以发现，在新的参考系中电场为0，带电粒子只是简单地围绕磁力线旋转。而在我 们原先的参考系中观察，所有的电子和离子除了回旋之外，均以一个相同的速度vE做漂移 运动。 2)重力或其他恒定外力 普通情况下，力总是引起与其方向一致的加速度。而在有磁场的情况下，力引起的是 个垂直方向的漂移速度，与日常经验有很大的不同。漂移速度的表达式为： qB2 (1.29) 这个速度与带电粒子的质量也没有关系，但与其电荷有关。尤其对于电荷符号相反的带电粒 子，其漂移方向也相反。在等离子体中，电子和离子漂移方向不同，会引起电荷分离，从而 产生一些特殊的物理现象(如等离子体-磁场分界面上产生的瑞利-泰勒不稳定性)。 在讨

10、论磁场空间不均匀性引起的漂移问题之前，有必要先处理一下公式(1.26)的第三项， 我们用vm代表这项磁场引起的漂移。相比其他两项来说，这一项相对复杂。由于其中含有 运动速度v，因而有回旋运动引起的随时间快速变化的项。这些快速变化的项不是我们想要 的，通过在一个回旋周期中做平均的方法可以消除掉。我们简化v为只有平行运动和回旋运 动两项，忽略所有的漂移运动： (tjvb+v丄(1.30) 回旋运动速度可以表示为： v_(t) : v_Xcos(*t) y?sin(-氏)(1.31) 这里X, ?是两个垂直于磁场的方向上的单位矢量，与b方向构成右手系。由(1.30)，(1.31)， 将公式(1.27

11、)经过一个回旋周期的平均之后，磁场不均匀性引起的漂移平均速度为 (vmUvfZ (b 灯)丄(1.32) 其中 、 =x y x 鋼 二 b (b 、)=、 b( b ) (1.33) 是在垂直方向上的空间微分算符。在公式 磁力线方向b的变化，另一个是磁场强度 可计算磁力线的曲率 (1.32)中，磁场在空间的变化包括两个部分，一是 B的变化。沿着磁力线方向看磁场方向的变化， (1.34) k-(b i)b (1.32)式可写为 2 mv i 2q - B B2 (1.35) 注意到(1.33)式，进一步化简 B -B2 B B2 b(Z) 丁 j B B2 B3 (1.36) 利用矢量微分公式

12、 (P q) = p C q) q C P) (P )q (q )p 及b是单位向量的特性，曲率也可以表达为 1 k = (b I)b-(b b) = -b C b) 2 在垂直方向上磁场强度的梯度为 (1.37) (1.38) _B 二 b (b i B)二b CB)-Bb Cb)二 b %j Bk 利用(1.33), (1.34)及(1.39)式，化简(1.35)式： (1.39) 、亠(戒减)話 mvj b-j J 2qB2 (1.40) (1.41) 在空间没有电流时，由(1.39)可知 由磁场引起的漂移速度为 /、b 灼 B Vm(2W W)育 (1.42) 其中，w，w_分别是带电

13、粒子在平行方向和垂直方向的动能。磁场的空间不均匀性引起的漂 移运动又可以分为两部分，其中一部分漂移速度是离心力引起的，为 mv2eR B RqB2 (1.43) 尺方向相反。另一部分漂移速度是 式中R为曲率半径，eR是曲率半径的方向单位矢量，与 磁场梯度引起的，为 Vgrad -N B qB (1.44) 这里 (1.45) 是粒子的磁矩。而 _ B体现了磁场的梯度对带电粒子所施加的等效作用力。 在考虑空间有电流的情况下，引导中心的运动速度为 f BB % Vc =vb厂(2w_ w_)22 (2w jw_j_b) qBB qB qB _ (1.46) 若把漂移速度写为与磁场相关的量，则(1.

14、35)为 22b Vb八-b(b) B b Q 2 土 b Q 匚灯B bb-b k 2Q J 2 K上 (1.47) 注意到(1.38)式，代换k,得 Vm， 最后 2 b(b C b)-B b k b (b Cb)-空 b B 2 V+Vb (Vx b) b + 20j f Bvb、B 心 k 一 捡BQ qB2 3.带电粒子在变化电场中的漂移 讨论在有恒定磁场 B = B0ez和垂直于磁场的变化电场 E = Eo cos( t)ex 情况下带电粒子的漂移运动。可解运动方程 V 二亚 ex “v ez m 得到： V = -iV qEo cos t m 令V =也皿，则 (1.48) (1

15、.49) (1.50) (1.51) (1.52) qEo JeCcos(ot)dt m 可得 其中, qE。 2 (i0cost) 们 sin (cot) )+v 山。姒 m( )- 、q dE 1 Vx =v cos(t ： )22 m dt q E -v sin(t覚)22 m Q - Vy x方向的漂移为极化漂移, 而在y方向的漂移类似于普通的电场漂移。 (1.53) (1.54) (1.55) (1.56) 两者漂移速度 之比为上的量级。 Q 在 的缓变电场情况下，极化漂移速度远小于普通的电场漂移速度，相比之下可 以忽略。在 的高频变化的电场情况下，极化漂移速度比普通的电场漂移速度更

16、大, 显得非常重要。 4.守恒量和绝热不变量 对于在没有电场和重力场等力场区域运动的带电粒子，其动能守恒。带电粒子的运动方 程(1.1)两端同时点乘速度 V,可以得到(1.15)式，从而证明了在这种情况下，带电粒子动能 守恒。 一般来说，对于广义坐标q , p是q对应的广义动量。如果运动对于 q是周期的，则对 于积分： I pdq (1.57) 是绝热不变量，也即在系统变化的特征时间远远长于运动的周期的条件下, 该物理量保持不 变。这里积分在一个运动周期上进行，积分过程中保持系统的能量不变。 假设系统是随参量 缓慢变化的，为简化起见，假设系统只有一对广义坐标和广义动量，即: H(p,q,(t)HE(t) (1.58) 这里H是系统的Hamilton函数。对于(1.57)的积分，被积函数p可以从(1.58)式反解为 p =p(q, (t), E(t) (1.59) 因而 dI 打牡p d十Ep dE dt :dt ：:E dt (1.60) 利用