[理学]线性代数与解析几何 第五章 线性方程组.ppt

1、1 哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲 2 3 0 0 ) 0 ( nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xa xa x 11 11221 21 12222 1 122 1 一一般般形形式式： T (),(,) ( ) ijm nn ax xx AX AX 12 20 矩矩形形式式： 其其中中 阵阵 4 (3) 1122 0 nn xxx 向向量量形形式式： (,) 1 2 12 0 n n x x x 1 2 , j j j mj a a a 5 只有零解的充要条件只有零解的充要条件 无穷多解的充要条件无穷多解的充要条件

2、解的性质及解集合的结构解的性质及解集合的结构； 求解方法求解方法 6 AX = 0 x1 1+x2 2+ xn n =0 A 1, 2 , n r(A)= r( 1, 2 , n)n. AX= 0r(A)n; AX= 0 r(A)=n. m n A AX = 0 x1 1+x2 2+ xn n =0 A 1, 2 , n r(A)= r( 1, 2 , n)=n. 7 ()A AA 1212 0 ()()kkA A0 AX=0k , 12 ,AA 12 00AX=0 12 AX = 0 A0AX = 0 k 8 AX = 0 N(A),AX = 0 AX = 0 1,2 N(A) P. AX

3、= 0 PAX = 0 . 9 AX = 0 , n r 12 , n r 12 r(A)= r nAX = 0 , n r 12 AX = 0 n rn r kkk X 1122 AX = 0 k1,k2, kn-r 10 , ( ) m n Rr AA N(A) rn 则则 AX = 0 rn则则 AX = 0 ( )nRnr dim(N(A) N(A)=0 (2) (1) ( )RrnA ( )RrnA 则则 AX = 0 11 A r rr n r n r n r cc cc cc AC 111 212 1 1 00 0 10 0 01 0 00 00 0 00 00 行行 12 CX

4、=0 rr 11111 22112 11 rn rn rn rn rrn rn xc xcx xc xcx xc xcx r r n x x nr x 1 2 100 010 001 ， ， 令令 13 r n r n r n r rrr cxcc cxcc cxcc 1 11112 2 22122 12 ， ， 3.代入同解的方程组代入同解的方程组CX=0中得中得 AX = 0n- -r 14 r , n r n r n r rr n r ccc ccc ccc 1 1112 2 2122 12 12 100 010 001 且线性无关且线性无关. T (,) n k kk 12 设设是是

5、AX = 0 15 , n r 12 令令 ,则则(, ) n r B 12 (,) n r ABAAAA 12 0 ( )( )RnRnr BA1 , n r 12 所以所以 线性相关线性相关, , n r 12 于是于是 可由可由 线性表示线性表示. , n r 12 所以所以 是是N(A) ( )nRnr dim(N(A) 16 n rn r kkk X 1122 AX = 0 , n r 12 12 , n r k kk AX = 0 17 (1);(2);(2);(3);(3)n-r(A). . （）; CX =0. (3) CX =0 ;, n r 12 n rn r kkk X

6、1122 AC 行行 (1) 1. 12 , n r k kk 18 12345 12345 12345 352 26853 336 xxxxx xxxxx xxxxx 1 3 5 1 2 2 6 8 5 3 1 3 3 6 1 1 351 2 0 0 271 0 0 000 19 331 1 3 0 22 71 0 0 1 22 0 0 0 00 ( )RA25 1245 345 331 3 22 71 22 xxxx xxx 20 x x x 2 4 5 100 010 001 ， / ,/ 123 333 21 2 100 07 21 2 010 001 112233 kkk通通解解X

7、, 123 k k k其其中中任任意意. . 21 A, Bn B 0B AX = 0 A 0 22 ,ttt 112223334 , Ax 1234 0 t t , Ax 1234 0 t 441 , Ax 1234 0 , 1234 ( , , , ) ( , , , ) t t t t 12341234 1 0 0 1 0 0 01 0 0 01 23 , 12340 t t t t 1 0 0 1 0 0 01 0 0 01 1 0 0 1 0 0 01 0 0 01 t t t t 所以当所以当t 1时时, , Ax 1234 0 4 1t 24 nA R(A)=n-1AX=0 R(

8、A)=n-1AX=0 0, , iiin aaain 12 1 2 0 iiin aaa 12 111 T ( , , ) ,1 11kXk 25 26 ( ) nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxa xb 11 112211 21 122222 1 122 1 一一般般形形式式： AXAXb0称为称为 的导出组的导出组 (2) T T ( ) (),(,) ( ,) ijm nn m ax xx b bb AXb AX b 12 12 3 矩矩形形式式： 其其中中 阵阵 增广矩阵增广矩阵： (A b) 27 ( ) 向向量量形形式式： 1 2 11

9、2212 (,) nnn n x x xxx x b 11 22 ,1,2, , j j j mjm ab ab jn ab b 28 何时方程组有解何时方程组有解 有唯一解、无穷多解有唯一解、无穷多解 解的性质及解集合的结构解的性质及解集合的结构； 求解方法求解方法 29 AX = b x1 1+x2 2+ xn n = b bA 1, 2 , n 1, 2 , n 1, 2 , n, b r( 1, 2 , n) = r( 1, 2 , n,b ) AX = br(A)=r(A b) 当当r(A)r(A b )AX = b r(A)=r(A b) 30 问题问题 1, 2AX= bA 1=

10、b, A 2= b A( 1- 2 )=A 1- A 2=b-b = 0 1- 2AX= 0 AX= 0 AX = b A( + ) = A +A = 0+b = b + AX= b 31 AX= b r(A)=r(A b) n, (1)AX = br(A)=r(A b) AX = br(A)=r(A b) =n. (1)(2) r(A)=n, ,r(A)=r(A b) =n. r(A)=r(A b) r(A)=n 32 (2)AX = br(A)=r(A b) (1)(2) r(A) n, ,r(A)=r(A b) n r(A)=r(A b) r(A) n, , AAX = b A 33 A

11、X = b PAX = Pb. P . 2.2.r 1112111 22222 1 () 0 0 rn rn rrrnr r ccccd cccd ccd d A b 行行 AX = b 34 0(1,2, ), ii cir 1 (1)0 r d 1 (2)0, r drn 1 (3)0, r drn 1 122n rn r kkk X 12 , n r 12 , n r k kk 35 36 37 AX= br(A)=r(A b) n. AX = br(A)=r(A b) =n. m n A AX= 0r(A) = n; AX= 0 r(A) n. AX= br(A) r(A b) . 3

12、8 AX = b PAX = Pb. P. 2.2.r () A b 行行 AX = br(A)= r 1112111 22222 1 0 0 rn rn rrrnr r ccccd cccd ccd d 39 0(1,2, ), ii cir 1 (1)0 r d 1 (2)0, r drn 1 (3)0, r drn 1 122n rn r kkk X 12 , n r 12 , n r k kk 40 12345 12345 12345 1 3230 54332 xxxxx xxxxx xxxxx A b 1 01152 0 1 2263 0 0 0000 r(A)=r(A b)=25

13、1 1 1 1 1 1 3 2 1 13 0 5 4 3 31 2 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 6 3 0 0 0 0 0 0 41 123 115 226 ,100 010 001 1345 2345 25 3226 xxxx xxxx x3, x4 , x5, x3= x4= x5=0 T (2,3,0,0,0) 42 1 12 23 3 kkk X 123 2115 3226 0100 0010 0001 kkk 123 ,k k k 43 X1,X2, Xt AX =b 0 X0=k1 X1+k2 X2+kt Xt k1 +k2+kt =1AX=b k1 +k2+kt =0

14、AX=0 AX0=A(k1 X1+k2 X2+kt Xt) =k1 AX1+k2 AX2+ktAXt =k1 b+k2 b+ktb=(k1+k2+kt)b k1+k2 +kt=1, AX0 =b k1 +k2+kt =0AX0=0 44 已知线性方程组已知线性方程组A44X=0有基础解系有基础解系 , , , , TTT 123 12 302 10110 21 ( )(, , , ) ;( )( , , ) ; TT 1 5 3 70 49 1AB 则该方程的一个特解是则该方程的一个特解是 ( )( , , ) ;( )( , ) . TT 1 23 1212 0CD (, , , ) ;(

15、, , ) ; TT 12 1 5 3 70 49 1 ( , , ) ;( , ) . TT 34 1 2 3 12 1 2 0 45 12231234 1 1 2 11 012 0 11 75 01 0 0 20611 0 0 0 84 07 3 , 2123 2 , 134 1 2 11 0 1 2 21 0 5 4 21 3 02 39 3 2 0 1 1 7 1 1 0 46 1 1234 ( )2,r A 122334 232 401 ,2,3 030 831 AX = A4, , (0)41, , . . AX = 47 12 1 12 () 0 2 4 11223 0 112

16、()(2) 1 23 3 21234 2 7 2()(3) 0 15 先求先求 的一个特解的一个特解 AX = 再求再求 的一个基础解系的一个基础解系AX = 0 48 12 4( )2,RA 12 , 的一个基础解系的一个基础解系.AX = 0 为为 AX = 1 122 kk X 12 ,k k为任意常数为任意常数. 12 102 227 010 4315 kk 49 (1)AX=0, ,AX=b有有. r(A)=n, , r(A)= n = r(A b)? (2)AX=0AX=b. r(A)n, , r(A)= r(A b) ? AX=bAX=0. , r(A)= r(A b) =n.

17、50 r(A)=r =m,AX=b. . , ,r(A)=r =m= r(A b) . (6)若若r(A)=r =n,AX=b 错错, ,A为为m n,m nr(A b) =n+1. (4)AX=0ATX=0. , ,Am n, r(A)=m n, r(AT)=m, , ATX=0. A3 4, R(A)=3 4, r(AT)=3=m 51 52 r(A)r(A b) r(A)=r(A b)=1 r(A)=r(A b)=2 () 1111 2222 ABCD ABCD A b , iii A B C 不全为不全为0 : : 11111 22222 A xB yC zD A xB yC zD 5

18、3 * 0 , 0 0 xm tyt n pz X t :, 0 0 0 xxmt lyynt zzpt x y z 54 : : : 11111 22222 33333 A xB yC zD A xB yC zD A xB yC zD )( ) ()11r Ar A b ( )()(22r Ar A b 三平面重合三平面重合, ,方程组方程组 有无穷多解有无穷多解. . 三平面交于一条直线三平面交于一条直线, , 方程组有无穷多解方程组有无穷多解. . , iii A B C 不全为不全为0 55 ( )()(33r Ar A b 三平面交于一点三平面交于一点, , 方程组有唯一解方程组有唯一解. . ( ),)(124r Ar A b 三平面平行三平面平行, , 方程组无解方程组无解. . 56 ( ),)(235r Ar A b 三个法向量共面三个法向量共面, , 方程组无解方程组无解. . ,0n n n 123 1 2 3 三个法向量三个法向量中任意中任意 两个不成比例两个不成比例. 三个法向量三个法向量中有两中有两 个无关个无关,两个成比例两个成比例. 交成交成2或或3条平行直线条平行直线