降幂公式、辅助角公式应用

1、降幕公式、辅助角公式应用降幕公式(COS a F2=(1+cos2 a )/2(sin a )A2=(1 - cos2 a )/2(tan a )A2=(1 - cos(2 a )/(1+COS(2 a )推导公式如下直接运用二倍角公式就是升幕，将公式Cos2a变形后可得到降幕公式:cos2 a =(cos a )人2 (sin a )A2=2(cos a )A2 1=1 2(sin a )A2cos2 a =2(cos a )人2 1,(COS a F2=(COS2 a +1)/2cos2 a =1 2(sin a )A2,(sin a )人2=(1- cos2 a )/2降幕公式例10、(

2、2008惠州三模)已知函数f(x).3sin2x sin xcosx(1;)求函数f(x)的最小正周期；(II )求函数f (x)在 x的值域.解:f(x)3 sin2x sin xcosx.3 1cos2x1 sin2x221.c3小3.3十2sin 2xcos2xsi n(2x)(1 ) T222322(II)二0 x2x4sin (2x) 123332323所以f (x)的值域为：3,22点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。33xx例11、(2008广东六校联考) 已知向量a = (cosx, sinx), b = ( cos , s

3、in )，且2222x 0 ,.2(1) 求 a b(2) 设函数f(x) a b +a b，求函数f(x)的最值及相应的x的值。解：(I)由已知条件:x ，得：a(cos冬 cosx,sin 空 si异)2 2 2 2.2 2cos2x 2sinx(cos? COS：)2 (sin? sin：)2V 2222.3x . xsin sin 2sinx 2 221 232sin2 x 2sinx 1 2(sinx )，因为：2 23，x 0，(2) f(x)2sinx cos3：cos：2 2cos 2:0 x，所以：0 sinx 121所以，只有当：X 2时，fmax(X) 2点评：本题是三角

4、函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等 知识。或 X 1 时，fmin(X)1例12、(2008北京文、理)已知函数f (x) sin 3 sin xsin( x )(2f 0)的最小正周期为n .(I)求3的值;2(n)求函数f(x)在区间0 , 上的取值范围.3解: (I) f (x)1 cos2 x=sin2=sin(221x cos 22:6)品i 2 in 2 x21x 2因为函数f (X)的最小正周期为n ,且o 0,解得co =1.(n)由(I)得f(x)si n(2x )12.因为20 x37w所以1 2x26 6所以1 (2x26)1.因此0w si

5、n(2x-)-3w -，即 f (x)3的取值范围为0 , 36 222点评：熟练掌握三角函数的降幕，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幕或升幕，在训练时，要注意公式的推导过程。辅助角公式与三角函数的图像变换例 9、( 2008 深圳福田等)已知向量 a (、. 3 s in x,cosx), b (cosx,cosx),函数f(x) 2a b 1（1）求f （x）的最小正周期；当x 行时若f (x)1,求x的值.解：(1) f (x)2、3sinxcosx2cos2 x 1、3 sin 2xcos2x 2sin(2 x ).6所以，T=由 f (x)1,得 sin 2xx 6,2，: 2x

6、 e点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点例10、（2007山东文）在厶ABC中，角A, B,C的对边分别为a, b, c,tanC3, 7 .(1) 求 cosC ；b 9，求 c .uuu uuu 5(2) 若 CB?CA ,且 a2解：(1) Q tanC 3 -7,sinC 3 祈cosC又Qsin2C cos2 C 1解得cosCQ ta nC 0,C是锐角.cosC1818uu uuu(2)由 CB?CAab cosCab 2

7、0.a2 2ab b281 .a2 b241 .2b 2ab cosC 36 .点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积,余弦定理等内容。例11、（2007湖北）将y沁亍；的图象按向量n, 2平移，则平移后所得图象4的解析式为（A. y 2cos - n 234xB. y 2cos -3小x nx nC. y 2cos2D. y 2cos2312312，则2个,且解：由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点p x,y , P x, ylurna , 2 P P x x, y y x x ,y y 2，代入到已知解析式中可得选A44点评：本题主要考察向量与三角函数图像

8、的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移一个单位，再向下平移4单位，误选C33XX例 12、(2008 广东六校联考)已知向量a = (cos -x, sin ?X), b = ( cos , sin )222 2x 0 ,.2(2)设函数f (x)(1)求 a bI)由已知条件：0 x得：2，/ 3xx . 3x.X、/3xX、2/ . 3x.X、(coscos, sin sin：)v(cos-COSp(si n =si n：)2 2 22 2222a b +a b，求函数f(x)的最值及相应的x的值。解:bV22cos2x2

9、sin x3xx.3x .x小.小f(x)2sinxcos cossin sin2 sinx cos2x2 2222s in2x 2si nx 12(s inx1、23)2 2(2)因为：0 x ，所以：0 sinx 1 21 3所以，只有当：x 时，fmax(X)2 2x 0，或 x 1 时，fmin (x)1点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数 图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。降幂公式、辅助角公式题库1. （2010 浙江理）（11）函数的最小正周期是 .解析：故最小正周期为n,本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题2. （

10、 2010 浙江文）（12）函数的最小正周期是。答案1. （2010 湖南文） 16. （本小题满分 12 分）已知函数（I ）求函数的最小正周期。（II） 求函数的最大值及取最大值时 x 的集合。5. （2010 北京文）（15）（本小题共 13 分）已知函数（I）求的值；（n）求的最大值和最小值解：（I）=（n）因为 , 所以,当时取最大值 2；当时,去最小值 -1。6. （2010 北京理）（15）（本小题共 13分）已知函数。（I）求的值；（n）求的最大值和最小值。解：（ I ）II )因为，所以，当时，取最大值 6；当时，取最小值9. （2010 湖北文） 16. （本小题满分 12

11、 分）已经函数（I）函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出？（n）求函数的最小值，并求使用取得最小值的的集合。10. （ 2010 湖南理） 16（本小题满分 12分）已知函数（I）求函数的最大值；（ II ）求函数的零点的集合。1.（2009 年广东卷文 ） 函数是A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数答案 A解析 因为为奇函数 ,所以选 A.8. （ 2009 安徽卷理）已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是A.B.C.D.答案C解析，由题设的周期为，,由得，故选 C9.（ 2009 安徽卷文）设函数

12、，其中，则导数的取值范围是A.B.C.D.答案D解析，选D10. （ 2009江西卷文）函数的最小正周期为A.B .C .D答案：A解析由可得最小正周期为，故选A.11. （ 2009江西卷理）若函数，则的最大值为A. 1 B . C . D .答案：B解析因为=当是，函数取得最大值为2.故选B24. （ 2009年上海卷理）函数的最小值是 .答案解析，所以最小值为：27. （ 2009上海卷文）函数的最小值是 。答案解析，所以最小值为：30. （ 2009北京文）（本小题共12分）已知函数.（I）求的最小正周期；（n）求在区间上的最大值和最小值解析 本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二

13、倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力.解（I）：,函数的最小正周期为.（n）由，在区间上的最大值为 1,最小值为.33.（2009山东卷理）（本小题满分12分）设函数f（x）=cos（2 x+）+sin x.(1)求函数 f(x) 的最大值和最小正周期 设AB C为ABC勺三个内角，若 cosB=,且C为锐角，求sin A 解: ( 1) f(x)= co s(2x+)+s i nx.=所以函数 f(x) 勺最大值为 , 最小正周期 .(2)=-, 所以， 因为C为锐角， 所以， 又因为在 ABC 中, cosB=, 所以 , 所以34.(2009 山东卷文 )

14、( 本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=2 在处取最小值 .( 1)求 . 勺值 ;(2)在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C.解 : ( 1)因为函数 f(x) 在处取最小值，所以 , 由诱导公式知 ,因为,所以. 所以(2)因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是, 因为, 所以或.当时 ,; 当时,.44. ( 2009重庆卷文)(本小题满分13分，(I)小问7分，()小问6分.) 设函数的最小正周期为(I)求的最小正周期.(H)若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间.解: (I)依题意得，故的最小正周期为(n)依题意得：由解得故的单调增区间为 ：3、( 2008 广东)已知函数，则是()A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数答案：D解析4. （2008海南、宁夏文科卷）函数的最小值和最大值分别为（）A. - 3，1B. 2, 2解析/当时，当时，；故选C;答案：C6. （2007广东）若函数，则是（A最小正周期为的奇函数