2.1空间点,直线,平面之间的位置关系

1、 本章内容本章内容 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 第二章第二章 小结小结 空间点、直线、平面 2.1 之间的位置关系 2.1.1 平面平面 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系 复习与提高复习与提高 2.1.1 平面 返回目录返回目录 1.

2、 空间的点、直线、平面有怎样的位置关系空间的点、直线、平面有怎样的位置关系? 2. 怎样画出空间的点、直线、平面的位置关系怎样画出空间的点、直线、平面的位置关系? 3. 怎样用字母和符号表示空间的点、直线、怎样用字母和符号表示空间的点、直线、 平面的位置关系平面的位置关系? 4. 三个公理的内容是什么三个公理的内容是什么? 各公理有什么作用各公理有什么作用? 问题问题 1. 如图的空间物体如图的空间物体, 你认为是由一些什么你认为是由一些什么 几何元素组成几何元素组成? 它们存在一些什么样的位置关系它们存在一些什么样的位置关系? 点、直点、直 线、平面线、平面 是空间图是空间图 形的基本形的基

3、本 元素元素, 它它 们构成了们构成了 千姿百态千姿百态 的世界的世界. 2.1.1 平面平面 问题问题 2. 你能说明平面是一个什么样的形状吗你能说明平面是一个什么样的形状吗? 你所在的教室中你所在的教室中, 哪些是平面图形哪些是平面图形, 它们的位置关系它们的位置关系 如何如何? 你能在纸上画出这些平面图形吗你能在纸上画出这些平面图形吗? 几何里的几何里的“平面平面”, 是从物体的平面图形中抽象是从物体的平面图形中抽象 出来的出来的, 它象水平面一样给人一种平整的感觉它象水平面一样给人一种平整的感觉, 但可但可 以在空间任意放置以在空间任意放置, 可以向四周无限延展可以向四周无限延展. 如

4、何在纸上画图形表示平面呢如何在纸上画图形表示平面呢? 通常，用平行四边通常，用平行四边 形来表示平面形来表示平面. . 平面也可用其他平平面也可用其他平 面图形面图形, 如用三角形、如用三角形、 梯形等来表示平面梯形等来表示平面. . 平面水平放置时平面水平放置时, 平平 行四边形的锐角常画成行四边形的锐角常画成 45 , 横边画成邻边的横边画成邻边的 2 倍倍. 平面平面a a 平面平面b b b b a a a b c d e f 平面平面ac 平面平面ce 平面平面bcf 为了叙述、学习、研究的方便，各个平面要有为了叙述、学习、研究的方便，各个平面要有 一个名称。一般用希腊字母一个名称。

5、一般用希腊字母 a a、b b、g g 等表示。也可等表示。也可 用表示平面的平面图形的顶点字母表示（如下面的用表示平面的平面图形的顶点字母表示（如下面的 图形）。图形）。 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时当一个平面的一部分被另一个平面遮住时, 应应 把被遮部分的线段画成虚线或不画把被遮部分的线段画成虚线或不画, 这样这样, 看起来看起来 立体感强一些立体感强一些. 画如图的平面与平面相交时画如图的平面与平面相交时, 注意画好交线注意画好交线, 注意画好被遮部分注意画好被遮部分. 两平面相交两平面相交, 用符号用符号 “” 表示表示, 如如: a ab b = = l.a a b b l

6、练习练习: (补充补充) 1. 画一水平放置的平面画一水平放置的平面 a a. 2. 画一竖直放置的平面画一竖直放置的平面 b b. 3. 画一水平放置的平面画一水平放置的平面 a a 与一竖直放置的平面与一竖直放置的平面 b b 相交相交. 4. 画两竖直放置的平面画两竖直放置的平面 d d 和和 g g 相交相交. a a b b a a b b d d g g a a 2. 平面也可以看作是点的集合平面也可以看作是点的集合, 即平面内的每即平面内的每 一个点是平面的元素一个点是平面的元素. 若点若点 a 在平面在平面 a a 内内, 记作记作 aa a . 点点 b 在平面在平面 a a

7、 外外 , 记作记作 b a a. . 【点与直线点与直线, 点与平面点与平面】 a b 1. 直线可以看作是点的集合直线可以看作是点的集合, 即直线上的每一个即直线上的每一个 点是直线的元素点是直线的元素. 若点若点 a 在直线在直线 l 上上, 记作记作 al . 点点 b 在直线在直线 l 外外, 记作记作 b l . . a b l 可叙述为可叙述为: 直线直线 l 经过点经过点 a. a a 直线直线 l 在平面在平面 a a 内内, 记作记作 l a a. 直线直线 l 与平面与平面 a a 相交于点相交于点 p, l a a = = p. 直线直线 l 与平面与平面 a a 只有

8、一个公共点只有一个公共点, l a a. l l a a a a p l 【直线与平面直线与平面】 直线可以看作是平面的子集直线可以看作是平面的子集, 它们的元素是点它们的元素是点. 记作记作 或无公共点或无公共点, 称为直线称为直线 l 在平面在平面 a a 外外, 也可叙述为也可叙述为: 平面平面 a a 经过直线经过直线 l. 记作记作 例例 1. 如图如图, 用符号表示下列图形中点、直线、用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系平面之间的位置关系. ab a a b b l a l a a a b b b p (1)(2) 解解: 图图 (1) a a, b a, a a a

9、, b b b, 即即 aa a = = a, ab b = = b; a ab b = = l. 图图 (2) a a a, b b b,a ab b = = l, ab = = p, al = = p, bl = = p. 【三个公理三个公理】 问题问题 1. 将一把直尺一边的两端放在一张桌面上将一把直尺一边的两端放在一张桌面上, 直尺的这条边是否都贴在桌面上的直尺的这条边是否都贴在桌面上的? 请你对这一现请你对这一现 象归纳出一个结论象归纳出一个结论. 公理公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内那么这条直线在此平面内. 此公理

10、用来判断直线是否在平面内此公理用来判断直线是否在平面内. a a l a b 如图如图: al ,bl , aa a , ba a , l a a . 问题问题 2. 在不太平整的地面上放一张三条腿的桌在不太平整的地面上放一张三条腿的桌 子和一张四条腿的桌子子和一张四条腿的桌子, 哪一张能安放得较稳当哪一张能安放得较稳当? 你你 能从中归纳出一个结论吗能从中归纳出一个结论吗? 公理公理 2 过不在一条过不在一条 直线上的三点直线上的三点, 有且只有有且只有 一个平面一个平面. a ai a i b i c 如图如图: a、b、c三点不共线三点不共线, 则过点则过点 a、b、c 有且只有有且只有

11、 一个平面一个平面. 在生活中在生活中, 三点确定平面的应用很广三点确定平面的应用很广. 茶几、坐椅茶几、坐椅 问题问题 3. (1) 过一直线和直线外一点过一直线和直线外一点, 是否可以是否可以 确定一个平面确定一个平面? (2) 过两条相交直线是否可以确定一个平面过两条相交直线是否可以确定一个平面? (3) 过两条平行线是否可以确定一个平面过两条平行线是否可以确定一个平面? 问题问题 4. 如图的两个平面有一个公共点如图的两个平面有一个公共点, 那么它那么它 们还有其它公共点吗们还有其它公共点吗? 如果没有如果没有, 为什么为什么? 如果有如果有, 那么这些点在什么地方那么这些点在什么地方

12、? 你能根据你的判断归纳出你能根据你的判断归纳出 一个结论吗一个结论吗? a a b b l p 平面是向四周无限延展的平面是向四周无限延展的, 当平面当平面 a a 延展后延展后, 与平面与平面 b b 就不止一个公共点了就不止一个公共点了. 公理公理 3 如果两个不如果两个不 重合的平面有一个公共点重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过那么它们有且只有一条过 该点的公共直线该点的公共直线. p a ab b a ab b = = l, 且且 p l. 这里这里 “a ab b = = l ”, 表示平面表示平面 a a 与与 b b 相交于直线相交于直线 l. l1 l2 a a

13、 b b l p 问题问题 5. 如图如图, 平面平面 a a 和平面和平面 b b 相交于直线相交于直线 l, 如如 果果 a a 内的直线内的直线 l1 与与 b b 内的直线内的直线 l2 会相交于一点会相交于一点 p, 问问 p 点是否一定在直线点是否一定在直线 l 上？为什么？上？为什么？ l1l2 = = p, pl1, pl2, l1 a a, pa a, l2 b b, pb b, p a ab b, 则点则点 p 应在应在 a a 和和 b b 的交线上的交线上, 点点 p 一定在直线一定在直线 l 上上.(如图如图) 【课时小结课时小结】 1. 点、线、面的关系符号点、线、

14、面的关系符号 点在点在(不在不在)直线上直线上, 点在点在(不在不在)平面内平面内: , 直线在直线在(不在不在)平面内平面内: , 相交符号相交符号: l1l2 = = p, la a = = q, a ab b = = l 两直线相交两直线相交: 直线与平面相交直线与平面相交: 平面与平面相交平面与平面相交: 2. 画图要点画图要点 被遮线条画虚线或不画被遮线条画虚线或不画; 在平面内的直线要画在表示平面的图形内在平面内的直线要画在表示平面的图形内; 两平面相交两平面相交, 先确定交线先确定交线. 【课时小结课时小结】 3. 三个公理三个公理 公理公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内

15、如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内那么这条直线在此平面内. 公理公理 2 过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点, 有且只有一有且只有一 个平面个平面. 公理公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (确定直线上的点在平面内确定直线上的点在平面内) (确定一个平面确定一个平面) 三推论三推论: 两相交直线确定平面两相交直线确定平面; 两平行直两平行直 线确定平面线确定平面; 直线外的点与直线确定平面直线外的点与直线确定平面. (两平面的公共点在交线上两平

16、面的公共点在交线上) 练习练习: (课本课本43页页) 第第 1、2、3、4 题题. 习题习题 2.1 a 组组 第第 1、2 题题. 练习练习: (课本课本43页页) 1. 下列命题正确的是下列命题正确的是 ( ) (a) 经过三点确定一个平面经过三点确定一个平面 (b) 经过一条直线和一个点确定一个平面经过一条直线和一个点确定一个平面 (c) 四边形确定一个平面四边形确定一个平面 (d) 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 分析分析:(a) 三点共线时不成立三点共线时不成立. (b) 点在直线上时不成立点在直线上时不成立. 如图的四边形如图的四边形

17、abcd a b c d (c) 不是平面不是平面. (d) a b c l1 l2 l3 如图如图, 设设 l1l2 确定平面确定平面 a a, 则则 b a a, c a a, l3 a a. d 2. (1) 不共面的四点可以确定几个平面不共面的四点可以确定几个平面? (2) 共点的三条直线可以确定几个平面共点的三条直线可以确定几个平面? c 平面平面abc, 平面平面abd, 平面平面acd, 平面平面bcd. a b d 解解: (1) 四点不共面四点不共面, 则则 无三点共线无三点共线, 如图如图. 经过每三点都能确定一经过每三点都能确定一 个平面个平面,则可确定则可确定 4 个平

18、面个平面. 如图如图: 2. (1) 不共面的四点可以确定几个平面不共面的四点可以确定几个平面? (2) 共点的三条直线可以确定几个平面共点的三条直线可以确定几个平面? 解解: (2) 当三条直线共面时当三条直线共面时, 能确定能确定 1 个平面个平面 (如图如图); 当三条直线不共面时当三条直线不共面时, 如图如图, 每经过两条都能确定一个平面每经过两条都能确定一个平面, 所以能确定所以能确定 3 个平面个平面. 即经过共点的三条直线可以即经过共点的三条直线可以 确定确定 1 个或个或 3 个平面个平面. l1 l2 l3 l3 l2 l1 a a b b g g 3. 判断下列命题是否正确

19、判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划正确的在括号内划 “”, 错误的划错误的划 “”. (1) 平面平面 a a 与平面与平面 b b 相交相交, 它们只有有限个公共它们只有有限个公共 点点. ( ) (2) 经过一条直线和直线外一点经过一条直线和直线外一点, 有且只有一个有且只有一个 平面平面. ( ) (3) 经过两条相交直线有且只有一个平面经过两条相交直线有且只有一个平面. ( ) (4) 如果两个平面有三个不共线的公共点如果两个平面有三个不共线的公共点, 那么那么 这两个平面重合这两个平面重合. ( ) 4. 用符号表示下列语句用符号表示下列语句, 并画出相应的图形并画出相应的图形

20、: (1) 点点 a 在平面在平面 a a 内内, 但点但点 b 在平面在平面 a a 外外; (2) 直线直线 a 经过平面经过平面 a a 外的一点外的一点 m; (3) 直线直线 a 既在平面既在平面 a a 内内, 又在平面又在平面 b b 内内. 解解: (1)a a a, b a a. a a a b (2)a a a, m a, m a a. a a m a 4. 用符号表示下列语句用符号表示下列语句, 并画出相应的图形并画出相应的图形: (1) 点点 a 在平面在平面 a a 内内, 但点但点 b 在平面在平面 a a 外外; (2) 直线直线 a 经过平面经过平面 a a 外

21、的一点外的一点 m; (3) 直线直线 a 既在平面既在平面 a a 内内, 又在平面又在平面 b b 内内. 解解: (3)a a a, a b b. b b a a a 或或 a ab b = = a. 1. 画出满足下列条件的图形画出满足下列条件的图形: a ab b = = l, ab a a, cd b b, ab/l, cd/l. l a a b b a b cd 解解: 画图如下画图如下: 习题习题 2.1a 组组 2. 如图如图, 试根据下列要求试根据下列要求, 把被遮挡的部分改为虚线把被遮挡的部分改为虚线: (1) ab 没有被平面没有被平面 a a 遮挡遮挡; (2) ab

22、 被平面被平面 a a 直挡直挡. a ba a 解解: 如图如图: (1) a ba a (2) a ba a a a 2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系 返回目录返回目录 1. 空间中的两条直线有几种位置关系空间中的两条直线有几种位置关系? 2. 什么叫两直线共面什么叫两直线共面? 什么叫两直线异面什么叫两直线异面? 3. 公理公理 4 的内容是什么的内容是什么? 其作用是什么其作用是什么? 4. 什么叫两异面直线所成的角什么叫两异面直线所成的角? 范围有多大范围有多大? 5. 空间两直线垂直是怎样规定的空间两直线垂直是怎样规定的? 一定有垂一定有垂 足吗足吗? 问题问题 1.

23、在如图的长方体中在如图的长方体中, ab 和和 a b 所在的所在的 直线在一个平面内吗直线在一个平面内吗? 它们会相交吗它们会相交吗? ab 和和 b c 在一个平面内吗在一个平面内吗? 它们会相交吗它们会相交吗? ab 和和 bc 呢呢? a b c d a b c d ab 与与 a b 在平面在平面 ab 内内, 且互相平行且互相平行; ab 与与 b c 不在任何一个不在任何一个 平面内平面内, 它们既不平行它们既不平行, 也不也不 相交相交, 我们把这样的直线叫做我们把这样的直线叫做 ab 与与 bc 在平面在平面 ac 内内, 它们是相交直线它们是相交直线. 异面直线异面直线;

24、空间两条直线的位置关系有且只有三种空间两条直线的位置关系有且只有三种: (1) 相交直线相交直线 有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点; (2) 平行直线平行直线 在同一个平面内在同一个平面内, 没有公共点没有公共点; (3) 异面直线异面直线 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内, 没有公共点没有公共点. 平行直线、相交直线属平行直线、相交直线属共面直线共面直线. 共面共面 问题问题 2. 如图的两条直线是什么位置关系如图的两条直线是什么位置关系? 怎样怎样 画才能使我们看出它们是异面直线画才能使我们看出它们是异面直线? b可能是相交的可能是相交的, 也可能是异面的也可能是异面的. a

25、a a 为了表示直线为了表示直线 a、b 不共面不共面 的特点的特点, 作图时作图时, 通常用一个通常用一个 或两个平面衬托或两个平面衬托. a a a b a b a a b b 问题问题 3. 如图是一个正方体表面的展开图如图是一个正方体表面的展开图, 如果如果 将它还原为正方体将它还原为正方体, 那么那么 ab, cd, ef, gh 这四这四 条直线相互是什么位置关系条直线相互是什么位置关系?a b c d e f g h a b c d e f g h a b c d e f g h 底底底底 ab与与cd异面异面, ab与与ef相交相交, ab与与gh异面异面, cd与与ef平行平

26、行, cd与与gh相交相交, ef与与gh异面异面. a b c d a b c d 问题问题 4. 在如图的长方体中在如图的长方体中, 在平面在平面 ad 内内, a d /ad, 在平面在平面 a c 内内, a d /b c , 问问 ad 与与 b c 是否平行是否平行? 公理公理 4 平行于同一条平行于同一条 直线的两条直线互相平行直线的两条直线互相平行. ad/ a d , b c /a d , ad/b c . 此公理表明此公理表明: 空间同平行于一已知直线的所有空间同平行于一已知直线的所有 直线都互相平行直线都互相平行. 问题问题 5. 已知平面已知平面 a ab b = =

27、l, 分别在分别在 a a、b b 内画直内画直 线线 a、b, 请问怎样画才能使请问怎样画才能使 ab. b b a a l b a 在平面在平面 a a 内画直线内画直线 a/l, 在平面在平面 b b 内画直线内画直线 b/l, 根据公理根据公理 4 即得即得 a/b. 例例 2. 如图如图, 空间四边形空间四边形 abcd 中中, e、f、 g、h 分别是分别是 ab、bc、cd、da 的中点的中点, 求证求证: 四边形四边形 efgh 是平行四边形是平行四边形. d a b c e f g h 证明证明: 连结对角线连结对角线 bd, e、f、g、h 分别是分别是 ab、bc、cd、

28、da 的中点的中点, 在在abd和和cbd中中, eh/bd, 2 1 bdeh = =且且 fg/bd, 2 1 bdfg= =且且 四边形四边形 efgh 是平行四边形是平行四边形. eh fg, 例例 2. 如图如图, 空间四边形空间四边形 abcd 中中, e、f、 g、h 分别是分别是 ab、bc、cd、da 的中点的中点, 求证求证: 四边形四边形 efgh 是平行四边形是平行四边形. d a b c e f g h 问题问题: 如果在条件中加上如果在条件中加上, ac = = bd, 四边形四边形 efgh 是是 四边形四边形 efgh 是菱形是菱形. 已证得已证得 efgh 是

29、平行四边形是平行四边形. 什么图形什么图形? 由由 ac= =bd 可证得可证得 eh= =ef, (请同学们写出证明过程请同学们写出证明过程). 练习练习: (补充补充) 1. 选择题选择题: (1) 如果直线如果直线 a 与与 b 没有公共点没有公共点, 那么那么 a 与与 b ( ) (a)异面异面. (b) 平行平行. (c)共面共面. (d) 平行或异面平行或异面. (2) 设直线设直线 a、b 分别是长方体的相邻两个面的分别是长方体的相邻两个面的 对角线所在的直线对角线所在的直线, 则则 a 与与 b ( ) (a) 平行平行. (b) 相交相交. (c) 异面异面. (d) 相交

30、或异面相交或异面. d a b c d a1 b1 c1 d1 a b d 【异面直线所成的角异面直线所成的角】 问题问题 6. 在如图的三棱柱中在如图的三棱柱中, d、d 分别是分别是 bc、 b c 的中点的中点, 请问请问adb与与a d b 的两边分别平行的两边分别平行 吗吗? 这两个角有什么关系这两个角有什么关系? adb 与与a d c 呢呢? 由此你能类似地找出其它角的这种关系吗由此你能类似地找出其它角的这种关系吗? a b c d a b c d ad/a d , db/d b , adb= =a d b . ad/a d , db/d c , adb+ +a d c = =1

31、80 . 定理定理 空间中如果两个角的空间中如果两个角的 两边分别对应平行两边分别对应平行, 那么这两个那么这两个 角相等或互补角相等或互补. a a 问题问题 7. 两直线异面时两直线异面时, 它们构成有角吗它们构成有角吗? 我们我们 用什么来刻划两异面直线交叉的程度用什么来刻划两异面直线交叉的程度? 规定规定: 已知两异面直线已知两异面直线 a, b. 经过空间任一点经过空间任一点 o 作直线作直线 a /a, b /b, 我们把我们把 a 与与 b 所成的锐角所成的锐角 (或直角或直角) 叫做叫做异面直线异面直线 a 与与 b 所成的角所成的角 (或或夹角夹角). o a b a b (

32、1) 点点o常取在两异面直线中常取在两异面直线中 的一条上较为简便的一条上较为简便. b o o (2) 常找图形中已存在的平常找图形中已存在的平 行线行线. a b cd a b c d 如图中如图中, ab 与与b c 所成的角为所成的角为 a b c . a 问题问题 8. 在如图的三棱柱中在如图的三棱柱中, 底面是等边三角形底面是等边三角形, 侧面都是正方形侧面都是正方形. (1) 异面直线异面直线ab与与b c 的夹角是多少的夹角是多少? (2) 异面直线异面直线aa 与与cb 所成的角是多少所成的角是多少? (3) 异面直线异面直线a c 与与bb 所成的角是多少所成的角是多少?

33、a b c a b c (1) a b /ab, a b c 就是就是ab与与b c 的夹角的夹角, a b c = =60 , 即即 ab与与b c 的夹角是的夹角是60 . (2) bb /aa , bb c就是就是aa 与与cb 的夹角的夹角, bb c= =45 , 即即 aa 与与cb 的夹角是的夹角是45 . 问题问题 8. 在如图的三棱柱中在如图的三棱柱中, 底面是等边三角形底面是等边三角形, 侧面都是正方形侧面都是正方形. (1) 异面直线异面直线ab与与b c 的夹角是多少的夹角是多少? (2) 异面直线异面直线aa 与与cb 所成的角是多少所成的角是多少? (3) 异面直线

34、异面直线a c 与与bb 所成的角是多少所成的角是多少? a b c a b c (3) aa /bb , aa c 就是就是a c 与与bb 的夹角的夹角, bb c= =90 , 即即 a c 与与bb 的夹角是的夹角是90 . 如果两条异面直线所成的如果两条异面直线所成的 角是直角角是直角, 就说这就说这两条直线互两条直线互 相垂直相垂直, 用符号用符号 “” 表示表示. 问题问题 8. 在如图的三棱柱中在如图的三棱柱中, 底面是等边三角形底面是等边三角形, 侧面都是正方形侧面都是正方形. (1) 异面直线异面直线ab与与b c 的夹角是多少的夹角是多少? (2) 异面直线异面直线aa

35、与与cb 所成的角是多少所成的角是多少? (3) 异面直线异面直线a c 与与bb 所成的角是多少所成的角是多少? a b c a b c 例例 3. 如图如图, 已知正方体已知正方体abcd-a b c d . (1) 哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线ba 是异面直线是异面直线? (2) 直线直线ba 和和cc 的夹角是多少的夹角是多少? (3) 哪些棱所在的直线与直线哪些棱所在的直线与直线aa 垂直垂直? a b c d a b c d 解解: (1) 与直线与直线ba 异面的直线有异面的直线有 dd , cc ,d c ,dc.b c ,ad, (2) bb /cc , b ba

36、 为为ba 与与cc 的夹角的夹角, 而而b ba = =45 , 直线直线ba 和和cc 的夹角是的夹角是45 . (3) 与直线与直线aa 垂直的直线有垂直的直线有 a b , b c , c d , d a , ab,bc, cd, da. 练习练习: (课本课本48页页) 第第 1、2 题题. b b a a 练习练习: (课本课本48页页) 1. 填空题填空题. (1) 如图如图, aa 是长方体的一条是长方体的一条 棱棱, 长方体中与长方体中与aa 平行的平行的 棱共有棱共有 条条. (2) 如果如果 oa/o a , ob/o b , 那么那么aob 和和 a o b . a a

37、 d c d c b b 3 o a b o a b a 相等或互补相等或互补 2. 如图如图, 已知长方体已知长方体 abcd-a b c d 中中, ab = = ad = = aa = =2. (1) bc和和a c 所成的角是多少度所成的角是多少度? (2) aa 和和bc 所成的角是多少度所成的角是多少度? , 32, 32 a a d c d c b b 解解: (1) b c /bc, 则则a c b 就是就是bc和和a c 所成的角所成的角, 在在rta b c 中中, a b = =ab= = b c = =ad= =, 32, 32 a c b = =45 . 答答: bc

38、和和a c 所成的角是所成的角是45度度. 2. 如图如图, 已知长方体已知长方体 abcd-a b c d 中中, ab = = ad = = aa = =2. (1) bc和和a c 所成的角是多少度所成的角是多少度? (2) aa 和和bc 所成的角是多少度所成的角是多少度? , 32, 32 a a d c d c b b 解解: (2) bb /aa , 则则b bc 就是就是aa 和和bc 所成的角所成的角, 2 32 在在rtb bc 中中, bb = =aa = =2, b c = =ad= =, 32 则则 tanb bc = = 答答: aa 和和bc 所成的角是所成的角是

39、60度度. , 3= = 得得 b bc = = 60 , 【课时小结课时小结】 1. 空间两条直线的三种位置关系空间两条直线的三种位置关系 相交相交 有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点; 平行平行 在同一个平面内在同一个平面内, 没有公共点没有公共点; 异面异面 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内, 没有公共点没有公共点. 共面共面 平行于同一条直线的两直线互相平行平行于同一条直线的两直线互相平行. 2. 公理公理 4 (判断空间的两直线平行判断空间的两直线平行) 【课时小结课时小结】 4. 两异面直线所成的角两异面直线所成的角 3. 等角定理等角定理 定理定理 空间中如果两个角的两

40、边分别对应平行空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补. (定义异面直线所成角的基础定义异面直线所成角的基础) 角的范围角的范围 (0 , 90 . 由定义找角由定义找角: 垂直垂直 相交非钝角相交非钝角, 且两边分别平行两异面直线且两边分别平行两异面直线. 异面垂直异面垂直, 无垂足无垂足. 习题习题 2.1 b 组组 第第 1 题题. a 组组 第第 3、5、6 题题. 3. 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确, 正确的在括号内划正确的在括号内划 “”, 错误的划错误的划 “”. (1) 梯形可以确定一个平面梯形可以确定一个平面. ( ) (

41、2) 圆心和圆上两点可以确定一个平面圆心和圆上两点可以确定一个平面. ( ) (3) 已知已知 a, b, c, d 是四条直线是四条直线, 若若 a/b, b/c, c/d, 则则 a/d. ( ) (4) 两条直线两条直线 a, b 没有公共点没有公共点, 那么那么 a 与与 b 是异是异 面直线面直线. ( ) (5) 若若 a, b 是两条直线是两条直线, a a, b b 是两个平面是两个平面, 且且 a a a, b b b, 则则 a, b 是异面直线是异面直线. ( ) 两点在直径两端时不成立两点在直径两端时不成立 b b a a b a 习题习题 2.1a 组组 5. 如果一

42、条直线与两条平行直线都相交如果一条直线与两条平行直线都相交, 那么那么 这三条直线是否共面这三条直线是否共面? 答答: 这三条直线是共面直线这三条直线是共面直线 (如图如图). l1 l2 l a b l1/l2, a a 确定平面确定平面 a a, ll1= =a, ll2= =b, 则则 a a a, b a a, 则直线则直线 l a a, 三条直线共面于三条直线共面于 a a. 6. 如图如图, 已知已知 aa , bb , cc 不共面不共面, 且且 aa /bb , aa = =bb , bb /cc , bb = =cc , 求证求证 abc a b c . a b c a b

43、c 证明证明: aa /bb , aa = =bb , abb a 是是,ab = = a b ; 同理得同理得 bc = = b c ; 又又 aa /bb , aa = =bb , bb /cc , bb = =cc , aa cc , 即即 acc a 是是, ac = = a c . 由得由得abc a b c . b 组组 1. 选择题选择题. (1) 如图是正方体的平面展开图如图是正方体的平面展开图, 则这个正方体中则这个正方体中: bm与与ed平行平行. cn与与be是异面直线是异面直线. cn与与bm成成60 角角. dm与与bn垂直垂直. 以上四个命题中以上四个命题中, 正确

44、命题的序号是正确命题的序号是 ( ) (a) 、 、 (b) 、 (c) 、 (d) 、 ab cd e f m n a b c d e f mn 异面异面. 平行平行. 错错, 排除排除 (a) (b) (d). c (2) 如图如图, 正方体正方体abcd-a b c d 中中, ab的中点的中点 为为m, dd 的中点为的中点为n, 则异面直线则异面直线b m与与cn所成的所成的 角是角是 ( ) (a) 0 (b) 45 (c) 60 (d) 90 a b c d a b c d n m n 取取aa 的中点的中点n , 则则 bn /cn, 而而 bm bn , 应选应选d. d (

45、3) 给出三个命题给出三个命题 若两条直线和第三条直线所成的角相等若两条直线和第三条直线所成的角相等, 则这则这 两条直线互相平行两条直线互相平行. 若两条直线都与第三条直线垂直若两条直线都与第三条直线垂直, 则这两条直则这两条直 线互相平行线互相平行. 若两条直线都与第三条直线平行若两条直线都与第三条直线平行, 则这两条直则这两条直 线互相平行线互相平行. 其中不正确的个数是其中不正确的个数是 ( ) (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 a b cd a b c d abaa , adaa , 而而ab / ad. 与同与同. 满足公理满足公理4. c 如图如图: 之间的位置关系

46、 空间中直线与平面 平面与平面 2.1.32.1.4 返回目录返回目录 1. 直线与平面有哪些位置关系直线与平面有哪些位置关系? 这些位这些位 置关系各有什么特点置关系各有什么特点? 2. 平面与平面有哪些位置关系平面与平面有哪些位置关系? 这些位这些位 置关系各有什么特点置关系各有什么特点? a a 问题问题 1. 在空间在空间, 你认为直线和平面有哪几种位你认为直线和平面有哪几种位 置关系置关系? 各种关系的特点是什么各种关系的特点是什么? (1) 直线在平面内直线在平面内 有无数个公共点有无数个公共点; (2) 直线和平面相交直线和平面相交 有且只有一个公共点有且只有一个公共点; (3)

47、 直线和平面平行直线和平面平行 没有公共点没有公共点. 我们把直线和平面相交或我们把直线和平面相交或 平行统称为直线在平行统称为直线在平面外平面外. p l1 l2 l3 在空间在空间, 直线和平面有且只有三种位置关系直线和平面有且只有三种位置关系: 直线直线 l 与平面与平面 a a 平行时平行时, 记作记作 l /a a. 2.13 空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系 例例4. 下列命题中正确的个数是下列命题中正确的个数是 ( ) 若直线若直线 l 上有无数个点不在平面上有无数个点不在平面 a a 内内, 则则 l /a a. 若直线若直线 l 与平面与平面 a

48、a 平行平行, 则则 l 与平面与平面 a a 内的任意一内的任意一 条直线都平行条直线都平行. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行如果两条平行直线中的一条与一个平面平行, 那么那么 另一条也与这个平面平行另一条也与这个平面平行. 若直线若直线 l 与平面与平面 a a 平行平行, 则则 l 与平面与平面 a a 内的任意一内的任意一 条直线都没有公共点条直线都没有公共点. (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 分析分析: 长方体就是一个空间模型长方体就是一个空间模型, 借助长方体即可观察和分析借助长方体即可观察和分析. a a d c d c b b l a a 如图的反例如图

49、的反例, l /a a, ab/a b , ab/a a, b 则错则错. 错错.而而 l /a d , 但但a b /a a, 错错. 练习练习: (课本课本49页页) 若直线若直线 a 不平行于平面不平行于平面 a a, 且且 a a a, 则下列结论则下列结论 成立的是成立的是 ( ) (a) a a 内所有直线与内所有直线与 a 异面异面 (b) a a 内不存在与内不存在与 a 平行的直线平行的直线 (c) a a 内存在唯一的直线与内存在唯一的直线与 a 平行平行 (d) a a 内的直线与内的直线与 a 都相交都相交 分析分析: 直线直线 a 既不平行平面既不平行平面 a a,

50、也不在也不在 a a 内内, 则则 一定与一定与 a a 相交相交. a ap a l l与与 a 不异面不异面, (a)错错. l l 与与 a 不相交不相交, (d)错错. a a 内找不到与内找不到与 a 平行的直线平行的直线, 选选b. b 如图如图, (a)的反例的反例, 又如图又如图, 2.1.4 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系 问题问题 1. 观察教室内的物体观察教室内的物体, 你认为空间中两个你认为空间中两个 平面有怎样的一些位置关系平面有怎样的一些位置关系? 空间中空间中, 两个平面间的位置关系有且只有两种两个平面间的位置关系有且只有两种: (1) 两个平面

51、平行两个平面平行 没有公共点没有公共点; (2) 两个平面相交两个平面相交 有一条公共直线有一条公共直线. a a b b a a b b a 画两平面平行时画两平面平行时, 将表示平面的将表示平面的对应边画平行对应边画平行. 平面平面 a a 与平面与平面 b b 平行平行, 记作记作 a a/b b. 问题问题 2. 已知平面已知平面 a a、b b, 直线直线 a、b, 且且 a a /b b, a a a, b b b, 则直线则直线 a 与直线与直线 b 具有什么样的位置具有什么样的位置 关系关系? a b c d a b c d 借助正方体模型借助正方体模型, a a b b a

52、b 平面平面a c 为为 a a, 平面平面ac为为 b b, 当当 a b = =a, ab= =b 时时, a/b; 当当 a b = =a, bc= =b 时时, a 与与 b 异面异面. a 与与 b 一定不会相交一定不会相交. 练习练习: (课本课本50页页) 如果三个平面两两相交如果三个平面两两相交, 那么它们的交线有多那么它们的交线有多 少条少条? 画出图形表示你的结论画出图形表示你的结论. 练习练习: (课本课本50页页) a a b b g g a c b a a b b g g 答答: 有一条或三条有一条或三条, 如图如图. 【课时小结课时小结】 1. 空间中直线与平面的位

53、置关系空间中直线与平面的位置关系 直线在平面内直线在平面内 有无数个公共点有无数个公共点; 直线和平面相交直线和平面相交 有且只有一个公共点有且只有一个公共点; 直线和平面平行直线和平面平行 没有公共点没有公共点. 直线直线 在平在平 面外面外 2. 平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 两个平面平行两个平面平行 没有公共点没有公共点; 两个平面相交两个平面相交 有一条公共直线有一条公共直线. 习题习题 2.1 a 组组 第第 4、 7、8 题题. b 组组 第第 2、3 题题. 习题习题 2.1 a 组组 4. 填空题填空题. (1) 已知已知 a, b, c 是三条直线是三条直线, 且

54、且 a/b, a 与与 c 的的 夹角为夹角为 q q, 那么那么 b 与与 c 的夹角为的夹角为 ; (2) aa 是长方体的一条棱是长方体的一条棱, 这个长方体中与这个长方体中与 aa 垂直的棱共垂直的棱共 条条; (3) 如果如果 a, b 是异面直线是异面直线, 直线直线 c 与与 a, b 都相交都相交, 那么这三条直线中的两条所确定的平面共有那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个个; (4) 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平若一条直线与两个平行平面中的一个平面平 行行, 则这条直线与另一个平面的位置关系是则这条直线与另一个平面的位置关系是 ; (5) 已知两条相交直线已知

55、两条相交直线 a, b, a /平面平面 a a, 则则 b 与与 a a 的位置关系是的位置关系是 ; (6) 设直线设直线 a, b 分别是长方体相邻两个面的对角分别是长方体相邻两个面的对角 线所在的直线线所在的直线, 则则 a 与与 b 的位置关系是的位置关系是 . 习题习题 2.1 a 组组 4. 填空题填空题. (1) 已知已知 a, b, c 是三条直线是三条直线, 且且 a/b, a 与与 c 的的 夹角为夹角为 q q, 那么那么 b 与与 c 的夹角为的夹角为 ; 解解: a/b, b 与与 c 的夹角就是的夹角就是 a 与与 c 的夹角的夹角. q q 习题习题 2.1 a

56、 组组 4. 填空题填空题. (2) aa 是长方体的一条棱是长方体的一条棱, 这个长方体中与这个长方体中与 aa 垂直的棱共垂直的棱共 条条; a a d c d c b b 解解: 由两直线的夹角知由两直线的夹角知 上底面上底面4条棱和下底面条棱和下底面4条棱条棱 都与都与aa 垂直垂直. 8 习题习题 2.1 a 组组 4. 填空题填空题. a a d c d c b b 解解: (3) 如果如果 a, b 是异面直线是异面直线, 直线直线 c 与与 a, b 都相交都相交, 那么这三条直线中的两条所确定的平面共有那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个个; 如图如图, 在长方体模型中

57、在长方体模型中, ab = = a, a d = = b, aa = = c, a b c 其中只有两相交的直线能确其中只有两相交的直线能确 定平面定平面. 即即 a, c 确定一个平面确定一个平面, b, c 确定一个平面确定一个平面. 2 习题习题 2.1 a 组组 4. 填空题填空题. a a d c d c b b 解解:上底面上底面a c /下底面下底面ac. 直线直线a b /平面平面ac, 直线直线a b平面平面a c . (4) 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平若一条直线与两个平行平面中的一个平面平 行行, 则这条直线与另一个平面的位置关系是则这条直线与另一个平面的位置关

58、系是 ; e 又分别取又分别取aa , bb 的的 直线直线ef/平面平面ac, 直线直线ef/平面平面a c . 或平行或平行 在这个平面内在这个平面内 b f 中点中点e, f, 习题习题 2.1 a 组组 4. 填空题填空题. 解解: 只有如图的两种情况只有如图的两种情况. (5) 已知两条相交直线已知两条相交直线 a, b, a /平面平面 a a, 则则 b 与与 a a 的位置关系是的位置关系是 ; a a b b a b b/a a. a a a b p ba a = = p. 平行或相交平行或相交. 习题习题 2.1 a 组组 4. 填空题填空题. 解解: (6) 设直线设直线

59、 a, b 分别是长方体相邻两个面的对角分别是长方体相邻两个面的对角 线所在的直线线所在的直线, 则则 a 与与 b 的位置关系是的位置关系是 . a b c d a1 b1 c1 d1 a b 如图如图, 相交或异面相交或异面 7. 如图如图, 三条直线两两平行且不共面三条直线两两平行且不共面, 每两条每两条 确定一个平面确定一个平面, 一共可以确定几个平面一共可以确定几个平面? 如果三条如果三条 直线相交于一点直线相交于一点, 它们最多可以确定几个平面它们最多可以确定几个平面? a a b b g g a a b b g g 答答: 第一个问能第一个问能 确定三个平面确定三个平面, 如图如

60、图; 第二个问也能确定三第二个问也能确定三 个平面个平面, 如图如图. 8. 正方体各面所在平面将空间分成几部分正方体各面所在平面将空间分成几部分? a b cd a b c d 如图如图:分析分析: 3 3=9 (个个) 3 3=9 (个个) 3 3=9 (个个) 3 9=27 (个个) 把空间分成了把空间分成了27个部分个部分. 现在分成了现在分成了 部分部分. 9 现在分成了现在分成了 部分部分. 18 现在分成了现在分成了 部分部分. 27 b 组组 2. 如图如图, abc 在平面在平面 a a 外外, aba a = = p, bca a = = q, aca a = = r, 求