PI控制器要点

1、pi控制原理1.1 比例(p)控制比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。 在信号变换过程中，p控制器值改变信号的增益而不影响其相位。在串联校正中，加大了 控制器增益k,可以提高系统的开环增益，减小的系统稳态误差，从而提高系统的控制精 度。控制器结构如图1:rem-k -c(s)图11.2 比例-微分控制具有比例-微分控制规律的控制器称pi控制器，其输出信号m(t)同时成比例的反应出 输入信号e(t)及其积分，即：k tmt)=kecdt(1)ti式(1)中，k为可调比例系数；ti为可调积分时间常数。pi控制器如图2所示。r(s)e(s)mq*什用kc(s)图

2、2在串联校正时，pi控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增 加了一个位于s左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减 小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度， 缓和pi控制器极点对系统稳定性及动态性能产生的不利影响。只要积分时间常数t足够大，pi控制器对系统稳定性的不利影响可大为减弱，在控制工程中，pi控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。2 p和pi控制参数设计2.1 初始条件:反馈系统方框图如图3所示。d1(s)=k (比例p控制律)，d2(s)=k+9 (比 s(s 1)(s 2)y图3例积分pi控制律),

3、g1(s)=s(sg2=(3)22.2 p控制器设计2.2.1 比例系数k的设定由题目给出的初始条件知，当 g(s尸gi(s),未加入d(s)校正环节时，系统开环传递函数为:cs 1(2)g(s)h(s) (s-1)(s 6)s3 5s2 - 6s又系统结构图可知系统为单位负反馈系统所以闭环传递函数为:s 1wks(s-1)(s 6)s(s- 1)(s 6)s 1s3 5s2 - 5s 1一32则系统的闭环特征方程为：d(s)= s+5s -5s+1=0.按劳斯判据可列出劳斯表如表1:245-5由于劳斯表第一列符号不相同，所以系统不稳定，需要校正。由任务要求得，当d（s尸d1（s）,g（s尸g

4、 1（s）时，即加入p控制器后，系统开环传递函数为:g（s）h（s）(4)其闭环传递函数为:.ks k(s)二-2 s 5s (k - 6) s k(5)32则系统的闭环特征方程为：d（s尸s +5s+*一6）s + k=按劳斯判据可列出劳斯表如表2:4k -305要使系统稳定则必须满足劳斯表第一列全为正，即:k-61 4k-30 0k 0所以系统稳定的条件为k7.5.当单位阶跃信号输入时，系统稳态误差系数:(6)4kp =lim g(s)h (s)(10)6由式(4)得系统为1型系统，所以kp= 所以稳态误差:ess(二)=r1 kp(8)2.2.2 加入p控制器后系统动态性能指标计算1)k

5、取不同值时的特征根由式(5)得系统稳定的条件为k7.5。下面对k分别取7.5、15、30来讨论分析系统 的动态性能指标。当k=7.5时系统的闭环特征方程为：3_ 2d(s) = s + 5s +1.5s + 7.5 = 0(9)通过matlabt得系统特征根，其程序如下：den=1,5,1.5,7.5roots(den)%求系统特征根其运行结果如下：ans =-5.0000-0.0000 + 1.2247i-0.0000 - 1.2247i即求得其特征根分别为：s1=-5, s2=j1.2247 , s31=-j1.2247,。其中有两个极点在虚轴上, 系统临界稳定。同理通过调用matlab的

6、roots函数即可分别求得k=15, k=20时的特征根。k=15时，特征根为：s1 =-3.6608 , s2=-0.6696+j1.9103 , s31=-0.6696-j1.9103 。k=30时，特征根为：s1=-1.6194 , s2=-1.6903 -j 3.9583, s31 =-1.6903 -j 3.9583。2 ) k取不同值时的单位阶跃响应由式(7)得当k=7.5时其闭环传递函数为：.,、7.5s 7.5i(s)二2s3 5s2 1.5s 7.5当k=15时闭环传递函数为:当k=30时闭环传递函数为:2（s）15s 1532s 5s 9s 15(11)3(s)30s 30

7、32. 一一s 5s 24s 30(12)14用matla球系统的单位阶跃响应，绘制出不同k值时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：num1=7.5,7.5;den1=1,5,1.5,7.5;t1=0:0.1:15;y1=step(num1,den1,t1);num2=15,15;den2=1,5,9,15;y2=step(num2,den2,t1);num3=30,30;den3=1,5,24,30;y3=step(num3,den3,t1);plot(t1,y1,r.,t1,y2,-g,t1,y3,b),grid程序运行后输出曲线图如图4:3图43 ）分别讨论不同k值时的系统动态性能指标如图

8、2知当k=7.5时系统单位阶跃响应为无阻尼振荡。当k=15时系统传递函数为式（11）,下面借助ltiviewer计算本控制系统单位阶跃响应时 的性能指标。matla程序如下： num=15,15;den=1,5,9,15;step(num,den);sys=tf(num,den);itiview;程序运行后在弹出的ltiviewer框中导入sys函数，然后对绘制的曲线进行相应的设置后可以得到阶跃响应的各项指标点，效果图如图5所示：tr = 0.373stp = 1.24s p；p% =89.7%当光标移到对应点后，在浮出的文本框中可读出数据，列出如下:上升时间：峰值时间：超调量：调节时间：ts

9、 = 6.65s 3 = 0.05)step response21.81.6干system : syspeak am plitude: 1.9overshoot (%): 89.7at tim e (sec): 1.241.41.2systemsystsm : settlingfaam vaeueec): 6.65system : sysrise tim- e (sec): 0.373123678945tim e (sec)当k=30时系统传递函数为式（12）,同理，通过matla绘出单位阶跃响应曲线图如图所示。上升时间： tr=0.24s峰值时间： tp=0.72s超调量： 二 p%=68.

10、2%调节时间： ts=269s 1 = 0.05）1.8d up m astep response1.61.41.2:sys10.80.60.40.20.51.52.53.5system: sys peak amplitude: 1.68 overshoot (%): 68.2 at time (sec): 0.72system: syssettling time (sec): 2.69time (sec)systemrise图62.2.3加入p控制器后系统动态性能分析：由式（2）得系统为含一个积分环节的三阶系统，在未加入 p控制器之前通过劳斯判据 得系统处于不稳定状态。当加入适当的 p控制器

11、即比例环节后即可改善系统的稳定性。同 时根据图4以及不同k值时的暂态系能指标可知通过增大控制器的开环增益可提高系统对 阶跃信号的响应速度，降低系统的超调量，缩短系统的调节时间。从而提高了系统的跟踪 性能和稳定性。2.3 pi控制器设计2.3.1 原系统性能分析当未加入pi控制器时系统为二阶系统，具开环传递函数为:g(s)h(s)1(s 1)(s 2)(13)系统闭环传递函数为:1s2 3s 3(14)借助matlabt绘制出系统单位阶跃响应曲线，具体程序如下:num=1;den=1,3,3;step(num,den);sys=tf(num,den);itiview;程序运行后可得如下响应曲线图

12、6:0.35ep m astep response0.30.250.20.150.10.050.51.52.533.54图n6 (sec)system: sys rise time kec)： 1.58fsystem: syssettling time (sec): 2.51由图6可看出该二阶系统处于过阻尼状态。其稳态态误差系数:k = lim g(s)h (s)p s 01c llim = 0.5s rs 1)(s - 2)(15)(16)所以其稳态误差为:。/ -、1ess( -)=0.6671 kp(17)2.3.2 加入pi控制器后系统性能指标初始条件条件:d(s尸d2(s) =k 匕

13、=k(1 1-) s (k k1)s(18)由式(18)知系统中用入了 pi控制器，比例系数为k,积分时间常数ti = k/k1当d(s)=d2(s),g(s)=g 2(s)时，系统开环传递函数：k 1g(s)h(s) = (k)一 s (s 1)(s 2), s k1 k=ks(s 1)(s 2)(19)(20)ks k1=32s3 3s2 2s其闭环传递函数为：一、ks k1(s)=2 s3 3s2 (k 2)s k1(21)(22)32则闭环特征方程为：d(s)= s 3s (k 2)s k1=0根据劳斯判据可列出劳斯表如表3:s31k+2s23k1k* 23s0k10劳斯判据中要满足系

14、统稳定则劳斯表第一列必需满足符号相同。即:(23)-k1 +20 k1 0所以系统稳定的条件为：0 ：二k ：二k 2稳定时的允许区域如图7：klims-0s k1ks(s 1)(s 2)二oo当单位阶跃信号输入时，系统稳态误差系数:(24)kp =limg(s)h (s)（25）所以稳态误差:ess(二)=1 kp(26)2.3.3 k和k1取不同值对系统系能的影响卜面在保持系统稳定且保证积分时间常数大于原系统的时间常数的情况即k/k 1的范围内分别取三组参数求取系统的闭环传递函数的特征根。1）当k=6, k1=5时，将参数带入式（22）得系统传递函数为:(27)6s 532s 3s 8s

15、5通过matlabt特征方程，具体程序如下:den=1,3,8,5roots(den) %求系统特征根程序运行后输出结果如下:ans =-1.0992 + 2.2427i-1.0992 - 2.2427i-0.8016所以特征根为：&=-0.8016, s2=-1.0992+j2.2427 , s31 =-1.0992-j2.2427通过调用matlab step函数绘制单位阶跃响应曲线，程序如下：num=6 5;den=1 3 8 5;sys=tf(num,den);t=0:0.1:10;step(sys,t)啕t单位阶跃响应曲线运行后输出响应曲线如图8。1.4p mstep respons

16、e1.20.80.60.40.2peak am plitude: 1.19settling tim e (sec): 3.39overshoot (%): 18 at tim e (sec): 1.4time (sec)system : syssystem : sys如图8所示，通过对绘制的曲线进行相应的设置后可以在figure上得到阶跃响应的各项指标点，当光标移到对应点后，在浮出的文本框中可读出数据，列出如下:上升时间： tr -0.635s峰值时间： tp -1.4sp超调量： 二 p%=18.9%p调节时间： ts = 3.39s（ = 0.05）2）当k=20, ki=5时，将参数带入

17、式（22）得系统传递函数为:/ 、20s 5(28)(s)=2s3 3s2 22s 5运用 matla师可算出特征根为：s1=-0.2342 , s2=-1.3829 + j4.4091, s31 =-1.3829 -j4.4091 。同时可求出系统单位阶跃响应曲线如图9:step response012345678910time (sec)25tr = 0.876stp = 0.7s上升时间：峰值时间:超调量:调节时间:二 0% = 29.3%pts = 4.88s(a0.05)(s)=20s 1032s 3s 22s 10(29)3）当k=20, ki=10时，将参数带入式（22）得系统闭

18、环传递函数为:运用 matla师可算出特征根为：si=-0.4810 , s2=-1.2595 + j4.3820, s31 =-1.2595 - j4.3820 0系统单位阶跃响应曲线如图10:step responsetime (sec)tr = 0.294stp = 0.7s二 p%= 36% pts = 3.15s (a = 0.05)图10上升时间： .峰值时间：超调量：调节时间：将k=20, k1 =10带入式（22）得系统开环传递函数为:g(s)h(s尸20s 10s3 3s2 2s(30)g(s)h(s尸所以系统的开环频率特性为:5(1 s 0.5)s(1 s)(1 s 2)(

19、31)g(j5(1 j 0.5)gj )h(j (d )=/ ,、/.八、s(1j)(1j2)(32)通过matla绘制系统波特图，其程序如下:num=20,10%描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式 den=1,3,2,0bode(num,den)%调用bode图绘制函数grid%添加栅格程序运行后figure上显示bode图如图11.:40lbnredvnaa mo q5 4 6 4 - - -bode diagramo o2 -meacesanp-180-i10system: sysphase:32010delay margin (sec): 0.133at frequency (ra

20、d/sec): 4.21frequency (rad/s(clo)sed loop stable? yes210图11根据bode图可轻易得出系统相位裕度：y =32 2.3.4 加入pi控制器后系统动态性能分析由式（18）知本系统中pi控制器的积分时间常数i =k/k1 ,比例系数由k决定。通过改变 积分时间常数的大小即可调节加入积分器后对系统稳定性及动态过程的影响为便于分析k和k取不同参数时对系统性能的影响，在此借助matla分别求取出在5组不同pi控制器参数下以及未加pi控制器校正时系统的单位阶跃响应曲线并绘制在一张图 上以便于对比分析控制器取不同参数时对系统暂态性能的影响，以及加 pi

21、控制器后对稳 态性能的影响。具体 matlab?序如下：t1=0:0.1:5;num0=4,5;den0=1,3,6,5;y0=step(num0,den0,t1);%k=4,k1=5 时的阶跃响应曲线num1=6,5;den1=1,3,8,5;y1=step(num1,den1,t1);%k=6,k1=5 时的阶跃响应曲线num2=20,5;den2=1,3,22,5;y2=step(num2,den2,t1);%k=20,k1=5 时的阶跃响应曲线num3=20,10;den3=1,3,22,10;y3=step(num3,den3,t1);%k=20,k1=10 时的阶跃响应曲线num4

22、=200,50;den4=1,3,202,50;y4=step(num4,den4,t1);%k=200,k1=50 时的阶跃响应曲线num5=1;den5=1,3,3;y5=step(num5,den5,t1);林加校正时的阶跃响应曲线plot(t1,y0, -+ ,t1,y1, -r ,t1,y2, -g* ,t1,y3, b ,t1,y4, : ,t1,y5, o ),grid响应曲线图如图12:1.8k=200 k1=50k=20 k1 =10k-4 k1-5力l/产4lmi1%.i*-x.一j *l-双1 jjk 4k1 5f七k=6 k1=5-i j士卜金平1- -t- - 1 t

23、 jt 1大工jl1十k=?0 k1=51 1 j七4-y此）oooc3,二行加pi*制器1 -411.61.41.210.80.60.40.20.511.522.533.544.55图12根据图12以及前面计算出的加入不同参数的 pi控制器后的系统暂态性能和稳态性能 指标可知，加入pi控制器后系统的稳态误差为0,从而改善了系统的稳态性能，同时不同 的参数对系统的动态性能影响不同。如图 12所示，当系统比例系数k过大时会使系统超 调量加大，不利于系统的稳定，当积分时间常数 k/k较小会降低系统响应速度，增大积分 时间常数可提高系统的响应速度，增大积分时间常数可提高系统的响应速度，从而改善积 分环节对系统的暂态性能的不利影响。3 p和pi控制器特点比较3.1 比例(p)控制器：在串联校正中，加大比例系数可以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而 提高系统的控制精度，但也会降低系统的相对稳定性。3.2 比例-积分(pi)控制器：在串联校正时，pi控制器相当于在系统中加入了一个位于原点的开环极点，从而提高了系统型别，改善了其稳态性能。同时也增加了一个位于s平面左半平面的开环零点，减小了阻尼程度，缓和了系统极点