圆系方程及其应用

1、圆系方程及其应用一、常见的圆系方程有如下几种：1、以 (a,b) 为圆心的同心圆系方程： (x a)2 (y b)2 2( 0)2 2 2 2与圆x y + Dx + Ey +F = 0同心的圆系方程为： x y + Dx + Ey +=02 2 2 22、 过直线 Ax + By +C = 0与圆x y + Dx + Ey + F = 0交点的圆系方程为：x y + Dx + Ey + F +(Ax + By + C)=0( R)o292923、 过两圆 C1:x y D1x E1y F1=0，C :x y D x E y F =0交点的圆系方程为： x y D1 x E1 y F1 + (

2、 x y + D2x E2y F2) = 0 ( 工-1，此圆系不含 C2: x y + D2x E2 y F2 =0)特别地，当 =1时，上述方程为根轴方程两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程注： 为了 避免 利用 上述圆 系方程 时讨 论圆 C2， 可等 价转化 为过 圆 C1 和两圆公 共弦所 在直 线交 点的圆 系方22程:xyDixEiyFi(DiD2)x(E“E?(F“F?)0二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例1求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+ y2+6 y-28=0 的交点，并且圆心在直线 x-y-4=0上的圆的方程。解一：求出

3、两交点(-1,3 ) (-6,-2 )，再用待定系数法：1 .用一般式；2 .用标准式。(注：标准式中可先求圆心的两个坐标，而圆心正好在两交点的中垂线上。)解二：用两点的中垂线与直线的交点得圆心：1 .两交点的中垂线与直线相交；2. 过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交；3 .两圆心连线与直线相交。解三：利用圆系方程求出圆心坐标，圆心在直线方程上，代入直线方程求解。2 2 2 2例1、求经过两圆 x y + 3 x y 2 =0和3x 3y + 2 x + y + 1 = 0交点和坐标原点的圆的方程.解：方法3 :由题可设所求圆的方程为：2 2 2 2 (xy + 3 x y 2) +( 3x

4、3 y + 2 x + y + 1)=0 (0, 0)在所求的圆上，有一2 + =0. 从而 =22 2 2 2故所求的圆的方程为：(x y 3x y 2) 2(3x 3y 2x y 1) 0即 7x27y2 + 7 x + y = 0。2 2例2 (1):求过两圆x2y22、利用圆系方程求最小面积的圆的方程:5和(x 1)2 (y 1)216的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两 圆公共弦及圆交点且面积最

5、小的圆的问题。2 2 2 2解：圆x y 5和(x 1) (y 1)16的公共弦方程为2x 2y 110过直线2x 2y 11 0与圆x2 y2 5的交点的圆系方程为x2 y2 25(2x 2y 11) 0,即 x2 y2 2 x 2 y (1125) 0依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心()必在公共弦所在直线 2x 2y 110上。即 22110，则114代回圆系方程得所求圆方程(x 严)2 (y ”)2447982 例2( 2 );求经过直线I : 2 x + y + 4 = 0与圆C: x2y + 2 x 4 y + 1 = 0的交点且面积最

6、小的圆的方程.2 2解：设圆的方程为：x y + 2 x 4 y + 1 +(2 x + y + 4) =0即 x2 y2 + 2(1)x (4) y +( 1 + 4)=0 则 r21-4(14)2(4)24(14 )1(8 2当 =-时，r2最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：55x225y + 26 x 12 y + 37 =0练习:1 .求经过圆x2+ y2+8 x-6y+2仁0与直线x_y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。(常数项为零)2 .求经过圆x2+ y2+8 x-6y+2仁0与直线x_y+5=0的两个交点且圆心在 x轴上的圆的方程。(圆心的纵坐标为零)3 .求经过圆

7、x2+ y2+8 x-6 y+2仁0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。(半径最小或圆心在直线上)4 .求经过圆x2+ y2+8 x-6 y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。(圆心到x轴的距离等于半径)3、利用圆系方程求参数的值：2 2例3:已知圆x y x 6y m 0与直线x 2y 30相交于P, Q两点，O为坐标原点，若 OP OQ，求实数m的值。分析：此题最易想到设出 P(xi, yJ,Q(X2,y2)，由OP OQ得到XM yy 0，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于 m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本

8、题的几何关系OP OQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而 P, Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线x2y 30与圆x2y2x6y m0的交点的圆系方程为：2 2x yx 6ym(x2y3)0，即卩2 2x2 y2 (1 )x 2(3)y m 30 1 1依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心(,3)显然在直线x 2y 3 0上，则2(3) 3 0,2 2解之可得1又0(0,0)满足方程，则 m3 0,故m3。4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：2 2例4圆系x y + 2 k x +( 4k + 10 ) y + 10 k + 20 = o( k R, k M- 1 )中，任意两个圆的位置关系如何？22解：圆系方程可化为：x y + 10 y + 20 + k (2 x + 4 y + 10 )=02x4y10 0 x2 y5 0/与k无关 22即 22x2y210y 200 x2( y5)2522易知圆心(0, - 5)到直线x + 2 y + 5 =0的距离恰等于圆 x (y 5) =5的半径.故直线 x + 2 y + 5 =0与圆x2 (y 5)2=5