复数模最值问题的几种解法

1、复数模最值问题的几种解法求复数模的最值问题，是一类较好的综合题，涉及代数、几 何、三角诸方面的知识，且方法灵活多样，现将几种方法归纳介 绍如下：1 利用代数函数求最值设z=x+yi(x、y R)直接代入所要求的式子中去，把所要求的模用 S、 Y 函数表示出来，转化为函数最值问题。例 1 :已知复数 z 满足 |z-(2+i | + | z-2-i |=4。求 d=|z|的最大值和最小值。解：设 z=x+yi(x、y R)v |z -(2+i | + | z-2-i |= 4二x,y满足方程(x- 2)2 + y2/4 =1 (1)v d= |z| + | x+yi | = max d2=x2+

2、y2。由(1)式得y2=41-(x-2)2则 d2= x2+41-(x-2)2=-3(x-8/3)2 +28/3由(1)式知-1Wx-2 0,6要又解必须有(r2+6 ) /4r 1即 r2- 4+6W 0解之得：w r w 3二 |z|max=3;|z|=3 利用 | |z1| -|z2| | w | z1+z2 | w | z1|+| z2| 求最值例 3：已知复数 z 满足 |z|=2, 求| 1+i+z | 的最值。解： t |z|=2, 且 |z| - | 1+i | w | z+(!+i) | w |z| +|(1+i )|二 0 w | z+ (!+i) | w 4二 | !+i

3、 +z |max=4; | !+ i +z |mai=04 共轭复数法见例 3：设 z=2( com6 +isin 6 )；由 |z|2=z*z , 得|1+i+z |2= (1+i+z )(1+i+z ) =8+8com(n /3 6 );于是 得出结论。5 利用平均值定理求最值例 5：已知复数 z 满足 |z|=1 ，求 d=| z3-3z-2 | 的最值。解： d2=| (z+1)2(z-2) |2= (| z+1 |2)2| z -2|2=(z+1) (z+1)2(z-2)(z-2)(zz+z+z+1) (zz-2z-2z+4);|z|=1 d2=(2+z+z)2(5 -2z-2z)设

4、z=x+yi (x,y R)代入上式：得 d2=(2+2x)2(5- 4x)Q|x| 0;5 -4x0 d2=(2+2x) (2+2x) (5- 4x)W (2+2x)+(2+2x)+(5-4x)/33=27t d 0二 d3,由 2+2x=5-4x 得 x=1/2当 z=1/2 /2i 时 dmax=3当 z3-3z-2=0 得 z=-1 或 z=-2 (舍去)即当 z=-1 时,dmin=06 利用图象求最值(几何法)因为复数和图形有着密切的关系， 我们可以利用这种关系把 所给条件转化为图形直观的求出最大值最小值。例 6：已知 |z|=1 。求 |-i-z| 的最大值和最小值。解： t |z|=1 复数 z 在复平面内对应的点在单位圆上。T - i - z|即|z - ( - i)表示z到定点A(,-1)的距离；易得 i z|max=3;| i z|mi n=1 又如 |z|=1 求|z-(2+2i)| 得最值用图象法时仿上易得：|z(2+2i)|max=2 1