高等数学1.8 函数的连续性与间断点

1、返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四1 第第八节节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 第一章第一章 三、函数的间断点三、函数的间断点 二、函数的连续性二、函数的连续性 一、问题的提出一、问题的提出 四、小结与思考题四、小结与思考题 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四2 一、问题的提出一、问题的提出 0 t (时间时间) 温度温度c 4 14 24 一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四3 二、函数的连续性二、函数的连续性 1.1.

2、函数的增量函数的增量 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四4 2. 连续的定义连续的定义 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四5 )(xfy 在在 0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim 0 0 xfxf xx 则称函数则称函数 .)( 0 连续在xxf 设函数设函数且且定义定义2 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四6 3. 单侧连续单侧连续 左连续左连续 : )( 0 xf 0 0 lim( )() xx xf xf ,0,0当当),( 00 xxx 时时, 有有 0 ( ).)f xf x 右

3、连续右连续: )( 0 xf 0 0 lim( )() xx xf xf ,0,0当当),( 00 xxx 时时, 有有 0 ( ).)f xf x 定理定理 0 0 lim( )() xx xffx 00 0 lim( )lim()( ) xxxx f xffxx 与单侧极限与单侧极限 相类似！相类似！ 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四7 4. 连续函数连续函数 若若)(xf在某区间上在某区间上每一点每一点都连续都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上 连续连续 , 或称它为该或称它为该区间上区间上的的连续函数连续函数 . 如果此区间包含如果此区间包含端点端点

4、， 那么那么 （1）函数在）函数在左左端点端点连续是指连续是指在 在左左端点端点右右连续，连续， （2）函数在）函数在右右端点端点连续是指连续是指在在右右端点端点左左连续连续. 连续函数的图形连续函数的图形是一条是一条连续连续而而不间断不间断的曲线的曲线 . ,bac在闭区间在闭区间,ba上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四8 )()(lim, ),( 00 0 xpxpx xx n nx axaaxp 10 )( 在在 ),(上连续上连续 . ( 有理有理整整函数函数 ) 又如又如, 有理有理分式分式函数函数 )( )(

5、)( xq xp xr 在其定义域内连续在其定义域内连续. 只要只要,0)( 0 xq都有都有)()(lim 0 0 xrxr xx 例如例如, 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四9 xysin在在),( 内连续内连续 . 证证: ),(x xxxysin)sin()cos(sin2 22 xx x 22 2 sincos() xx yx 12 2 x x 0 x 即即0lim 0 y x 这说明这说明xysin在在),(内连续内连续 . 同样可证同样可证: 函数函数xycos 在在 ),(内连续内连续 . 0 例例1 证明函数证明函数 返回返回上页上页下页下页目录目

6、录 2021年5月20日星期四10 21, 0 31, 0 xx y xx 0 x 00 limlim(31)011 xx yx 00 limlim(21)011 xx yx 0 x (0)1(0 )ff y0 x 例例2 讨论函数讨论函数 在在处的连续性处的连续性 解解由于由于 即即左右极限不相等左右极限不相等，所以该函数在，所以该函数在 但是但是，因为，因为 点不连续点不连续 ，所以函数，所以函数在在处处 右连续右连续 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四11 三、函数的间断点三、函数的间断点 定义定义3 在在 在在 (1) 函数函数)(xf 0 x (2) 函数函

7、数)(xf 0 x)(lim 0 xf xx 不存在不存在; (3) 函数函数)(xf 0 x )(lim 0 xf xx 存在存在 , 但但 )()(lim 0 0 xfxf xx 不连续不连续 : 0 x 设设 0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , 则则 这样的点这样的点 0 x 下列情形下列情形之一之一函数函数 f (x) 在点在点 虽有定义虽有定义 , 但但 虽有定义虽有定义 , 且且 称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ; 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四12 第一类间断点第一类间断点: )( 0 xf及及)( 0 x

8、f均存在均存在 , , )()( 00 xfxf 若若称称 0 x , )()( 00 xfxf若若称称 0 x 第二类间断点第二类间断点: )( 0 xf及及)( 0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 , 称称 0 x 若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , 称称 0 x 若其中有一个为若其中有一个为 , 为为可去间断点可去间断点 . 为为跳跃间断点跳跃间断点 . 为为无穷间断点无穷间断点 . 为为振荡间断点振荡间断点 . 间断点分类间断点分类: 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四13 xytan) 1 ( 2 x为其为其无穷无穷间断点间断点 . 0 x为其为

9、其振荡振荡间断点间断点 . x y 1 sin) 2( 1x为为可去可去间断点间断点 . 1 1 )3( 2 x x y xo y 1 xytan 2 x y o x y x y 1 sin 0 例如例如: 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四14 1 ) 1 (1)(lim 1 fxf x 显然显然 1x为其为其可去可去间断点间断点 . 1, 1, )( 2 1 x xx xfy(4) xo y 2 1 1 (5) 0,1 0,0 0,1 )( xx x xx xfy x y o 1 1 , 1)0( f1)0( f 0 x为其为其跳跃跳跃间断点间断点 . 返回返回上

10、页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四15 a sin , 0, ( ) , 0, xx f x axx 0 x (0)0faa 00 lim( )lim(sin )0 xx f xx 00 lim( )lim() xx f xaxa (0 )(0 )(0)fff 0a 0a ( )f x0 x 例例3 当当取何值时，函数取何值时，函数 解解 因为因为 要使要使，则需要，则需要故当且仅当故当且仅当 时，函数时，函数在在点连续点连续 在在 处连续处连续 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四16 内容小结内容小结 )()(lim 0 0 xfxf xx 0)()

11、(lim 00 0 xfxxf x )()()( 000 xfxfxf 左连续左连续 右连续右连续 )(. 2xf 0 x 第一类间断点第一类间断点 可去间断点可去间断点 跳跃间断点跳跃间断点 左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点 无穷间断点无穷间断点 振荡间断点振荡间断点 左右极限至少有一左右极限至少有一 个不存在个不存在 在点在点间断的类型间断的类型 )(. 1xf 0 x在点在点连续的等价形式连续的等价形式 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四17 作业作业 习习 题题 1-8 2（1，3，5），），3（1），）， 思考与练习思考与练习 1. 讨

12、论函数讨论函数 23 1 )( 2 2 xx x xf x = 2 是第二类是第二类无穷无穷间断点间断点 . 间断点的类型间断点的类型. 答案答案: x = 1 是第一类是第一类可去可去间断点间断点 , 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四18 2. 讨论函数讨论函数 2,0, ( ) 2,0, xx f x xx 在在0 x 处的连续性。处的连续性。 解：解：)2(lim)(lim 00 xxf xx 2 ),0(f )2(lim)(lim 00 xxf xx 2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续, , 故函数故函数( )f x 在点在点 0 x 不连续。不连续。 返回返回上页上页下页下页目录目录 2021年5月20日星期四19 3. 讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别讨论下列函数的连续性，若有间断点，判断其类别 2 2 (1) ( )lim 1 n n n xx f x x 习题习题19 3（2） ,| 1 ( )0,| 1 ,| 1 xx f xx xx 11xx 和 为跳跃间断点为跳跃间断点. . 解：解： 返回