正方形与全等模型含答案讲解

1、正方形与全等模型 1（垂直相等） 如图，在正方形 ABCD 中 （1）若点 E、F分别在 AB、AD 上，且 AE=DF 试判断 DE与 CF的数量及位置关系，并说明理由； （2）若 P、Q、M、N是正方形 ABCD 各边上的点， PQ与MN 相交，且 PQ=MN ，问 PQMN 成立吗？为什么？ 2（三垂） 如图，直线 MN 不与正方形的边相交且经过正方形 ABCD 的顶点 D，AMMN 于 M，CNMN 于 N， BR MN 于 R （1）求证： ADM DCN： （ 2）求证： MN=AM+CN ； （ 3）试猜想 BR 与 MN 的数量关系，并证明你的猜想 3（三垂） 如图，在平的直角

2、坐标系中， 直线 y=2x+2 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，四边形 ABCD 是正方形， 曲线 y= 在第一象限经过点 D 求双曲线表示的函数解析式 4（三垂） 如图，四边形 ABCD 是正方形，直线 l1，l2，l3分别通过 A，B，C三点，且 l1l2l3，若 l1与l2的距 离为 5，l2与 l3的距离为 7，则正方形 B74 A70 5（三垂） 如图在平面直角坐标系中正方形OABC 的边 OC， OA 分别在 x 轴正半轴上和 y 轴的负半轴上，点 B 在 双曲线 y= 上，直线 y=kx k（k 0）交 y 轴与 F （1）求点 B、E 的坐标； （2）连接 BE，CF

3、交于 M 点，是否存在实数 k，使得 BECF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由； （3）F在线段 OA上，连BF，作OM BF于M，AN BF于N，当F在线段 OA上运动时（不与 O、A 重合）， 的值是否变化若变化，求出变化的范围；若不变，求其值 6（对角互补） 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O E、F分别是边 AB、BC 上的点， 若 AE=4cm ， CF=3cm ，且 OEOF，则 EF 的长为 cm 7（对角互补） 在图1到图3中，点O是正方形 ABCD 对角线 AC的中点， MPN 为直角三角形， MPN=90 正 方形 ABCD

4、 保持不动， MPN 沿射线 AC向右平移，平移过程中 P点始终在射线 AC上，且保持 PM 垂直于直线 AB于点 E，PN垂直于直线 BC于点 F （1）如图 1，当点 P与点 O重合时， OE与OF的数量关系为 ； （2）如图 2，当 P在线段 OC上时，猜想 OE与 OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明； （3）如图 3，当点 P在 AC的延长线上时， OE与 OF的数量关系为 ；位置关系为 8（对角互补） 如图，正方形 ABCD 中， AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点 P 在射线 AC 上移动，另一边交 DC 于 Q （1）如图 1，

5、当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系；并加以证明； （2）如图 2，当点 Q 落在 DC 的延长线上时，猜想并写出 PB与 PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想 9（对角互补） 如图，正方形 ABCD ，点 P是对角线 AC上一点，连接 BP，过 P作 PQ BP， PQ交 CD于Q，连 接 BQ 交 AC 于 G ，若 AP= ，Q 为 CD 中点，则下列结论： PBC=PQD； BP=PQ ； BPC=BQC ； 正方形 ABCD 的面积是 16； 其中正确结论的个数是（ ） C2 D1 如图 1，直角 EPF的顶点和正方形 ABCD 的顶点 C 重合，

6、两直角边 PE， PF分别和 AB，AD 所 E和F易得PBEPDF，故结论 “PE=PF”成立； 10（对角互补） 在的直线交于点 （1）如图 2，若点 P在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图（ 3）将（ 2）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD 其他条件不变，若 AB=m ，BC=n ，直接写出的值 11（对角互补） 如图，边长一定的正方形 ABCD ，Q为CD上一个动点， AQ 交BD于点 M，过 M作MNAQ 交 BC 于点 N，作 NPBD 于点 P，连接 NQ，下列结论： AM=MN ； MP= BD ； BN

7、+DQ=NQ ； 为定值其中一定成立的是（ ） A B C D 12（等角共顶点） （1）如图 ，ABC 中， AB=AC ， BAC=90 ，点 D为BC边上一点（与点 B、 C不重合）， 连接 AD ，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 可猜想线段 CF，BD 之间的数量关系是 位置关系是 ； （ 2）当点 D 在线段 BC 的延长线时，如图 ，（ 1）中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立， 说明理由 13（等角共顶点） 已知点 O 为正方形 ABCD 的中心， M 为射线 OD 上一动点 （ M 与点 O，D 不重合），以线段 AM 为一边作正方形 AM

8、EF ，连接 FD （ 1）当点 M 在线段 OD 上时（如图 1），线段 BM 与 DF 有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果； （2）当点 M 在线段 OD 的延长线上时（如图 2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2 说明理由 14（等角共顶点） 以ABC 的各边，在边 BC的同侧分别作三个正方形 他们分别是正方形 ABDI ，BCFE，ACHG ， 试探究： （ 1）如图中四边形 ADEG 是什么四边形？并说明理由 （2）当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是矩形？ （3）当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是正方形？ 15（等角共顶点）在直角三角形 A

9、BC 中，C=90，BC=2，以AB 为边作正方形 ABDE ，连接 AD 、BE交 O，CO=， 则 AC 的长为（ ） B 3C4D 16（等角共顶点） 如图，已知正方形 ABCD ，点 E 是 BC 上一点，以 AE 为边作正方形 AEFG （1）连接 GD，求证： ADG ABE； （2）连接 FC，求证： FCN=45 ； （ 3）请问在 AB 边上是否存在一点 Q，使得四边形 DQEF 是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理 由 17（等角共顶点） 如图 1，2，四边形 ABCD 是正方形， M 是 AB 延长线上一点直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E在 A

10、B 边上滑动（点 E不与点 A， B重合），另一条直角边与 CBM 的平分线 BF 相交于点 F （ 1）如图 1，当点 E 在 AB 边的中点， N 为 AD 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF的长度，猜想 DE与 EF满足的数量关系是 ； 请证明你的上述猜想 （2）如图 2，当点 E在 AB 边上的任意位置时，猜想此时 DE与 EF有怎样的数量关系，并证明你的结论 18（对角互补分半） 已知，四边形 ABCD 是正方形， MAN=45 ，它的两边 AM 、AN 分别交 CB、DC 与点 M 、 N，连接 MN ，作 AH MN ，垂足为点 H （ 1）如图 1，猜想 AH 与 AB 有

11、什么数量关系？并证明； （2）如图 2，已知 BAC=45 ，AD BC于点 D，且BD=2，CD=3，求 AD 的长； 小萍同学通过观察图 发现， ABM 和AHM 关于 AM 对称，AHN 和 ADN 关于 AN 对称，于是她巧妙运用 这个发现，将图形如图 进行翻折变换，解答了此题你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？ 19（对角互补分半） 形的边长相等，求 （2）如图 ，在RtABD 中，BAD=90 ， 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADH 位置，连接 （3） （ 1）如图 ，在正方形 EAF 的度数 ABCD 中， AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方

12、在图 中， 连接 AB=AD ，点M，N 是BD 边上的任意两点， 且 MAN=45 ，将ABM NH，试判断 MN ，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由 BD 分别交 AE，AF 于点 M ， N ，若 EG=4 ，GF=6 ，BM=3 ，求 AG ，MN 的长 20（对角互补分半） 四边形 BCFE 的面积等于 如图，将边长为 4的正方形 ABCD 沿着折痕 EF折叠，使点 B落在边 AD 的中点 G处，那么 ；若 GH 与 CD 交点为 I，那么 GBI= . 21（等角共顶点拓展） 如图，四边形 ABCD 是正方形， 以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连接

13、BG ， DE猜想图中线段 BG 、DE 的数量和位置关系，并说明理由 22（等角共顶点拓展） 如图，正方形 ABDE 和ACFG是以ABC 的AB 、AC为边的正方形， P、Q为它们的中心， M 是 BC 的中点，试判断 MP 、MQ 在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论 23如图所示，四边形 ABCD 为正方形， BEF 为等腰直角三角形（ BFE=90 ，点 B、E、F按逆时针顺序） ，P 为 DE 的中点，连接 PC、 PF （1）如图（ 1），E 点在边 BC 上，则线段 PC、PF 的数量关系为 ，位置关系为 （不需 要证明） （2）如图（2），将BEF绕 B点顺时针旋转 （0

14、BC），取线段 AE 的中点 M （1）探究线段 MD 、MF 的位置及数量关系，直接写出答案即可； （2）将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45（如图乙），令 CG=2BC 其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证 明； （2）将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后（如图丙） ，其他条件不变探究：线段 MD ，MF 的位置及数量关系， 并加以证明 【巩固练习】 25已知点 E 是正方形 ABCD 外的一点， EA=ED ，线段 BE 与对角线 AC 相交于点 F， （ 1）如图 1，当 BF=EF 时，线段 AF 与 DE 之间有怎样的数量关系？并证明； （2）如图 2，当 E

15、AD 为等边三角形时，写出线段 AF、BF、EF 之间的一个数量关系，并证明 26如图 1，四边形 ABCD 为正方形， E 在 CD 上， DAE 的平分线交 CD 于 F，BG AF 于 G，交 AE 于 H （ 1）如图 1， DEA=60 ，求证： AH=DF ； （2）如图 2， E是线段 CD上（不与 C、D重合）任一点，请问： AH与 DF有何数量关系并证明你的结论； （3）如图 3， E是线段 DC延长线上一点，若 F是ADE中与DAE 相邻的外角平分线与 CD的交点，其它条件 不变，请判断 AH 与 DF 的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明） 27在直角坐标系中，直线

16、y=2x+4 交 x 轴于 A，交 y 轴于 D （ 1）以 A 为直角顶点作等腰直角 AMD ，直接写出点 M 的坐标为 （2）以 AD 为边作正方形 ABCD ，连 BD，P 是线段 BD 上（不与 B、D 重合）的一点，在 BD 上截取 PG= ， 过G作GFBD，交BC于F，连 AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论； （3）在（ 2）中的正方形中，若 PAG=45，试判断线段 PD 、PG、BG 之间有何关系，并证明你的结论 28如图，一个直角三角形的直角顶点 P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 所在的直线上滑动， 并使得一条直角边始终 经过 B 点 （ 1）

17、如图 1，当直角三角形的另一条直角边和边 CD 交于 Q 点， = ； （2）如图 2，当另一条直角边和边 CD 的延长线相交于 Q 点时， = ； （3）如图 3或图 4，当直角顶点 P运动到 AC 或CA 的延长线上时，请你在图 3或图 4中任选一种情形，求的 值，并说明理由 29已知，如图在正方形 OADC 中，点 C的坐标为（ 0，4），点 A 的坐标为（ 4， 0）， CD 的延长线交双曲线 y= 于点 B （ 1）求直线 AB 的解析式； （2）G为x轴的负半轴上一点连接 CG，过 G作GECG交直线 AB 于E求证 CG=GE； （3）在（ 2）的条件下，延长 DA 交 CE 的

18、延长线于 F，当 G在 x 的负半轴上运动的过程中，请问 的值是否 为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明你的理由 30如图，四边形 ABCD 位于平面直角坐标系的第一象限， B、C 在 x 轴上， A 点函数上，且 ABCDy 轴， ADx 轴，B（1，0）、C（3，0） （ 1）试判断四边形 ABCD 的形状； 2）若点 P是线段 BD 上一点 PE BC于E，M是PD的中点，连 EM 、AM 求证： AM=EM ； （ 3）在图（ 2）中，连接 AE 交 BD 于 N，则下列两个结论： 值不变； 值不变； 的值不变其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其值 参考答案与试题解

19、析 一选择题（共 16 小题） 1如图，在正方形 ABCD 中 （1）若点 E、F分别在 AB、AD 上，且 AE=DF 试判断 DE与 CF的数量及位置关系，并说明理由； （2）若 P、Q、M、N是正方形 ABCD 各边上的点， PQ与MN 相交，且 PQ=MN ，问 PQMN 成立吗？为什么？ 考点 ：正方形的性质 专题 ：探究型 分析：（1）由已知易 得 DAE CD F，故有 DE=CF （2）由点 N，Q 分别向 AB ，AD 作垂线， 构造两 直角三角形全 等，由角的等量 代换，易得 QPMN 解答：解：（ 1）在正方 形 ABCD 中， AD=DC ， AE=DF ， EAD=

20、FDC 所以 EAD FD C，故 DE=CF ， EDA= FC D， 又 DCF+ DF C=90， ADE+ D FC=90， DGF=90 即 DE CF （2）由点 N，Q 分别向 AB ，AD 作垂线， PQ=MN ， RN=SQ， MNR QPS（HL ）， PQS= M NR，又 1+PQS=90 所以 1+MNR=9 0，即 MN PQ 点评： 解答本题要充 分利用正方形 的特殊性质 注 意在正方形中 的特殊三角形 的应用， 搞清楚 矩形、菱形、正 方形中的三角 形的三边关系， 可有助于提高 解题速度和准 确率 2如图，直线 MN 不与正方形的边相交且经过正方形ABCD 的顶

21、点 D，AM MN 于 M ，CN MN 于 N ，BR MN 于 R （1）求证： ADM DCN： （ 2）求证： MN=AM+CN ； （ 3）试猜想 BR 与 MN 的数量关系，并证明你的猜想 正方形的性质； 考点： 全等三角形的 判定与性质 专题 ： 分析： 证明题；探究 型 此题分三问进 行，三问都与三 角形全等直接 相关， 所以要紧 扣三角形全等 的判定方法进 行思考 （1）要证 ADM DC N，由于它们都 是直角三角形， 所以首先有直 角相等，又由 ABCD 是正方 形有 AD=DC ， 再找一个条件 即可， 而由图形 很容易分析得 出 ADM= DC N； （2）的关键是

22、合理添加辅助 线，通过等量代 换等到结论； （3）首先结合 前面的结论再 结合图形合理 猜想， 然后再结 合前面的结论 认真推理， 细致 证明即可 解答： 1）证明： AM MN 于 点 M ，CN MN 于点 N（已知）， AMD= D NC=90 （垂直的 定义） MAD+ M DA=180 90=90（三角形 内角和定理） 四边形 ABCD 是正方 形（已知）， ADC=90 ， AD=DC MDA+ N DC=180 90=90（平角的 定义） MAD+ M DA= NDC+ NCD MAD= N DC 在 AMB 和 DNC 中， AMD= D NC， MAD= ND C， AD=D

23、C ， AMD DNC （AAS ） （2）证明：由 （1） AMD DN C， AM=DN ， MD=NC （全等 三角形对应边 相等） MD+DN=AM +CN 即 MN=AM+CN （3）猜想 BR=MN 证明如下： 作 AE BR 于 E BRMN， CNMN （已 知） BRCN（垂 直于同一直线 的两条直线平 行） 1= 2（两 直线平行同位 角相等） 又四边形 ABCD 是正方 形 AB BC ， DCBC， ABE= D CN=90 1， 在 ABE 和 DCN 中， AB=DC ， ABE= DCN AEB= DNC =90 ABE D CN（ AAS ） 由（ 1） ADM

24、 DC N ABE A DM AM=AE （全 等三角形对应 边相等） 又 AEMR ， AM ER， BR=BE+ER= CN+AM=DM+ DN=MN 点评： 此题三问紧密 相连， 第一问正 确解出后， 后两 问就顺理成章 求出来了 3如图，在平的直角坐标系中，直线y=2x+2 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A 、 B，四边形 ABCD 是正方形，曲线 y= 在第一象限经过点 D求双曲线表示的函数解析式 考点 ：反比例函数综 合题 专题 ：探究型 分析：过点 D 作 DE x 轴于点 E，先由直线 y= 2x+2 与 x 轴， y 轴相交于点 A、 B 求出 OB 及 OA 的长，再 由

25、全等三角形 的判定定理得 出 AOB DE A ，故可得出 D 点坐标， 再由待 定系数法即可 求出反比例函 数的解析式 解答： 解：过点 D 作 DE x 轴于点 E， 直线 y= 2x+2 与 x 轴， y 轴相交于点 A 、 B， 当 x=0 时， y=2 ，即 OB=2； 当 y=0 时，x=1 ， 即 OA=1 ， 四边形 ABCD 是正方 形， BAD=90 ， AB=AD BAO+ D AE=90 ADE+ D AE=90 ， BAO= A DE， AOB= D EA=90 ， AOB D EA， DE=AO=1 ， AE=BO=2 ， OE=3 ，DE=1 点 D 的坐标 为（

26、3，1）把（3， 1）代入 y= 中， 得 k=3 ， 故反比例函数 的解析式为： y= 点评： 本题考查的是 反比例函数综 合题， 涉及到一 次函数的性质、 正方形的性质 及全等三角形 的判定与性质， 根据题意作出 辅助线， 构造出 全等三角形是 解答此题的关 键 4如图，四边形 ABCD 是正方形，直线 l1，l2，l3分别通过 A，B，C三点，且 l1 l 2 l 3，若 l1与 l2的距离为 5， l2与 l3 的距离为 7，则正方形 ABCD 的面积等于（ ） 144 D148 考点 ： 勾股定理； 全等 三角形的判定 与性质； 正方形 的性质 分析： 画出 L1到 L2， L2到

27、L3的距离， 分别交 L2，L3 于 E ， F，通过 证明 ABE BC F，得出 BF=AE ， 再由勾股定理 即可得出结论 解答： 解：过点 A 作 AE l1，过点 C 作 CF l 2， CBF+ BC F=90， 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD= AD， DAB= A BC= BCD= CDA=90 ， ABE+ C BF=90， l 1l2l3， ABE= B CF， 在 ABE 和 BCF 中， ABE B CF（AAS ）（画 出 L1 到 L2，L2 到 L3 的距离， 分别交 L2，L 3 于 E， F） BF=AE ， 22 BF2+CF2=BC 2，

28、222 BC =5 +7 =7 4 故面积为 74 故选 B 点评： 本题主要考查 了正方形的性 质，全等三角形 的判定与性质 以及正方形面 积的求解方法， 能够熟练掌握 5如图在平面直角坐标系中正方形OABC 的边 OC，OA 分别在 x 轴正半轴上和 y 轴的负半轴上，点 B 在双曲线 y= 上，直线 y=kx k（k0）交 y 轴与 F （1）求点 B、E 的坐标； （2）连接 BE，CF 交于 M 点，是否存在实数 k，使得 BECF？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由； 3）F在线段 OA 上，连BF，作OM BF于M，AN BF于N，当F在线段 OA 上运动时（不与 O、

29、A 重合）， 的值是否变化若变化，求出变化的范围；若不变，求其值 考点： 专题 ： 分析： 解答： 反比例函数综 合题 开放型 （1）把正方形 的面积用 B 点 坐标表示求解； （2）用分析法 求解 根据直线 解析式的特点， 求 k 只需求满足 条件时 OF 的 长； （3）探索： ， ， ，代换后 得结论为 1，所 以不变化 解：（ 1）根据题 意，设 B（ x， x）， B 在 y= 的 图象上， 2 x =4 ， x=2， 根据图形得 B （2， 2）， E 在 X 轴上， kx k=0 ， x=1，即 E（ 1， 0）； （2）假设存在 k，使 BE CF， OCF= CB E COF

30、= BC E，OC=CB OCF C BE OF=CE=1 k=1； （3）=1 证明： 由已知条 件易证： OMF BN A， ANF BN A， ， ， = = =1 点评： 此题运用了分 析法解题探究， 综合性很强， 检 验学生自主创 新能力 6（2008?安顺）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC 和BD 相交于点 OE、F分别是边 AB、BC 上的点， 若 AE=4cm ， CF=3cm ，且 OEOF，则 EF 的长为 5 cm 考点： 正方形的性质； 专题 ： 分析： 全等三角形的 判定与性质； 勾 股定理 计算题 连接 EF，作 OM AB 于点 M ，根据条件可 以

31、证明 OED OF C，则 OE=OF ， CF=DE=3Ccm ， 则 AE=DF=4 ， 根据勾股定理 得到 EF= 解答： =5cm 解：连接 EF， 作 OM AB 于 点 M ， OD=OC ， OEOF EOD+ F OD=90 正方形 ABCD COF+ D OF=90 EOD= F OC 而 ODE= OCF =45 OFC O ED， OE=OF ， CF=DE=3cm ， 则 AE=DF=4 ， 根据勾股定理 得到 EF= =5c m 故答案为 5 点评： 根据已知条件 以及正方形的 性质求证出两 个全等三角形 是解决本题的 关键 7在图 1到图 3中，点 O 是正方形 A

32、BCD 对角线 AC 的中点， MPN 为直角三角形， MPN=90 正方形 ABCD 保持不动， MPN 沿射线 AC 向右平移，平移过程中 P 点始终在射线 AC 上，且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E， PN 垂直于直线 BC 于点 F （1）如图 1，当点 P与点 O重合时， OE 与 OF的数量关系为 OE=OF ； （2）如图 2，当 P在线段 OC上时，猜想 OE与 OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明； （3）如图 3，当点 P在 AC 的延长线上时， OE与 OF的数量关系为 OE=OF ；位置关系为 OEOF 考点 ： 正方形的判定 与性质； 全等

33、三 角形的判定与 性质； 矩形的判 定与性质； 平移 的性质 分析：（1）根据利用 正方形的性质 和直角三角形 的性质即可判 定四边形 BEOF 为正方形， 从而 得到结论； （2）当移动到 点 P 的位置时， 可以通过证明 四边形 BEPF 为 矩形来得到两 条线段的数量 关系； （3）继续变化， 有相同的关系， 其证明方法也 类似 解答： （1）解：OE=OF （相等）；（ 1 分） （2）解： OE=OF， OEOF；（ 3 分） 证明：连接 BO ， 在正方形 ABCD 中，O 为 AC 中点， BO=CO ， BOAC， BCA= ABO =45，（4 分） PFBC， BCO=45

34、 ， FPC=45， PF=FC 正方形 ABCD ， ABC=90 ， PFBC， PE AB ， PEB= PF B=90 四边形 PEBF 是矩形， BE=PF （5 分） BE=FC OBE O CF， OE=OF ， BOE= COF ，（7 分） COF+ B OF=90， BOE+ B OF=90， EOF=90 ， OEOF（8 分） （3）OE=OF（相 等），OEOF （垂直）（10 分） 点评： 本题考查了正 方形的性质， 解 题的关键是抓 住动点问题， 化 动为静， 还要大 胆的猜想 8如图，正方形 ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，

35、直角顶点 P在射线 AC 上 移动，另一边交 DC 于 Q （1）如图 1，当点 Q 在 DC 边上时，猜想并写出 PB 与 PQ 所满足的数量关系；并加以证明； （2）如图 2，当点 Q 落在 DC 的延长线上时，猜想并写出 PB与 PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想 考点： 正方形的判定 与性质； 全等三 角形的判定与 性质 分析： （1）过 P 作 PEBC， PFCD，证明 RtPQFRt PBE，即可； （2）证明思路 同（ 1） 解答：（1） PB=PQ， 证明：过 P 作 PEBC， PFCD， P，C 为正方 形对角线 AC 上 的点， PC 平分 DCB ， DCB=90

36、， PF=PE， 四边形 PECF 为正方形， BPE+ QP E=90， QPE+QPF= 90， BPE= QP F， Rt PQFRt PBE， PB=PQ ； （2）PB=PQ， 证明：过 P 作 PEBC， PFCD， P，C 为正方 形对角线 AC 上 的点， PC 平分 DCB ， DCB=90 ， PF=PE， 四边形 PECF 为正方形， BPE+ QP E=90， QPE+QPF= 90， BPE= QP F， Rt PQFRt PBE， PB=PQ 点评： 此题考查了正 方形， 角平分线 的性质， 以及全 等三角形判定 与性质 此题综合性较强， 注意 数形结合思想 9如图

37、，正方形 ABCD ，点 P是对角线 AC上一点，连接 BP，过 P作PQBP，PQ交CD于Q，连接 BQ交AC 于 G ，若 AP= ，Q 为 CD 中点，则下列结论： PBC=PQD； BP=PQ ； BPC=BQC ； 正方形 ABCD 的面积是 16； 其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 考点： 分析： 正方形的性质； 全等三角形的 判定与性质 根据对角互补 的四边形， 则四 边形共圆， 根据 圆周角定理得 出 BPC= BQC ，根据 PBC= PQD ，过 P 作 PMAD 于 M ， PE AB 于 E， PF DC 于 F， 则 E 、P、F 三点 共线， 推出

38、正方 形 AEPM ，根据 勾股定理求出 AE=PE=PM=A M=DF=1 ，证 BEP PFQ ，推出 PE=FQ=1 ， BP=PQ，求出 DQ、DC，即可 解答： 解： 四边形 ABCD 是正方 形， BCQ=90 ， PQPB， BPQ=90 ， BPQ+ BC Q=180， B 、C、Q、P 四点共圆， PBC= PQ D， BPC= BQC ， 正确； 正确； 过 P 作 PM AD 于 M ，PEAB 于 E， PF DC 于 F，则 E、 P、 F 三点共线， 四边形 ABCD 是正方 形， AB=AD=DC =BC， DAC= BAC ， DAB=90 ， MAE= P E

39、A= PMA=90 ，PM=PE， 四边形 AMPE 是正方 形， AM=PM=PE =AE， AP= ， 在 Rt AEP 中，由勾股定理 得： AE2+PE2= （ ） 2， 解得： AE=AM=PE=P M=1， DF=1 ， 设 AB=BC=CD=A D=a， 则 BE=PF=a 1， BEP= PF Q=BPQ=90， BPE+ EB P=90， EPB+FPQ= 90， EBP= FP Q， 在BEP 和 PFQ 中 BEP P FQ（ASA ）， PE=FQ=1 ， BP=PQ ， 正确； DQ=1+1=2 ， Q 为 CD 中 点， DC=2DQ=4 ， 正方形 ABCD 的面

40、积 是 44=16 ， 正确； 故选 A 点评： 本题考查了正 方形的性质和 判定， 全等三角 形的性质和判 定，勾股定理， 三角形的内角 和定理等知识 点，主要考查学 生的推理能力， 题目综合性比 较强， 有一定的 难度 10如图 1，直角 EPF的顶点和正方形 ABCD 的顶点 C重合，两直角边 PE，PF分别和 AB，AD 所在的直线交于 点 E 和 F易得 PBE PDF，故结论 “PE=PF”成立； （1）如图 2，若点 P在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变， （1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图（ 3）将（ 2）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD

41、 其他条件不变，若 AB=m ，BC=n ，直接写出的值 考点 ： 正方形的性质； 垂线； 全等三角 形的判定与性 质 分析：（ 1）过点 P 分 别作 AB 、AD 的 垂线， 垂足分别 为 G、H ，有材 料提供的证明 思路可证明 PGE PHF ，再根据全等三 角形的性质： 对 应边相等可得： PE=PF； （2）有（ 1）证 题思路可知方 形 ABCD 改为 矩形 ABCD 其 他条件不变， 则 PGE PHF ，再根据相似三 角形的性质： 对 应边的比值相 等可得： 的比 值 解答：解：（ 1）成立 证明如下： 如图，过点 P 分 别作 AB 、AD 的 垂线， 垂足分别 为 G、H

42、 ， 则 GPH=90 ， PG=PH， PGE=PHF= 90， EPF=90， 1= 2， PGE P HF， PE=PF； （2） 点评： 本题是一个动 态几何题， 考查 了正方形性质、 矩形的性质、 全 等三角形的判 定以及性质， 三 角形相似的条 件和性质及进 行有条理的思 考和表达能力， 还考查按要求 画图能力 11如图，边长一定的正方形 ABCD ，Q为CD上一个动点， AQ交 BD于点 M，过 M作MNAQ 交BC于点N， 作 NPBD 于点 P，连接 NQ ，下列结论： AM=MN ； MP= BD ； BN+DQ=NQ ； 为定值其中一 A B C D 考点： 正方形的性质

43、； 全等三角形的 判定与性质； 确 定圆的条件 专题 ： 动点型 分析： 由题可知 A ，B， N，M 四点共圆， 进而可得出 ANM= NA M=45 ，由等角 对等边知， AM=MN ，故 正确； 由同角的余角 相等知， HAM= PM N，所以 RtAHM Rt MPN ，即可得 出结论，故 正 确； 先由题意得出 四边形 SMWB 是正方形， 进而 证出 AMS NM W，因为 AS=NW ，所以 AB+BN=SB+B W=2BW ，而 BW ：BM=1 ： ，所以 = = ，故 正确 因为 BAN+ QAD = NAQ=45 ， 在 NAM 作 AU=AB=AD ， 且使 BAN=

44、NAU 解答： DAQ= QA U，所以 ABN UA N， DAQ UA Q，有 UAN= UA Q=90， BN=NU ， DQ=UQ ，即可 得出结论，故 正确； 解：如图：作 AUNQ 于 U， 连接 AN ，AC， AMN= A BC=90 ， A，B，N，M 四点共圆， NAM= D BC=45 ， ANM= AB D=45 ， ANM= N AM=45 ， 由等角对等 边知，AM=MN ， 故 正确 由同角的余角 相等知， HAM= PM N， Rt AHM RtMPN MP=AH= A C= BD，故 正确， 如图，作 MSAB ，垂足 为 S，作 MW BC ，垂足 为 W

45、，点 M 是 对角线 BD 上的 点， 四边形 SMWB 是正方 形，有 MS=MW=BS= BW， AMS NMW ， AS=NW ， AB+BN=SB+ BW=2BW ， BW ：BM=1 ： ， = = = = ，故 正确 BAN+ Q AD= NAQ=45 上，有 Q，有 U， ABN U 12（1）如图 ，ABC 中， AB=AC ， BAC=90 ，点D为BC边上一点（与点 B、C不重合），连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF 可猜想线段 CF，BD 之间的数量关系是相等 ，位置关系是 垂直 在 NAM 作 AU=AB=AD ， 且使 BAN= NAU

46、DAQ= QA AN， DAQ UA UAN= UA Q， BN=NU ， DQ=UQ ， 点 U 在 NQ BN+DQ=QU+U N=NQ ，故 正 确 故选 D 点评： 本题利用了正 方形的性质， 四 点共圆的判定， 圆周角定理， 等 腰直角三角形 的性质， 全等三 角形的判定和 性质求解 （ 2）当点 D 在线段 BC 的延长线时，如图 ，（ 1）中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立， 说明理由 正方形的性质； 全等三角形的 判定与性质； 等 腰直角三角形 几何综合题 （1）可通过证 明三角形 ABD 和三角形 ACF 全等来实现 因 为 AD=AF ， AB=AC ，只

47、要证 明 BAD= CAF 即可， BAD=90 DAC= FAC ，这样就构成了 全等三角形判 定中的 SAS， ABD AC F，因此 BC=CF ， B= ACF ，因 为 B+ ACB=90 ，那么 ACF+ACD=9 0，即 FCBC ， 也就是 FCBD （2）当点 D 在 BC 的延长线上 时 的结论仍 成立 由正方形 ADEF 的性质可 推出 DAB FA C，所以 CF=BD ， 解答： 点评： ACF= ABD 结合 BAC=90 ， AB=AC ，得到 BCF= ACB +ACF=90 度即 CFBD 解：（ 1） CF 与 BD 的数量关系 是： CF=BD ； 位置关

48、系是： CFBD； 故答案为：相 等、垂直 （2）当点 D 在 BC 的延长线上 时（ 1）中的结 论仍成立（ 5 分） 理由如下： 由正方形 ADEF 得 AD=AF ， DAF=90 BAC=90 ， DAF= B AC， DAB= F AC， 又 AB=AC ， DAB F AC，（4 分） CF=BD ， ACF= ABD （ 6 分） BAC=90 ， AB=AC ， ABC=45 ， ACF=45 ， BCF= AC B+ ACF=90 即 CFBD 本题中综合考 查了正方形的 性质， 全等三角 形的判定等知 识，关键是证明 三角形全等， 判 定两个三角形 全等， 先根据已 知条件

49、或求证 的结论确定三 角形， 然后再根 据三角形全等 的判定方法， 看 缺什么条件， 再 去证什么条件 13已知点 O 为正方形 ABCD 的中心， M 为射线 OD 上一动点（ M 与点 O，D 不重合），以线段 AM 为一边作正方 形 AMEF ，连接 FD （ 1）当点 M 在线段 OD 上时（如图 1），线段 BM 与 DF 有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出结果； （2）当点 M 在线段 OD 的延长线上时（如图 2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2 说明理由 正方形的性质； 考点： 全等三角形的 判定与性质 专题 ： 证明题；探究 型 分析： 1）根据正方 形性质求出

50、 AF=AM ， AD=AB ， FAM= DAB =90，推出 FAD= MAB ，证 FAD MA B，推出 BM=DF ， FDA= ABD =45，求出 ADB=45 即 可； （2）根据正方 形性质求出 AF=AM ， AD=AB ， FAM= DAB =90，推出 FAD= MAB ，证 解答： FAD MA B，推出 BM=DF ， FDA= ABD =45，求出 ADB=45 即 可 解：（1） BM=DF ， BM DF 理由是： 四边 形 ABCD 、 AMEF 是正方 形， AF=AM ， AD=AB ， FAM= DAB =90， FAM DAM= DA B DAM ，

51、 即 FAD= MAB 在 FAD 和 MAB 中 FAD M AB， BM=DF ， FDA= ABD =45， ADB=45 ， FDB=45 + 45=90， BM DF， 即 BM=DF ， BM DF （2）解：成立， 理由是： 四边 形 ABCD 和 AMEF 均为正 方形， AB=AD ， AM=AF ， BAD= MAF =90， FAM+ D AM= DAB+ DAM ， 即 FAD= MAB 在 FAD 和 MAB 中 FAD M AB， BM=DF ， ABM= ADF 由正方形 ABCD 知， ABM= AD B=45 ， BDF= A DB+ ADF=90 点评： 即

52、 BM DF， （ 1）中的结 论仍成立 本题考查了正 方形的性质和 全等三角形的 性质和判定的 应用， 关键是求 出 FAD MA B，本题具有一 定的代表性， 主 要培养学生运 用性质进行推 理的能力和猜 想能力 14以ABC 的各边，在边 BC的同侧分别作三个正方形他们分别是正方形 ABDI ，BCFE，ACHG，试探究： （ 1）如图中四边形 ADEG 是什么四边形？并说明理由 （2）当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是矩形？ 3）当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADEG 是正方形？ 考点 ： 正方形的判定 与性质； 全等三 角形的判定与 性质； 平行四边 形的判定；

53、矩形 的判定 分析：（ 1）根据全等 三角形的判定 定理 SAS 证得 BDE BA C，所以全等三 角形的对应边 DE=AG 然后利 用正方形对角 线的性质、 周角 的定义推知 EDA+ DAG =180，易证 EDGA ；最后 由“一组对边平 行且相等 ”的判 定定理证得结 论； （2）根据 “矩形 的内角都是直 角”易证 DAG=90 然 后由周角的定 义求得 BAC=135 ； （3）由 “正方形 的内角都是直 角，四条边都相 等”易证 DAG=90 ，且 AG=AD 由 ABDI 和 ACHG 的性质 证得， 解答： AC= AB 解：（ 1）图中四 边形 ADEG 是 平行四边形

54、理 由如下： 四边形 ABDI 、四边形 BCFE、四边形 ACHG 都是正 方形， AC=AG ， AB=BD ， BC=BE ， GAC= EBC = DBA=90 ABC= E BD（同为 EBA 的余 角） 在 BDE 和 BAC 中， BDE B AC（SAS）， DE=AC=AG ， BAC= BDE AD 是正方形 ABDI 的对角 线， BDA= B AD=45 EDA= B DE BDA= BDE 45， DAG=360 GAC BAC BAD =36090 BAC 45 =225 BAC EDA+ D AG= BDE 45+225 BAC=180 DEAG， 四边形 ADE

55、G 是平行 四边形 （一组对 边平行且相 等） （2）当四边形 ADEG 是矩形 时， DAG=90 则 BAC=360 BAD DAG GAC=360 4590 90=135， 即当 BAC=135 时，平行四边形 ADEG 是矩形； （3）当四边形 ADEG 是正方 形时， DAG=90 ，且 AG=AD 由（ 2）知，当 DAG=90 时， BAC=135 四边形 ABDI 是正方形， AD= AB 又四边形 ACHG 是正方 形， AC=AG ， AC= AB 当 BAC=135 且 AC= AB 时， 四边形 ABDI 是 正方形 点评： 本题综合考查 了正方形的判 定与性质， 全等

56、 三角形的判定 与性质， 平行四 边形的判定与 性质等知识 点解题时，注 意利用隐含在 题干中的已知 条件：周角是 360 15在直角三角形 ABC 中， C=90，BC=2，以AB 为边作正方形 ABDE ，连接 AD、BE交O，CO=，则 AC 的长为（ ） A 2 B 3 C 4 D 考点： 全等三角形的 判定与性质； 勾 股定理； 正方形 的判定与性质 专题 ： 数形结合 分析： 延长 CB 过点 D 作 CB 延长线的 垂线，交点为 F， 过点 O 作 OM CF，先证 明 RTACB RT BFD ，然后分 别表示出 OM 、 CM 的长度，在 解答： RTOCM 中利 用勾股定理

57、可 得出答案 解：延长 CB 过 点D 作CB 延长 线的垂线， 交点 为 F，过点 O 作 OMCF， 则可得 OM 是 梯形 ACFD 的 中位线， ABC+ FB D= CAB+ A BC=90 ， CAB= FB D， 在 RT ACB 和 RTBFD 中， RTACB RTBFD， AC=BF ， BC=DF ， 设 AC=x ，则 OM= ， ， CM= = ， 在 RT OCM 中， 222 OM +CM =OC ，即 2（ ） 2 =18， 解得： x=4 ，即 AC 的长度为 4 故选 C 点评： 此题考查了正 方形的性质、 勾 股定理、 梯形的 中位线定理、 全 等三角形的

58、判 定和性质， 解答 本题的关键是 正确作出辅助 线，构造全等三 角形，难度较 大 以 AE 为边作正方形 AEFG DQEF 是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理 16如图，已知正方形 ABCD ，点 E 是 BC 上一点， （1）连接 GD，求证： ADG ABE； （2）连接 FC，求证： FCN=45 ； （ 3）请问在 AB 边上是否存在一点 Q，使得四边形 由 考点 ： 正方形的性质； 全等三角形的 判定与性质； 平 行四边形的判 定 专题 ：证明题；开放 型 分析：（ 1）根据同角 的余角相等得 DAG= BAE ，再根据 “SAS” 证得 ADG AB E； （2）

59、过 F 作 BN 的垂线， 设垂足 为 H ，首先证 ABE 、 EHF 全等，然后得 AB=EH ， BE=FH ；然后根 据 AB=BC=EH ， 即 BE+EC=EC+C H， 得到 CH=BE=FH ，即 可得证 （ 3）在 AB 上 取 AQ=BE ，连 接 QD ，首先证 解答： DAQ 、 ABE 、 ADG 三个三角形全 等，易证得 AG 、 QD 平行且相 等，又由于 AG 、 EF 平行且相等， 所以 QD、EF 平 行且相等， 即可 得证 证明：（1）四 边形 ABCD 和 四边形 AEFG 是正方形， DA=BA ， EA=GA ， BAD= E AG=90 ， DAG

60、= B AE， ADG ABE ； （2）过 F 作 BN 的垂线， 设垂足 为 H ， BAE+ A EB=90， FEH+ AEB =90， BAE= H EF， AE=EF ， ABE E HF ， AB=EH ， BE=FH ， AB=BC=EH ， BE+EC=EC+ CH， CH=BE=FH ， FCN=45 ； （ 3）在 AB 上 取 AQ=BE ，连 接 QD ， AB=AD ， DAQ ABE ， ABE E HF， DAQ ABE ADG ， GAD= A DQ， AG 、QD 平行 且相等， 又 AG 、EF 平 行且相等， QD、EF 平行 且相等， 四边形 DQEF