必修五不等式专题附加标准答案解析

1、不等式专题 一共分为6部分 1. 不等关系与不等式 2. 元二次不等式及其解法 3. 二元一次不等式组与平面区域 4. 线性规划与实际应用 5. 线性规划与基本不等式 6. 不等式综合复习 第一部分不等关系与不等式 弼识点符号法则与比较大岀 实数的符号： 任意x R，贝y x 0（ x为正数）、x 0或x 0（ x为负数）三种情况有且只有 种成立。 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： 两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：a 0,b0 a b 0 ； a 0,b0 a b 0 两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：a 0,b0 ab 0 ； a 0,b0 ab 0 两个异号实数

2、相乘，积是负数 符号语言：a 0,b0 ab 0 任何实数的平方为非负数， o的平方为o 符号语言：x R x2 0, x 0 x2 0. 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数a、b a b 0 a b ； a b 0 a b ； a b 0 a b. 对于任意实数a、b,a b,a b,a b三种关系有且只有一种成立。 要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基 础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 I例题展示 1、某人有楼房一幢，室内面积共 180m2，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大 房间面积为18m2， 可住游客5人，每名游客每天住宿费

3、40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3人, 每名游客每天住宿费 50元；装修大房间每间需要 1000元，装修小房间每间需要 600元， 如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式 【解析】假设装修大、小客房分别为 x间，y间，根据题意，应由下列不等关系： （1） 总费用不超过 8000 元 （2） 总面积不超过 2 180m2 ； （3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数 即有： 1000 x 600y 8000 5x 3y 40 18x 15y 180 6x 5y 60 *即 * x 0 (x N ) x 0 (x N ) y 0 (y N ) y 0

4、(y N*) 此即为所求满足题意的不等式组 变式训练3 1、某种杂志原以每本 2.5元的价格销售，可以售出 8万本。据市场调查，若单价每提 高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ x 2 5 【答案】设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为(8 0 2)x万元，那么不等关系销 0.1 售的总收入仍不低于 20万元”可以表示为不等式 x 2 5 (8 0.2)x 20 0.1 2、某矿山车队有 4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有 9名 驾驶员此车队每天至少要运 360 t矿石至冶炼厂已

5、知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙 型卡车每辆每天可往返 8次，写出满足上述所有不等关系的不等式. 解析：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆. 根据题意，应有如下的不等关系： (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数； 车队每天至少要运 360 t矿石； (3)甲型卡车不能超过 4辆，乙型卡车不能超过 7辆. 用下面的关于x，y的不等式表示上述不等关系即可， x y 9 x y 9 10 6x 6 8y 360，即 5x 4y 30 0 x 4,x N 0 x 4, x N 0 y 7,x N 0 y 7, x N 弼识点二：不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基

6、本性质有： (1)对称性：ab bb, bc ac 可乘法则: a b0 ,c d0 a c b d0 (3)可加性： a b a c b c (c R) c 0 ac bc (4)可乘性： ab， c 0 ac bc c 0 ac bc 运算性质有： (1)可加法则: a b, c d a c b d 可乘方性：a b 0, nN an bn 0 可开方性：a b 0,n N ,n 1 n.a nb 要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据 擁展示： 1、对于实数a,b,c判断以下命题的真假 (1) 若 ab,贝U acbc2,则 ab; (3) 若 ababb2; (4) 若 ab|b

7、|; 1 1 (5) 右 ab, ,则 a0, bbc2,所以c工0,从而c20，故原命题为真命题。 a b (3) 因为，所以a2ab a 0 a b匕 又，所以abb2 b 0 综合得a2abb2，故原命题为真命题. (4) 两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题. a b a b 0 5)因为 1 1 ，所以 1 1 0 a b a b b a 0 所以 b a ，从而 abb，所以a0, bv0)， 则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间 2uS u2 v2 平均速度u 2S t 2 2 u v u u 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均

8、速度小于船在静水中的 速度。 变式训慕 1、若 a0b a, cv dv 0，则下列命题：(1)adbe; a b (2) 0 ; (3)a c b d; (4)a (d c) b(d c)中能成立 d c 的个数是().C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、若abb且 bc，贝U ac （实质是不等式的传递性）一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小 作差比较法的步骤: 第一步：作差; 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将 差”化为积”; 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于 号

9、, 最后下结论。 要点诠释: 三步一结论”。这里 定号”是目的， 变形”是关键过程。 例题展示 、 已知a, b, c是实数，试比较 a2 + b2+ c2与ab+ bc+ ca的大小. 1 根据实数 【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合 并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要 )。 运算的符号法则来得岀两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。 【解析】t a2 b2 c2 (ab be ca) 1 2 2 2 =(a b) (b c) (c a) 0， 2 当且仅当a=

10、b = c时取等号. -a2+ b2+ c2為b + bc + ca. 亠、1 1亠 2、已知 a b(ab 0), 试比较一和 的大小。 a b 1 1 b a 【解析】- a b ab t a b 即 b a 0， 当ab 0时 b a 0 1 1 ab a b 当ab 0时b a 0，- 1 ab a b 已知：a、b R 5 且a a b,比较a b 为abba的大小 【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以 联想到作商法. 【解析】- a、b R ，二 aabb 0，abba 0 作商: a b a b b a a b (a)a(b)

11、 (分(a) (* ) (3) (1)若 ab0,则1，a-b0, (-)a b 1 ,此时 a# ab成立； bb 若 ba0,则 01, a-b 0 且 a 比较 b2 一与a b的大小 a 【答案】 (a b) 3.3 a b (a b) ab (b)(a2 2ab b2) (a b)() ab (a b)(a b)20 ab 2 .2 a b a b. b a 4、已知a、 b、c为互不相等的正数，求证: 2a, 2b 2c b c 【答案】a、 b、c为不等正数，不失一般性, 0, 2a 2b 2cb c c a a b 这时a b c 0 , a b c 0,则有: a 2b 2c

12、 a b c(a b) (a c) (b c) (b a) (c a) (c b) b c c a a b abc a b c c, c c a (一) a Q a b c 0 b 由指数函数的性质可知： 1,a b (尹 b 0;1,b c 0;0 c 1,(-)bc 1,(C)ca ca c 1,c-ay zB zy x C. y x zD z x y 2高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 120km/h，行驶过程中，同一车道上的车 间距d不得小于10m，用不等式表示为() ,、v 120km/ h A. v 120km/ h 或d 10m B.C. v 120km/ h D. d 10

13、m d 10m 【答案】C【解析】X loga 2 loga X loga6，y严5町5， z loga I 21 loga - /3 loga 丿7，又由 0Vav 1 知，函数 f(x)= logaX 为减函数，二 yxz.故选 C. 2. 【答案】B【解析】依据题意直接将条件中的不等关系转化为不等式，即为v 120km/h, d 10m 注意这两个不等式要同时成立 3. 已知a,b,c R,则下面推理中正确的是() 22a b A、abam2bm2Bab 33112211 C、a3b3, ab0D、a2b2, ab0 a ba b 4. 若 x+y0,a0,贝U x-y 的值为（） A、

14、大于0B、小于0C 等于0D、符号不确定 3. 【答案】C 【解析】用淘汰法. （A）中若 m=0 不成立；（B）中若 cvO,不成立；（C中 a3-b30|（a-b）（孑+ab+b2）0. 丁 a2+ab+b20 恒成立，故 a-b0. 1 1 ab，又 t ab0,. 一 b (a+b)(a-b)0，不能说明ab,故本题应选(C). 4. 【答案】A【解析】用直接法. / a0: y0 x0, 二 x-y=x+(-y)0.故本题应选(A). 5.已知0 x y a 1，则有() A、loga(xy) 0B、0 log a (xy) 1 C 1loga(xy)2 D loga(xy) 2 f

15、xLI * 6 .右 a、 b是任意实数，且a b，则（） 2 ,2 b / 1、a 1 b A、 a b B、1 C、lg(a b) 0 D、 ) () a 2 2 5.【答案】D 【解析】t :0 x y a 1，/ -0 xy0, 排除A, 又 xy y logaa= 1，排除 B, / loga(xy) = logax+ logay logaa+ logaa= 1 + 1 =2，故选 D. ab - b且y=为单减函数，故 2 因不知道a, b的正负，故可排除A B、C选项. 7.下列命题中的真命题为 (1) 若 ab,则 ac2bc2; 1 1 (2) 若 ab0,则一; a b (

16、3) 若 ab-; a b (4) 若 ab0,则ab0,贝U c a c b 7. 【答案】(4) ( 5) 【解析】 (1) v c20当c=0时ac2=bc2=0,故原命题为假命题 1 (2) 举特例-2-1-1，故原命题为假命题. 2 a b 0 a b 0 3)由于ab0,所以11，所以 1 1 ， .a -，故原命题为假命题 一 0 b a a b b a 4)v ab|b|0 ，. |b| vl，. b VI， 故原命题为真命题 |a| a a b C1 1c (5)： cab0, ， c-bc-a0，.- 0, c a c a c b 又/ ab0，/ a 一 b 故原命题为真

17、命题. c a c b 谍后作业 1若a, B满足 一 2 2若实数a,b,c满足b ，则 2 a 2 c : 3a2 4a 系 1.【答案】 3 2 【解析】 2 2 3 .一冗 籽0, 2 2 2 2.【答案】 b c a【解析】 由已知 b c (a ,b c 3a2 4a 6 由 c 2 a 1 b c 2 a 4a 4 2 “ 12 3 .c a a 1 a (a -)2 0 2 4 B的取值范围是 6,b c a2 4a 4,试确定a,b,c的大小关 又 ，且a B 2 2 2 2 2)20 b c, c a综上所述，b c a 2 2 2 3.已知 a x a,M loga x

18、, N log a(log ax),P=(log ax),则 M、N、P 的大小顺序 4.设 a b 0,m0,n0,则 b a b m a n aba mb n 由小到大的排列顺序是 3. 【答案】 M 2 N【解析】Q a 1 loga xn0, mnm n a a , Q a a 0 1 ,A B 0 即 A B 当0 a 1时， m Q a n a m n0 ,aa 1 , A B 0即A B 综上A B. .7.设x0且x工1,比较1+log x3与2logx2的大小. x 1 3x i， 4 即Ovx1时, logx3X 0 ,此时，1 log x3 2log x 2 . 解析】作

19、差： 3x (1 logx3) 2log x2 logx3x logx4 logx一 4 0 x 1 当3x , x 1 4 x 1 当 J 0 3 x 4 4 即1 x 时 13 log 3x 0 ,此时 1 logx 3 2log x 2，其中 x -时取等号. 3 当3x 即x 1 4 8.已知 一 2 ，求，的取值范围. 2 2 2 【解析】 因为 一 2 ，所以，. 2424424 -时，logx0，此时 1 logx3 2log x2 34 444 综上所述，当 0 时，1 + Iogx32logx2;当 1x 时，1+ logx3 2logx2;当 x=时, 333 1+ log

20、x3 = 2logx2. 两式相廿，得 一 2 2 2 因为，所以一 4244 又a0（a0）的过程 要点诠释： 1解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数; 2 若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3.写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等 式的解集与其系数之间的关系； 5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数 知识点二：类型题讲解 类型一：一元二次不等式的解法 例题展示 例1.解下列一元二次不等式 2 2 2 (1)

21、x 5x0 ；(2) x 4x 4 0 ；(3) x 4x 5 0 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答 【解析】 (1)方法一： 因为 （5）24 1 0250 2 Xi x 2 方法二：x 所以方程x 5x 0的两个实数根为: 5. 5x x(x 5)0 因而不等式x2 5x 0的解集是x |0 x (2) 方法一： 因为 0， 方程 2 x 4x 4 0的解为x1x22. 函数 y 2 x 4x 4的简图为： x 5. x 解得 x 0，即0 x 5或x 5 所以，原不等式的解集是x| x 2 方法二：x2 4x 4 (x 2 2)0 (当 x 2 时, (x

22、2)2 所以原不等式的解集是x|x 2 (3)方法一: 原不等式整理得x2 4x 5 因为 0，方程x2 4x 50无实数解, 所以原不等式的解集是 4x 50的解集是 方法二：- x2 4x 5 (x 2)2 110 二原不等式的解集是. 【总结升华】 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能 0且是 力； 2. 当0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题)；当 一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于 0时，一般都转化为大于 0后，再解答. 变式训练 【变式1】已知函数 x22x,

23、 x 0, f(x) 解不等式f(x) 3 x 2x, x 0 x 0, x 0, 【答案】由题意知c 或2 2 x 2x 3x2 2x 3, 解得：x 1. 故原不等式的解集为x|x 1. 【变式2】解不等式 2 x 2x 3 0 【答案】整理，得x2 2x 3 0 . 因为 0，方程x2 2x 30无实数解, 所以不等式x2 2x 3 0的解集是. 从而，原不等式的解集是. 类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例题展郝 例2.解下列关于x的不等式 (1) x2-2ax 0; (3) x2-(a+1)x+a0 即a2或a-2时，原不等式的解集为 x | a la24 或x a Va24

24、 A=0 即a=2或-2时，原不等式的解集为 x | x A0 即-2a2时，原不等式的解集为 R. (3) (x-1)(x-a)1时，原不等式的解集为x|1xa 当a1时，原不等式的解集为x|ax1 当a=1时，原不等式的解集为 【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步： 定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； 求根：求相应方程的根当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解; 定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，弓I入讨论 变式训练 【变式1】解关于X的不等式：x2 1 (a)x a 0 10(a0) 【答案】原不等式化为

25、 (x 1 a)(x -) a a=1或a=-1时，解集为 ； 当0a1或a1或-1a0时， a 1 ，解集为： x|- x a. a a 【变式2】解关于 x的不等式：x2 (a a2)x 3 a 0 ( a R ) 2 【答案】x (a i a2 )x a30 (x a)(x a2)0 当a 1时，解集为x|x a或x a2； 当a=0时，解集为x | X 0; 当0a 1时，解集为x |x a2或x a； 当a=1时，解集为x |x 1; a 例题展示 例3.解关于x的不等式： ax2 (a+1 )x+1 0. 【解析】若a=0,原不等式 x+1 11 ; 若a0，原不等式x2 (1 )

26、x 1 0 (x -)(x 1) 0， a a a 1 x 或 x 1; a a (1)当 i a=1时，原不等式 x; (2) 当 i a1时，原不等式 1 x 1 ; a (3)1 i 0 a 1时，原不等式 1 x丄 其解的情况应由1与1的大小关系决定，故 综上所述： 1 当a 1; 当0 a 1时，解集为x| x 1. a 【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数 的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要不重不漏 变式训练 【变式1】解关于X的不等式：(ax-1)(x-2)邛 【答案】当a=0时，x (- ,2. 当a工0寸，方程(a

27、x-1)(x-2)=0两根为Xi 当a0时, 【变式2】 1 则有：2 , a 解关于x的不等式: 1,. a ax2 + 2x-10时，则厶0 x ( 1J1a 1 v1 a) a0时, 若 a0, 0, 即a-1时, R； 若 a0, =0, 即a=-1时, 若 a0, 即-1a a2(a R)的解集. 当a 0时, 不等式的解集为 当a= 0时, 不等式的解集为 x|x -或 x 4 x|x R 且 xM0； x|x 3或x 类型三：一元二次不等式的逆向运用 当a v 0时, 不等式的解集为 -J. 例题展示 例4.不等式x2 mx n 0的解集为 x (4,5)，求关于x的不等式 nx

28、2 mx 【思路点拨】 由二次不等式的解集为 (4,5) 可知：4、5是方程 2 x mx n0的二根，故由韦达定理可求出 m、 n的值, 【解析】由题意可知方程x2 mx n 0的两根为x 当a0时, 右a 0,- 2, 即0 a -时， x (,2,); a 2 a 若 a 0, 1 =2 , 即a 1 时， x R a 2 若 a 0, 1 2 , 即a 1 时， x ( 1 ，2,). 由韦达定理有4 5 m, 4 5n m 9, n 20 2 nx mx 10化为 20 x2 9x 1 2 0，即 20 x 9x 10 (4x 1)(5x 1) 0，解 1 军得 _ 4 x 1 5

29、2 故不等式nx mx 1 0的解集为( 1 J 1). 4 5 【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点根据 不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其 系数之间的关系，这一点是解此类题的关键. 技式训练二 【变式1】不等式ax2+bx+120的解集为x|-3x2，则a=, b= 【答案】由不等式的解集为x|-3x2知a 1-2x2对一切实数 求实数a的取值范围. 【思路点拨】 不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为 R,要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 【解析】原不等式等价于(a+ 2)x2 + 4x+ a- 1

30、0对一切实数恒成立， 显然a=-2时，解集不是R,因此a二2， a 2 0, 从而有2 42 4(a 2)(a 1)0. a 2, 整理，得 (a 2)(a 3)0. 解得a 2. 故a的取值范围是(2，+) 【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论 变式训练 【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x 2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 (1) 当 m2+4m-5=0 时，m=1 或 m=-5 若m=1，则不等式化为30,对一切实数x成立，符合题意. 若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数 x均成立，所以m=-5舍去.

31、 (2) 当m2+4m-5工0卩m产1且rn-5时， 由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点, m2 4m 5 0 所以 1)212(m2 4m 5)0 16(m m 1或 m5 即 ，/ 1m19. 1 m 19 综上所述，实数 m的取值范围是m|1 m0 X c. -1 0 2 1 3.不等式a/+5x+c0的解集为X | - 3 D . - x2 + 2x 10 1 x ，则a, c的值为() 2 A. a=6， c=1 B. a= 6，c= 1 C. a=1，c=1D. a= 1， c= 6 1 .【答案】D 【解析

32、】 9x2+ 6x + 1 = (3x+ 1)2，. A不正确；T = X2 | X | 0，- B不正确； X .- 2 -D不正确. 0，二 X -11 OX R)， 2 故 C正确;V X2 + 2x 10-x2 2x + 1 = (x 1)20 的解集是() 11 x C. x| 22 - D. x | 3 x 2 3 A.( g，0) B . ( g， 0) U J 4 4 c.( 汽0 D . ( g， 0 U J 3 4.【答案】 D【解析】 :0v t v 11，. t - 1 .(X t)(x ) 0 t 1 x - t t t t 6.关于x的不等式(1 + m)x2 +

33、mx + mv x2 + 1对x R恒成立, 则实数m的取值范围是（ 5. 答案】C【解析】由题意得，方程 X2 ax b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得2 3a，2 3 m 0 m 0 2 3m 4m 0 2 m 4mm 1 0 综上， m的取值范围为（g， 0. 11 求得a 5 , b=-6，从而解得bx2ax 1 0的解集为x |X 23 6. 【答案】C【解析】原不等式等价于mx2 + mx+ m 1 v 0对x R恒成立， 当m= 0时，0 x2+ 0 x 1 v 0对x R恒成立.当mM0寸，由题意，得 4 m 0. 3 课后作业 1.如果 A= x|ax2 ax+ 1

34、v 0 = ?，则实数 a的取值范围是 2.如果关于x的方程x2 （m 1）x+2 m=0的两根为正实数，则 m的取值范围是 1.答案】 0,4）【解析】 a 0 由题意知2，二0 v av 4. a2 4a 0 当a= 0时，A = x|1 v 0 = ?，符合题意. 0 3.函数f(X) 2【答案】m| 1 2 2 m 2【解析】由题意得：咅x2 0,解得1 2 2 x1x20 一 的定义域是 R,则实数 a的取值范围为 ax 3ax 1 4若关于x的不等式ax2 6x a2 0的解集为(1,m)，则实数m等于 所以原不等式的解集为 x| 4.13 x 413 4.【答案】2【解析】由题意

35、，得1, m是关于x的方程ax2 6x a2 0的两根，则 解得 3【答案】04 【解析】由已知f(x)的定义域是R.所以不等式ax2+ 3ax+ 10恒成立. ，9 (1)当a =0时，不等式等价于1 0,显然恒成立； a 0 4 a 0 a 0 当a工0寸,则有 2 0 a- 0 (3a) 4a 0 a(9a 4) 0 9 由(1)(2)知，0 a 4 4 即所求a的取值范围是 0 9 9 m 2或m3 (舍去) (2) x2 + 8x 3 0; 5解下列不等式 (1)2x2 + 7x+ 3 0; 【解析】 (1) 因为 A=72 4X2X3= 250, 1 所以方程2x2 + 7x +

36、3= 0有两个不等实根X1= 3, X2 2 又二次函数y= 2x2 + 7x+ 3的图象开口向上， 1 、 所以原不等式的解集为 x | x或x 3 2 (2) 因为 A=82 4X 1) X 3) = 52 0， 所以方程x2 + 8x 3= 0有两个不等实根 %413，x24,13. 又二次函数y= x2+ 8x 3的图象开口向下， 6. 不等式mx2+1 mx的解集为实数集 R，求实数m的取值范围. 当m = 0时，不等式即为1 0,满足条件. 0 ，解得 0 v m v 4. (m)2 4m 0 m 当m0时，若不等式的解集为 R,则应有 综上，m的取值范围是m|0 wm0， 3 1

37、1 -,-;当mv0时，原不等式的解集为-, m mm 由 m2x2 + 2mx 3v 0，得(mx 1)(mx + 3) v 0， 口1 3 即x x 0, m m 若m0,则 1 3 m m 所以原不等式的解集为 3 1 ; 1 , m m 若mv 0,则 1 3 m m 所以原不等式的解集为 1 3 m m 综上所述，当 m 二 =0时, 原不等式的解集为R ; 当m0时，原不等式的解集为 o (2) 如果对x -3, 1, f(x)0恒成立，求实数 a的取值范围 14.解析】 2 由题意得： =2( a 2)160，即 oa0得，有如下两种情况: 2 a 3,1 f( 3)0 或 f(

38、1) 0 2 a 3,1 f(2 a) 0 综上所述: 丄,4 9解下列关于x的不等式(ax 1)(x 1) 当a=0时，原不等式即为-(x+1)0,解得x0,数f (x) 1 故不等式(ax 1)(x 1)0的解集为 1,- a (ax 1)(x 1)的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下: 1 故不等（ax 1）（x1）0的解集为（，1）U丄, a 综上所述， 1 当a-1时，不等式的解集为1,-； a 当a=-1时，不等式的解集为空集； 1 当-1a0时，不等式的解集为（，1）, a 第三部分二元一次不等式组与平面区域 知识点二元一次不等式（组）的定乂 1. 二元一次不等式：含有两

39、个未知数，并且未知数的最高次数是 1的不等式叫做二元一 次不等式 2. 二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 3. 二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的 x和y的取值构成有序 实数对（x, y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集 要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次 脚识点二二元一次不等式（组表示平面区域 二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系： 二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（

40、组）的解集就可以看成是直 角坐标系内的点构成的集合. 二元一次不等式所表示的平面区域： 在平面直角坐标系中，直线l : Ax By C 0将平面分成两部分，平面内的点分为三 类： 直线I上的点（x, y）的坐标满足： Ax By C 0 ; 直线I 一侧的平面区域内的点（x, y）的坐标满足： Ax By C 0 ; 直线I另一侧的平面区域内的点（x, y）的坐标满足： Ax By C 0 . 即二元一次不等式 Ax By C 0或 Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C 0的某一侧所有点组成的平面区域, 直线 Ax By C 0叫做这两个区域的 边界,（虚线表示区域不包

41、括边界直线,实线表示区域包括边界直线）. 重点：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定 二元一次不等式表示的平面区域 由于对在直线Ax By C 0同一侧的所有点（x, y），把它的坐标（x, y）代入 Ax By C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0 ） ，从 Ax0 By0 C 的正负即可判断 Ax By C 0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地,当 C 0 时,常把 原点 作为此特殊点） 以上判定方法简称为 “直线定界、特殊点定域 ”法. 不等式组所表示的平面区域 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域, 是各个不等式所表示的平面区域的公 共部

42、分 . 1. 判断二元一次不等式 Ax+By+c 0或0（或0表示直线X y+5= 0上及右下方的点的集合，x +y表示直线x+y= 0上 及右上方的点的集合，XW3表示直线x= 3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区 域: 3、画出下列不等式表示的平面区域 (X y)(x y 1)0 ； x |y 2x 【解析】 x y 0 x y 0 （1）原不等式等价转化为 或 （无解） x y 10 x y 1 /、x y 0 故点（x, y）在区域 内，如图： x y 10 y 0y 0 原不等式等价为 x y 0或 x y 0 ，如图 2x y 0 2x y 0 【总结升华】

43、把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 变式训练 1、画出下列不等式所表示的平面区域 （1）4x 3y 12 ；（2）x 1 【答案】 (1) ( 2) 2、用平面区域表示不等式组7 3x 12 x 2y 2y右上方的区域, 3、画出下列不等式组表示的平面区域 【解析】不等式 y 3x 12表示直线y 3x 12右下方的区域, x 2y表示直线x x y 2 x 2y 3 (2) x 0 y 0 4、用平面区域表示不等式 (x y 1)(x y 4)0 5、用平面区域表示不等式 (i) y x 1 ； x y ；( 3) x y 【答案】 【解析】 AC , 12 表示的平面区域的面积

44、 【法门（特殊三角形） 显然 ABC为等腰直角三角 易得B点坐标为（3, 3），c点 形，A 90 , AB 坐标为(3,9)，则| BC | 由点到直线的距离公式得高 hAC |3 ( 3) 6| 6、2 、2 S ABC -6 . 2 6、236. 2 弼识点三求平面区域的面稅 例题展示 1、求不等式组x 1 八 S ABC212636. 【法2】（面积公式） 易得A点坐标为（-3,3）, B点坐标为（3, 3） , C点坐标为（3,9） 则 | AC| , (3 3)2(9 3)26 2 法 3】（向量法） 易得A点坐标为（-3,3）, B点坐标为（3, 3） , C点坐标为（3,9）

45、则 AC (6,6), AB (6, 6) S ABC 1 |6 ( 6) 6 636 . x y 6 0 故不等式组 x y 0表示的平面区域的面积等于 36. x 3 【总结升华】这一类问题的关键是正确画岀所求平面区域，其实质是二元一次不等式组表示 的平面区域的应用，注意图形的分解转化 变式训练 x y 3 0 1、画出不等式组 x y 0 表示的平面区域并求其面积 x 3 81 4 2、在平面直角坐标系中，若不等式组 ax （a为常数）所表示的平面区域的 0 面积等于2,则 a的值为（ C. 2 【解析】 不等式组 x ax 所围成的区域如图所示. t= 11+-1=0 .其面积为 2

46、,. |AC|= 4, C 的坐标为（1,4），代入 ax y+ 1 = 0, 得a= 3.故选D. 3、已知M,N是y x x ，所围成的区域的两点，则 y 10 y 6 | MN |的最大值是 解析：不等式表示的平面区域，如图所示， 第9题 弼识点四：实际应用问衙 观察图可得|MN|的最大值是|AB| （51）2（2V）.17 1、某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下 面的数据表格（以班级为单位）（注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以2030个班 为宜，老师实行聘任制）. 学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设 教师年薪 初中 45 2 26万

47、元/班 2万兀/人 咼中 40 3 54万元/班 2万兀/人 【思路点拨】本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件. 【解析】设开设初中班 x个，高中班y个根据题意，总共招生班数应限制在2030之 间，所以有20 x+ y 30. 考虑到所投资金的限制，得到26x + 54y + 2X2x + 2X 3y 1 200即x + 2y 40. 另外，开设的班数不能为负且为整数，即x N，y N . 把上面四个不等式合在一起，得到： 20 x y 30, x 2y 40, x N, y N. 用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域

48、（阴影部分）. 【总结升华】用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需 要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示岀 来，建立数学模型，在画出表示的区域 变式训练？ 1完成一项装修工程，请木工需付工资没人 50元，请瓦工需付工资没人 40元，现有工人 工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，用不等式表示请工人人数的范围 【答案】 50 x 40 y 2000 x N, y N 2、某运输公司有7辆重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，有9名 驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，

49、已知每辆 卡车往返的次数为 A型卡车8次，B型卡车6次，列出满足搬运条件的数学关系式，并画出 相应的平面区域. x 7 y 4, x y 9, 6 8x 10 6y 360, x 0, y 0. 0 x 7, 即 0 y 4, x y 9, 【解析】设每天岀动 A型车x辆，B型车y辆，则 4x 5y 30 课堂知识回顾: 当堂測试 A.( 0, 1) B.( 1 , 0) C.( 0, 2)D.( 2, 0) 2.若点（3,1）和（-4,6）在直线3x-2y+a=0的两侧，贝U a的取值范围是（） D. -24a7 A. a24B. a=7 或 a=24 C. -7a 0表示的平面区域是()

50、x y 0 x y 0 A. B. x y 0 x y 0 C. x2 y2 0 5.不等式组 x 3 0 泊勺面积等于（ x y 表示的平面区域 x y 2 0 39 A. 28 B. 16 C. D. 121 4 1.【答案】 C 4在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式（组）是（ ) ) *+=( 【解析】将选项中点的坐标代入不等式2x+3y v 5,能使不等式成立的只有C 2.【答案】 【解析】 C: 因为点（3,1）和（-4,6）在直线3x-2y+a=0的两侧，令f （x, y） 3x 2y a，则有 f(3,1)f( 4,6) 0，解得-7a0表示的平面区域; 4【解析】设 F

51、(x, y)= 2y 5x 10, 作岀直线 2y 5x 10= 0, A到原点的距离为5. / F(0,0) = 2X 0 5X 0 10= 10v 0, 所求区域为不含(0,0)的一侧，如图所示. 5画出以下不等式组表示的平面区域: xy10 xy0 x2 5【解析】如图所示不等式表示直线 x+ y 1= 0的右上方(包括直线)的平面区域; 得a的取值范围是18v av 14. 不等式表示直线 x y = 0右下方(包括直线)的平面区域； 不等式表示直线 x = 2左方(包括直线)的平面区域. 所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分). 6A ABC的三个顶点坐标分别为A(0

52、,4), B( 2,0), C(2,0)，求 ABC内任意一点(x, y)所满 足的条件 y 0 6【答案】 2x y 4 0 2x y 4 0 【解析】分别求三边的直线方程，易得y= 0,2x y+ 4 = 0,2x + y 4= 0.在三角形内找一点 (0,1)以确定各不等式的不等号的方向因不包括边界，所求三个不等式为: y 0,2x y + 4 0,2x + y 4v 0. 7.已知D是以点A (4 , 1), B ( 1, 6), C ( 3, 2)为顶点的三角形区域(包括边 界与内部)。如图所示。 (1)写出表示区域 D的不等式组; (2) 设点B ( 1, 6), C ( 3, 2

53、)在直线4x 3y a=0的异侧，求a的取值范围。 7 .【解析】 (1) 直线 AB、AC BC的方程分别为 7x 5y 23=0, x+7y 11=0, 4x+y+10=0 7x 5y 230, 原点(0, 0)在区域D内，表示区域 D的不等式组：x 7y 11 0, 4x y 100. (2)将B、C的坐标代入4x 3y a，根据题意有(14 a)( 18 a) v 0, 第四部分线性规划与实际应用 线性规划练习题 x 2y 2 1 若变量x , y满足约束条件 x y 0，贝V z 2x 3y的最大值为（） x 4 A. 10 B. 8 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】作出可行

54、域如图所示： 作直线l0 : 2x 3y 0，再作一组平行于l0的直线| : 2x 3y z ,当直线|经过点 时，z 2x 3y 取得最大值，由% 2y x 4 2 x 得： y 4 ，所以点 1 的坐标为4, 1 ，所以Zmax 2 4 3 故选C. 考点：线性规划. x y 3 2 设变量X， y满足的约束条件 x y 1，则目标函数z y 1 4x 2y的最大值为（ A. 12 B. 10 【答案】B C.8 D. 2 【解析】 由上图可得z在A 2,1处取得最大值，即zmax 4 2 2 1 10 . x + y-3 豈 6 孑 3若平面区域 5 心。夹在两条斜率为衣的平行直线之间，

55、则这两平行直线间的距离的 A. B. 最小值为 C. D. 【答案】C 【解析】作出平面区域如图所示: 0 2 =)c + b 当直线 3 分别纟 -3 = 联立方程组 by z + y -3 联立方程组 2y + 3 ；,解得 B(1,2). 2 A , B时，平行线间的距离相等。 =0 =0 ,解得 A(2,1), =0 =0 两条平行线分别为 2 4 二一累 * J 3 3 ，即 2x-3y-1=0，2x-3y+4=0. 二平行线间的距离为 13 故选C. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是：一、准确 无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注

56、意与约束条件中的直线的斜率进 行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取 得 % *壮0 y -1 0 4若满足约束条件张+ ，则的最大值为（） 11 13 14 A. 3 B. 3 C. 【答案】C 【解析】 作出如图所示可行域，令 =由0得直线 = -2x|,由图象知当平移至过 4 A（37） 点时, 1 14 目标函数取最大值故本题答案选 5 若O为坐标原点，已知实数 P x,y , x y x,y满足条件x y 2x y 1 1，在可行域内任取一点 2 A. 1 B.3 则OP的最小值为（） 3 D.- 2 【答案】C 【解析】OP表示原点到可行域

57、的距离，画出可行域如下图所示，由图可知，圆点到直线x y 1 0 的距离最小，最小距离 d 6.（本小题满分12分） 7x 5y 230 已知x,y满足条件 x 7y 11 0 4x y 10 0 求：（1）4x-3y的最大值 （2）x 2+y2的最大值 8的最小值 x 5 【答案】（1）最大值为13 （2 ）最大值为37 （ 3）最小值为-9 【解析】 7x 5y 23 0 试题分析：解：x,y满足条件 x 7y 11 0 根据不等式组表示的区域可知，当目标函数过点（4, 1） 4x y 10 0 时目标函数的截距最大且为 13,故可知）4x-3y 的最大值 为13。而目标函数表示的为区域内

58、点到原点距离里平方的最大值，因此点（4, 1）满足题意，得到为17. 而对于1一8表示的为区域内点与（5，-8 ）的连线的斜率的最小值，可知过点（4，1 ）取得最小因此可 x 5 知 （1 ）最大值为13 （ 4分） （2 ）最大值为37 （ 8分） （3 ）最小值为-9 （ 12分） 考点：线性规划的最优解的求解 点评：解决该试题的关键是对于目标函数的理解，结合两点的距离公式和两点的斜率公式来求解运用，属 于基础题。 7.（本小题满分12分） 某投资人打算投资甲、 乙两个项目根据预测，甲、乙两个项目最大盈利率分为 100%和50% 可能的最大亏损率分别为 30%和10%投资人计划投入的资金额

59、不超过 10万元如果要求确保 可能的投入资金的亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能 使可能产生的盈利最大？ 【答案】投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，取得的盈利最大为7万元 【解析】 试题分析：解：设投资人投入甲、乙两个项目的资金分别为x万元和y万元，则它可盈利 z x 0.5y 0.3x0.1y 1.8 x 0 y o 作过原点的直线l0 : y 2x，平移经过点（4，6）是纵截距最大 所以当 x=4，y=6 时，Zmax 7 所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，取得的盈利最大为7万元 考点：本试题考查了线性回归的实际应用。 点评：解决该试

60、题的关键是要根据题意，将实际问题转换为数学问题，抽象岀不等式的关系，进而得到不 等式组，结合图象法，结合线性回归的知识来分析得到最值问题，属于基础题。 (2) 取等号 2 2由公式a - 空2 a b b a 一 a b 2 1 1 a b 要点诠释： a b、2 “=”的条件在形式上是相同的，都是当且仅当a b时取等号” b2 2ab和宁石可以引申岀常用的常用结论 （a, b同号）； 2 （ a,b异号）； (a 0,b0)或 ab )2 b (a 0,b0) 2 a2 2 b 2ab可以变形为：ab b2 - ab可以变形为: ab 2 a+ b 1.基本不等式ab 0且x工1时， lg