2010年数学建模竞赛A题论文

1、储油罐的变位识别与罐容表标定【摘要】一、 问题重述1.1背景通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用油量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。1.2问题提出问题一：为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位

2、和倾斜角为a=4.1的纵向变位两种情况做了实验（实验数据如附件1所示）。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。问题二：对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、 问题分析问题一：要确定罐体变位对罐容表的影响，需要研究罐体变位前

3、后罐内油位高度与储油量的对应关系。首先分析罐体无变位时的情况。卧式储油罐的长度一定为2.45米，且为两端平头的椭圆柱体，当油位高度一定时，罐内油体各截面面积相同，利用一重定积分可以计算出此截面的面积，从而算出此时的储油量。然后分析罐体变位（4.1）后储油量与油面高度的变化关系。由于此时罐体倾斜，罐内油体各截面面积不相同，这比无变位时的情况复杂得多，无法直接得到截面面积，但是，在某一油位高度下可以确定与两端一定距离截面的面积表达式，再通过定积分来求出罐内油的体积，这样可以通过讨论不同油面高度的情况下，储油量与油位高度的关系，最后再通过分析对比理论值与实际值间的差别与联系来处理结果。在本文后面的模

4、型建立和求解过程中有该分析过程的详细解答。问题二：考虑实际储油罐的情况时，需要增加两端的球冠体，同时储油罐的变位参数变为a，b，这样问题变得更为复杂。考虑运用积分等数学推导得到罐内储油量与油位高度及变位参数的理论表达式，再通过模型的建立和实验数据寻找适当的算法来确定变位参数的大小。通过理论和实际数据的统一整合后，对罐容表进行标记，最后再通过附录中的数据进行检验模型的正确性与方法的可靠性。关于变位识别，可以通过判断变位参数是否为0来确定罐体是否倾斜。在后面的求解过程中我们给出了该分析的较详细解答过程。三、 模型假设（1）计算罐体内的储油量（油的体积）时，忽略罐体内出油管、进油管、油位探针等的体积

5、；（2）在各管道内及罐壁内表面吸附、残留的油的体积忽略不计；（3）统计罐体内油的体积时，不考虑因压强、温度等的不同而导致油的密度、分布不均匀等引起的问题；（4）对容器壁等的厚度忽略不计；（5）对实际储油罐，发生倾斜时，两端球冠体的油面处理为与倾斜面平行。四、 符号说明：油面高度为时，罐体内油体截面面积；：油面高度为时，罐体内的储油量； ：两端平头的小椭圆型储油罐卧式长度；：油浮子到左侧椭圆面的距离；：油浮子到右侧椭圆面的距离；：小椭圆型储油罐的高度；：储油罐油浮子处量得垂直油罐底面的油的高度；：储油罐中点处量得垂直油罐底面的油的高度；：实际储油罐实际油面高度；：实际储油罐圆柱体的截面半径；：实

6、际储油罐两端球冠体的半径；：实际储油罐圆柱体的长度。五、 模型的建立与求解5.1问题一基于以上对问题的详细分析，我们可以建立以下的数学模型来求解罐体变位对罐容表的影响。5.1.1罐体无变位时，模型的建立与求解：此时罐体内油的截面积相同，为椭圆阴影部分的面积，现以椭圆中心为原点，建立直角坐标系xoy来求出其面积。如图1所示：图1先求得如图椭圆的方程为：则图中a、b两点的坐标分别为：积分微元的面积为：椭圆阴影部分的面积为：则可以得到油面高度为时罐体内储油量为：其中：通过matlab7.0中数值积分可以得到、的表达式为：所以得到在无位变的情况下储油量与罐内油位高度的对应关系。5.1.2罐体倾斜角4.

7、1时，模型的建立与求解：罐体倾斜时，当油面高度变化时，罐体内储油量与油面高度对应关系在不断改变，需要分段进行考虑。设在油罐中点处量得垂直油罐底面的油高为,则由几何关系(见图2)可得到：当时，如图2所示按照5.1.1中相同方法通过积分可推导得到此时储油量与h关系：其中：；这样就得到与h的对应关系。当时，如图3所示此时油罐内的容油量可认为是长为，高为的油罐，按照前述方法可求出：图2图3当时，如图4所示此时,可按求出图4中阴影部分面积,再用罐体的总容积减去即可得到储油量，其中的求法与中的一样可得到：其中：,所以：当时，如图5所示此时储油量并不为0，最大储油量即为情况的临界状况，为，最小值为0。在5.

8、1.1中油面高度一定时可以得到油体截面面积，当高度改变时，按同样的方法可以得到：其中：所以：图4图5当时，如图6所示此时罐体内储油量并不一定最大，可得到此时最大值即为罐体的容积为，最小值为情况中的临界状态为。按照中方法，先求出中阴影部分体积,再用总面积减去即可，类似中的情形，可得到： 其中：得到：所以：图6综上所述，当罐体有位变时，罐体内储油量与油面高度之间的关系为：（其中，）代入数据后即可得到罐体内储油量与油面高度之间的关系。通过罐体内储油量与油面高度的理论表达式可以得到各组相对应的理论数据。5.1.3结果的分析：在无变位进油的情况下，观察数据得到，理论油量与实际油量的差值逐渐增大，第一个差

9、值为10.88升，最后一个差值为138.45升，处理数据得到，其理论油量一级逐差值均在51.7升左右很小的范围内波动，而实际油量的一级逐差值为50升，即每个油位高度差对应的理论油量比实际油量多=1.7升，且理论油量与实际油量相差一个系数（=实际油量/理论油量=96.63%）。经过分析，造成这些情况的原因可能是理论油量计算中储油罐的形状参数是外侧的参数，实际测量中储油罐的内侧参数不好得到，故使用外侧参数进行计算，1.7升即为每个高度差对应的容器壁所占的体积。现对此猜想进行数学推导验证，如下图7所示：图7设容器壁厚度为,由于罐体两端面积很小，忽略由此容器壁厚度而造成的体积变化，则由图上关系可知：说

10、明当高度差一定时，理论储油量的逐差值总比实际储油量逐差值多，这即是由于容器壁的厚度而产生的差别，正好是每个油位高度差对应的理论油量比实际油量多的=1.7升。由此得到无变位进油油量的理论修正公式：未修正理论油量和实际油量与油面高度关系的散点图如图8所示：图8：未修正理论油量和实际油量与油面高度关系散点图修正后理论油量和实际油量与高度关系的散点图如图9所示：图9：修正后理论油量和实际油量与高度关系散点图在无变位出油的情况下，数据没有给出初始油量，由上面无变位进油得到的修正理论油量公式得到最低油位高度的油量，以这个值作为初始值得到实际油量，与由修正理论量公式得到的数据进行对比，可以发现差值非常小，而

11、这个差值可能是由于进油和出油两个不同过程中油受到压强不同，密度有变化造成的，由于差值非常小，本文的研究中可以忽略，由此可将出油与进油两个过程油量与油位高度的关系统一，均采用进油过程的油量与高度关系。在倾斜变位进油的情况下，理论计算得到的数据与实际数据差值较大，除了无变位情况中考虑的容器体积的影响外，还有由倾斜引起的一些未知因素，以及理论算法中做的近似处理，这些都是引起误差的原因，由于这些误差难以定量研究，这里通过已有的实际数据和理论数据，利用统计分析的方法寻找它们之间的关系。a、画散点图：以理论数据为x值，实际数据为y值画出散点图，如图10所示。图10：倾斜变位进油的理论油量与实际油量关系的散

12、点图b、建立模型：由散点图可看出数据点基本都落在一条直线上，可建立一元线性回归模型：其中是未知常数，称为回归系数；是随机误差，要满足期望为零。需要从已知数据得到的估计值，即可求出一元线性回归方程c、参数求解：直接利用matlab统计工具箱中的命令regress求解，并用rcoplot命令进行残差分析，得到下面的结果（程序及详细结果见附录）：残差图如图11所示，从途中可以看出除了第一个和第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明得到的回归模型能较好的符合原始数据，而第一个和第二个数据可视为异常点。图11：残差分析图d、检验：在上面参数求解中得到的相关系数r、f值

13、由于matlab的精度限制未能得到符合实际的解，所以这里采用spss软件进行进一步求解，得到部分结果如下：r=1.000，r=1.000，f=192019.441，由此可看出模型是合理的。回归方程与散点图的对比图如图12所示（使用matlab绘制）：图12：回归方程与散点图的对比图通过上述一元线性回归模型得到的实际油量与理论油量的关系，来修正理论公式，得到最后的油量公式如下：用修正后的油量公式算出的数据与实际数据进行对比，差值减小了很多，如图13所示：图13：修正后理论油量和实际油量与高度的关系图考虑倾斜变位出油的情况时，与无变位进油一样没有油量的初始值，由变位进油的分析得到油位高度在917.

14、34mm附近理论值与实际值最接近，由此算出出油时油位高度为916.44升的理论油量，以这个值作为实际值的初始值，通过累加进油量得到每个油位高度对应的实际油量。然后利用变位进油得到的修正公式算出变位出油的理论油量，与实际油量进行对比，对比图如图14所示，图形基本重合，在误差允许范围内，进油与出油均可利用进油时得到的修正公式进行罐容表的标定，由上面得到标定范围为（1471 ，1171）mm，得到标定值如下表1所示。图14：变位出油的理论油量和实际油量与高度的关系表1：标定值高度（mm）无变位标定值（l）倾斜变位标定值（l）10803764.9343640.59910903789.7413671.1

15、4411003813.5533700.94311103836.3053729.95811203857.92437583213785.47411403897.3923811.88211503915.013837.32111603931.0133861.73111703945.1833885.043注：表1给出罐容表标定值最后的10个，全部的标定值在附录中。两个标定值的对比散点图如图15所示：图15：无变位标定值和倾斜变位标定值分别与高度关系的散点图由图15可知，在油位高度接近满罐的时候，无变位标定值与倾斜变位标定值非常接近，油位高度越小，差值越大。5.2问题二5.2.1

16、模型的建立经查阅资料，考虑到实际油罐体在变位后对油位高度有一定的要求，为安全高度。此问题中安全高度为，故只考虑这个高度段的情形即如图17所示得情况。5.2.1.1首先计算罐体主体圆柱体中油的的体积b的引入当只有横向偏转角度b时，如图16所示，罐体内油位实际高度值和所读出油位高度值，由图上几何关系可得：图16的引入在图16所建立的坐标系中，可以得到圆的方程,则图示a点坐标为，积分可得到油面面积为：通过matlab软件进行数值积分得：当纵向倾斜角为时，距离左端原点水平距离为处的实际油位高度为：将带入到中可以得到：所以罐体主体圆柱体的体积即可表示为：5.2.1.2再计算出两端球冠体中油的体积在求解球

17、冠体的体积时，分析后可通过一个简单的近似来简化计算，即使球冠体中水平的油面近似处理为平行于罐体倾斜时的平面。图17先由图17中几何关系求出球冠体的半径：解得：按照与5.2.1.1中相同的方法积分按图示17可以得到：将带入到中可以得到，所以得到球冠体中油量为：其中：综合5.2.1.1和5.2.1.2中的计算可得到在位变和下实际罐体内的储油量为：，其中：， ，5.2.2模型的求解用最小二乘法求：上面计算得到的罐内储油量与油位高度及变位参数的关系，油位高度与储油量的关系不是线性关系，这里采用最小二乘法求解变位参数的估计值，一般非线性模型的形式为：其中，f是一般的非线性函数，是参数向量（ ），是随机误

18、差变量，期望为零。编程实现：step1：采用高斯-牛顿公式，直接求出.step2：取的初值均为0，得到对应的雅克比矩阵j与y - f.step3：由递推公式.算出每一次递推的参数估计值，直到估计值不变，即为.模型求解可利用matlab统计工具箱中的nlinfit命令实现，使用格式为：beta,r,j=nlinfit(x,y,model,beta0)其中输入x为自变量数据矩阵，每列一个变量；y为因变量数据向量；model为模型的m函数文件名，m函数形式为y=f(beta,x)，beta为待估计参数；beta0为给定的初始参数。输出beta为参数的估计值，r为残差，j为用于估计预测误差的jacob

19、i矩阵。参数beta的置信区间用命令nlparci(beta,r,j)得到。为求解变位参数，这里取0 0作为非线性模型参数估计的初始迭代值，得到，以及它们的置信区间，数值结果见表2（程序和详细结果见附件）。表2：数值结果参数参数估计值置信区间a5.1b2.35.2.3结果的分析由上述理论公式得出来的理论油量与实际油量有一定偏差，同问题一中的处理方式一样，采用回归方法找到它们内在的联系。（注：实际储油罐的采集数据中给出的是显示油量容积，也就是未考虑变位的标定值所显示的容量，并非实际流量。这里采用第一问数据分析的结论，即油位高度越大，越接近满灌时，变位对标定值的影响越小，采集数据中油高最大值为26

20、32.23mm，显示油量容积为60448.88l，将这个油量容积值近似为实际油量值，得到后面出油过程中不同时刻的实际油量）首先画出理论油量与实际油量的散点图，由图可看出点大致在一条直线附近，建立一元线性回归模型，用matlab统计工具箱中的命令regress求解，并用rcoplot命令进行残差分析，得到下面的结果（程序及详细结果见附录）：残差分析与检验均与第一问的处理方法一样，这里不再赘述。由上面得到的一元回归方程修正理论油量计算公式，结果如下：接着，用修正后的理论油量计算公式算出理论油量，与实际油量进行对比，数据基本一致（如图18），可见模型建立的罐内储油量与油位高度及变位参量的关系精度较高

21、。用修正后的油量公式标定油位高度间隔为10cm的罐容表，得到部分结果如下表3，全部结果见附录。表3：标定值高度（mm）变位标定值（l）5407732.246409620.2874011906.5684014251.4594016698.82104019171.12114021827.61图185.2.4变位识别通过对两个问题的建模研究，得到了罐内储油量与油位高度及变位参数的函数关系，这个关系提供了变位识别的一种方法，即，当知道一个油量高度和出油量后，将这两个数值代入该函数关系，若解出变位参数为0，则说明储油罐无变位，若变位参数不为0，则表示该储油罐发生了位变。六、 模型的评价与推广6.1模型的

22、评价：6.1.1模型的优点：（1）通过分类讨论，积分思想以及最小二乘法、回归、曲线拟合等模型较为成功、快捷地解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（2）在问题一中无位变时通过画出散点图来分析理论值与实际值之间的关系后，再详细分析各项数据后得出它们之间差异的可能产生原因是容器壁厚度产生的体积影响并对此作出相应的计算和推导，使理论和实际更加接近，让读者更加清楚实际和理论值差别所在。（3）处理数据时，采用excel工作表上作业方式，这样减少数据的导入，导出，并且通过出油的储油量很好的验证了进油时储油量的数据，说明处理方法合理，与实际相符。（4）分析求解问题时采用图文并貌，这样使得问题的描述更加清晰

23、，更容易理解，计算时利用编程软件matlab加快解题速度。6.1.2模型的缺点：（1）问题一中在有位变时，处理分析理论和实际得到的不同数据时，利用一元线性回归模型得到的回归方程，计算所得理论数据和实际数据吻合的误差有点大，统一的效果不是特别好，需要寻找更合理的统一方法。（2）在问题二中得到罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系时积分比较复杂，花费了一些时间和精力。6.2模型的的推广：由于题中信息有限，所以本文模型在实际应用时仍存在改进和推广的空间，若信息充足，则为使模型更具合理性和实用性，可在如下方面进行改进和推广：（1）若知道容器壁的厚度和出油、进油

24、管的形状参数后，可进一步计算出更为准确的理论值，这样得到的罐容表就与实际情况更为接近了，对实际更具有指导意义。（2）考虑到随着注入油量的增多而导致油罐内的压强变化而导致不同部位油的密度发生变化，这样会对注入油量体积的统计产生一定的影响。在知道这个具体的变化规律后可对罐容表进行更为准确的标记。（3）在对变位进行识别模型中可以考虑通过已求得的罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系求出a或b的函数式，这样就可以通过储油量和油位高度来直接判断是否发生位变，但具体求法还需做进一步研究。 参考文献：1姜启源 谢金星 叶俊，数学建模（第三版），北京：高等教育出版社，2003年8月2 陈东彦 李冬梅 王

25、树忠，数学建模，北京：科学出版社，2007年12月第一版3刘卫国，matlab程序设计与应用（第二版），北京：高等教育出版社，2006年7月4刘军英 刘碧玉 韩旭里，微积分（上册），北京：科学出版社，2008年7月第二版附录：结果部分：问题一中的标定（论文中表1的补充）：表1：标定值高度（mm）无变位标定值（l）倾斜变位标定值（l）150286.540776.575160314.8055100.082170343.8281124.674180373.5727150.285190404.0058176.855200435.0965204.332210466.8155232.669220499.1

26、354261.823230532.0302291.753240565.4752322.423250599.4471353.799260633.9235385.849270668.883418.544280704.305451.854290740.17485.7545300776.4588520.2186310813.1532555.222320850.2354590.744330887.6882626.761340925.495663.252350963.6395700.1973601002.106737.5773701040.879775.3733801079.943813.56639011

27、19.285852.1394001158.889891.0754101198.741930.3574201238.827969.9694301279.1351009.8954401319.651050.1204501360.3591090.6294601401.251131.4064701442.3091172.4384801483.5251213.7104901524.8831255.2085001566.3731296.9185101607.9811338.8275201649.6961380.9225301691.5051423.1895401733.3971465.6155501775

28、.3591508.1875601817.381550.8945701859.4491593.7215801901.5521636.6585901943.6781679.6906001985.8171722.8066102027.9551765.9946202070.0821809.2416302112.1851852.5356402154.2531895.8656502196.2741939.2176602238.2371982.5816702280.1292025.9446802321.9382069.296902363.6532112.6177002405.2612155.90471024

29、46.7512199.1427202488.1092242.3187302529.3242285.4217402570.3842328.4387502611.2742371.3567602651.9842414.1637702692.4992456.8487802732.8062499.3967902772.8932541.7968002812.7452584.0348102852.3492626.0978202891.692667.9738302930.7552709.6488402969.5282751.108503007.9942792.3398603046.1392833.328870

30、3083.9462874.0608803121.3982914.5208903158.4812954.6959003195.1752994.5689103231.4643034.1249203267.3293073.3479303302.7513112.2229403337.713150.7319503372.1873188.8569603406.1593226.5829703439.6043263.8889803472.4983300.7569903504.8183337.16710003536.5373373.10010103567.6283408.53410203598.0613443.

31、44610303627.8063477.81510403656.8283511.61510503685.0933544.82110603712.5613577.40610703739.193609.34210803764.9343640.60010903789.74136715533700.94311103836.3053729.95811203857.92437583213785.47411403897.3923811.88211503915.013837.32111603931.0133861.73111703945.1833885.04

32、3问题二中的标定（论文中表1的补充）：表3：标定值高度（mm）变位标定值（l）5407732.246409620.2874011906.5684014251.4594016698.82104019171.12114021827.61124024555.56134027323.34144030160.78154032901.21164035746.98174038426.23184041321.45194044115.69204046783.2214049331.28224051805.49234054219.63244056547.82254058639.34264058639.3427405

33、8639.34284058639.34程序部分：第一问倾斜变位后的体积积分g=inline(-0.18.*acos(-1+(-tan(4.1*pi/180).*x+h+0.4*tan(4.1*pi/180)/0.6)+0.09.*sin(2.*acos(-1+(-tan(4.1*pi/180).*x+h+0.4*tan(4.1*pi/180)/0.6)+0.18*pi)*2*0.89/0.6)i=quadl(g,0,2.45)第二问积分向泰勒展开式的转换。 %s=2.25*pi+2.25/2*sin(2*acos(-1+h/1.5)-2.25acos(-1+h/1.5)%圆的面积与高度的关系%

34、h 读数高%h1 实际高%h1=(1.5+(h-1.5)*cos(b)实际高和读数高的关系syms h a b x;%v1=2.25*pi+2.25/2*sin(2*acos(-1+(1.5+(h-1.5)*cos(b)+2*tan(a)-tan(a)*x)/1.5)-2.25*acos(-1+(1.5+(h-1.5)*cos(b)+2*tan(a)-tan(a)*x)/1.5);%积分从0到8 其中h3=(h1+2*tan(a)-tan(a)*x) %身体的面积v2=2.640625*pi+2.640625/2*sin(2*acos(-1+(sqrt(1.6252-(1.5-x)2)-0.6

35、25)/1.625)-2.640625*acos(-1+(sqrt(1.6252-(1.5-x)2)-0.625)/1.625);%积分从0既到h,y=taylor(v2,x,4,1)%h=(sqrt(1.6252-(1.5-x)2)-0.625) %头部关系处理 %h=1.5+(h-1.5)*cos(b)+2*tan(a)或h=1.5+(h-1.5)*cos(b)-6*tan(a)倾斜进油情况中一元线性回归的程序：30y=962.861012.861062.861112.861162.861212.861262.861312.791362.791412.731462.731512.73156

36、2.731612.731662.731712.731762.731812.731862.731912.731962.732012.732062.732112.732162.732212.732262.732312.732362.732412.732462.732512.732562.732612.732662.732712.732762.732812.732862.732912.732962.733012.733062.733112.733162.733212.733262.733312.733362.733412.733462.733512.733514.74；x1=1010.0471058

37、.3321118.0471167.5331222.1461279.1981327.4871382.6071433.6051484.9551536.0831591.8741645.1481697.3981749.8861796.6211848.8141900.051952.7361999.212052.6972103.2312148.4492202.2732252.7392303.7362352.1752402.7462452.2362497.8952548.6562599.5552644.6892696.2772748.8372798.8722847.2232895.8632942.06929

38、92.5683044.2133089.6433140.8323189.7233234.0483284.1163334.6073379.0243423.5493473.1893517.6573569.4573573.228;x2=ones(53,1);x=x2 x1;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b = -73.2542 0.9986bint = -84.5092 -61.9992 0.9940 1.0031r = 27.5149 29.2991 19.6697 20.2547 15.7199 8.7497 10.5299 5.4189 4.4940 3.157

39、6 2.1029 -3.6081 -6.8057 -8.9808 -11.3936 -8.0616 -10.1798 -11.3424 -13.9528 -10.3602 -13.7706 -14.2321 -9.3853 -13.1322 -13.5258 -14.4497 -12.8193 -13.3178 -12.7369 -8.3304 -9.0187 -9.8447 -4.9140 -6.4281 -8.9127 -8.8760 -7.1577 -5.7280 -1.8678 -2.2944 -3.8654 0.7698 -0.3459 0.8332 6.5717 6.5755 6.

40、1569 11.8035 17.3424 17.7735 23.3693 21.6435 19.8879rint = 4.0676 50.9623 5.9690 52.6293 -4.5272 43.8667 -3.9556 44.4650 -8.8148 40.2547 -16.1170 33.6164 -14.3240 35.3839 -19.6131 30.4510 -20.5932 29.5813 -21.9844 28.2997 -23.0839 27.2898 -28.8178 21.6016 -31.9947 18.3832 -34.1443 16.1827 -36.5057 1

41、3.7185 -33.2999 17.1767 -35.3791 15.0195 -36.5218 13.8371 -39.0448 11.1391 -35.6064 14.8859 -38.8992 11.3581 -39.3512 10.8869 -34.6955 15.9249 -38.3151 12.0507 -38.6967 11.6450 -39.5818 10.6823 -38.0230 12.3844 -38.4990 11.8633 -37.9385 12.4648 -33.6749 17.0140 -34.3362 16.2988 -35.1273 15.4379 -30.3016 20.4735 -31.7739 18.9178 -34.1809 16.3554 -34.1268 16.3747 -32.4326 18.1172 -31.0104 19.5544 -27.1742 23.4387 -27.5712 22.9824 -29.0971 21.3663 -24.4569 25.9964 -25.5396 24.8478 -24.3253 25.9917 -18.4856 31.6291 -18.4425 31.5935 -18.8279 31.1416 -12.9781 36.5852 -7.1341 41.8188 -6.629