03第三节偏导数

1、分布图示 第三节偏导数 偏导数的定义 例2 有关偏导数的几点说明 偏导数的几何意义 科布-道格拉斯生产函数 高阶偏导数 例7 例1 0 混合偏导数相等的条件 内容小结 习题6-3 例1 例3例4 例5 偏导数的经济意义 例6 例8例9 例11 例12 课堂练习 内容要点 一、偏导数的定义及其计算法 定义 1设函数z f (x, y)在点(xo,yo)的某一邻域内有定义 ,当y固定在yo而x在xo 处有增量 x时，相应地函数有增量 f (Xo X, yo) f (Xo, yo), f(Xo一f (Xo,yo)存在，则称此极限为函数 如果lim X 0 x 对X的偏导数，记为 z f (X, y)

2、在点(Xo, yo)处 X yo X Xo y yo ,Zx：X0或fx(Xo,yo). 例如，有 fx(Xo,yo)lXmo f (Xo X, yo) f(Xo,y。) 类似地，函数z f (X,y)在点(x,y)处对y的偏导数为 y) f(x,y) y 记为 z f J ,Zy X Xo y x xoy XXo y yo y y y y。 或 fy(Xo,yo). 上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看作常数, 然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之 易见,表示Q对价格p由p变到pp的平均变化率而 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：

3、 (1) 对一元函数而言，导数dy可看作函数的微分 dy与自变量的微分dx的商但偏导 dx 数的记号上是一个整体. x (2) 与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求. (3) 在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连 续但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续 xy 2 x 0, 例如，二元函数 f (x, y) 2，(x, y) (0,0) y (x,y)(0,0) 在点(0,0)的偏导数为 fx(0,0) f(0 x,0)f(0,0) x fy(0,0) f(0,0 y) f(0,0) y lim 0.

4、 x 0 y 但从上节例5已经知道这函数在点(0,0)处不连续. 三、偏导数的几何意义 设曲面的方程为z f (x,y)，M(x, y。，f(x。，y。)是该曲面上一点，过点M。作平面 y y，截此曲面得一条曲线，其方程为 z f(x,y) y y0 则偏导数fx(x0,y0)表示上述曲线在点 M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率(图6-3-1).同 理，偏导数fy(x,y)就是曲面被平面x x所截得的曲线在点 M处的切线MT y对y轴 正向的斜率 四、偏导数的经济意义 设某产品的需求量 Q Q( p, y),其中p为该产品的价格，y为消费者收入 记需求量Q对于价格p、消费者收入y的偏改变量分

5、别为 pQ Q(p p, y) Q(p, y), 和yQ Q(p,y y) Q(p,y). 表示当价格为p、消费者收入为 pQ p y时，Q对于p的变化率称 Ep lim0 pQ/Q 卫 p 0 p/p p Q 为需求Q对价格p的偏弹性. 同理，表示Q对收入y由y变到yy的平均变化率.而 y yQ y 表示当价格p、消费者收入为y时,Q对于y的变化率称 Ey limQQ y 0 y/y Q _y y Q 为需求Q对收入y的偏弹性. 五、科布-道格拉斯生产函数 在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是 科布-道格拉斯生产函数 p(x,y) cxay1 a,c 0 且 0 a 1， 其中p是由x个人

6、力单位和y个资本单位生产处的产品数量(资本是机器、场地、 产工具和其它用品的成本)。偏导数 分别称为人力的边际生产力 六、高阶偏导数 和资本的边际生产力 设函数z f (x, y)在区域D内具有偏导数 fx(x,y), fy(x, y), xy 则称它们 则在D内fx(x, y)和fy(x, y)都是x、y的函数如果这两个函数的偏导数存在, 是函数z f (x, y)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数: z 2 z fxx(x, y), z 2 x x x y x 2z fxy(x,y), 2z 2 2fyy(x, y), y 其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数 类

7、似地，可以定义三阶、四阶、 以及n阶偏导数.我们把二阶及二阶以上的偏导数统 称为高阶偏导数. 定理1如果函数z 2 2 f (x, y)的两个二阶混合偏导数z及z在区域D内连续，则 y xx y 2 2 在该区域内有z - z y x x y 例题选讲 偏导数的定义及其计算法 例1 (E01)求z f (x, y) x2 3xy y2在点(1,2)处的偏导数 解 把y看作常数,对x求导得到 fx(x,y) 2x 3y, 把x看作常数，对y求导得到 fy(x,y) 3x 2y, 故所求偏导数 fx(1,2)2 1 3 28, fy(1,2) 3 1 2 27. 例2( E02)求z xy的偏导数

8、. 解 yxy 1, xy ln x. xy 例3求三元函数u sin(x y2ez)的偏导数. 解把y和x看作常数，对x求导得 U,2 z. cos(x y e ); 把x和z看作常数，对y求导得 U c ,2 z、 2ycos(x y e ); y 把x和y看作常数，对z求导得 ez cos(x y2 ez). : 2 2 2 例4 (E03)求r x y z的偏导数. 解 把y和z看作常数,对x求导得 rxx 匚一x2y2z2 7 利用函数关于自变量的对称性， 可得 ryrz yrz r 例5试证函数 f(x, y) xy /、 2, (x,y) x y 0,(x,y) (0,0)的偏导

9、数fx(0,0), fy(0,0)存在，但 (0,0) f (x, y)在(0,0)点不连续. 证fx(0,0)lim x 0 x,0) f(o,o) x fy(0,0)lim f(0,0 y) f(0,0) y 0y lim y 0 0 0 lim x 0 x 0. y 1, 即偏导数fx(O,O), fy(0,O)存在.但由上节的例 8知道，极限 . xy lim 22 x 0 x2y2 y 0 不存在,故f (x, y)在 (0,0)点不连续. 科布-道格拉斯生产函数 例6( E04)某体育用品公司的某种产品有下列的生产函数 0.40.6 p(x,y) 240 x y ， 其中p是由x个

10、人力单位和y个资本单位生产出的产品数量。 (1) 求由32个人力单位和1024个资本单位生产出的产品数量; (2) 求边际生产力； (3) 计算在x 32和y 1024时的边际生产力。 解 (1) p(32,1024) 240 0.4 32 0 6 1024 .61440 _P 240 0.4x 0.6 0.6 y 96 x 0.6 0.6 y , x (2) _p -0.40.4 0.40.4 240 0.6x y 144x y . 如何理解这些边际生产力？假设所花费的资本总数固定为1024，则如果人力的总数由 32改 变了一个单位，那么，产量将会改变768个单位。假设人力的总数固定为32，

11、则如果花费 的资本总数由1024改变一个单位，那么，产量将会改变36个单位。 高阶偏导数 例 7 (E05) 设z 4x3 22 3x y 3xy x y,求 2 2 223 z zzzz 2 j ,2 ,3 x y x x y yx 解 z 12x2 6xy 3y2 1, x z 3x2 6xy 1; y 2 - 2 z z 2 24 x 6y,- 2 6x, x y 2 2 z 6x 6y,- z 6x 6y. x y y x (3) 上 1(32,1024) x 丄 1(32,1024) y 0.60.6 96 321024768, 0 40 4 144 32 .1024 .36. ea

12、x cosby,求二阶偏导数. aeax cosby,丄beax sinby; y 2 2 axu2 ax a e cosby, 2 b e cosby; y (E06) abeaxsin by, ln(x 2u y x abeax sin by. xln(x y)的二阶偏导数. y) x y x (x y)2 x 2y (x y)2, 2z x y2 (x y)2, 2z 1 xy x y x y (x 2 2 y) (x y) 2z (x y) x y y x (x y)2 (x y)2 . 例10验证函数 u(x, y) Inx2y2 满足方程 2 2 u 2 y 0. 厂 J 2 2

13、1 .“ 2 2 . In y 2 ln(x y ), u x u y 2 2 , 2 , x x y y x y 2 u (x2 y2) x 2x 2 y 2 x 2 “ 2 : 2、2 z 2 2、2 x (x y ) (x y ) 2 u (x2 y2) y 2y 2 x 2 y 2 “ 2 2、2 z 2 2、2 y (x y ) (x y ) 2 2 2 2 2 2 u u y x x y 2 x 2 y (x2 2X2 y ) (x2 2X2 y ) 0. u 2 x 1 例11证明函数u满足拉普拉斯方程 r 22 uu 2 xy 0, 其中r农y2z2. x2 1 r 丄 x x

14、 2 2 r 3， r x r r 1 3x r 1 3x2 4 3 5 r r x r r 由函数关于自变量的对称性，得 2u 1 3z2 2 3 5 z r r 2 2 u 1 3y y2r3 r5 2u2u 2u 2 2 2、 33( x y z ) x2 y2 z2 3 -3 r 3r2 0. 例12设 f(x, y) 2 x xy x 0, 2 y 2 1 y 解因 fx(0,0)lim x 0 f(x,0) x (x,y) 0,0 (x, y) 0,0 0 lim 0 ,试求 fxy 0,0 及 fxy 0,0 - f(0,0) 0. x 0 x 当y 0时, fx(Qy) lim f(x，y) f(0，y) x 0 lim x 0 y(x2 V y2) y, 所以fxy (0,0)limlim 山 1, y 0yy 0 y 同理有 fy(0,0) lim 口卫0, y 0 y 当 x 0 时，fy(X,0) lim y 0 f(x, y) f(x,0) y