人教A版数学必修四第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一导学案

1、 .1.4.2.正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标 .1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数 yasin( x )及 yacos( x )的周期.3.掌握函数 ysin x，ycos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一.函数的周期性思考 1.如果函数 f(x)满足 f(x3)f(x)，那么 3 是 f(x)的周期吗？答案.不一定.必须满足当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x3)f(x)，才可以说 3 是f(x)的周期.思考 2.所有的函数都具有周期性吗？答案.不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考 3.周期函数都有最小正周

2、期吗？答案.周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数 f(x)c(c 为常数，xr)，所有非零实数 t 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.梳理.函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(xt)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 t 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.知识点二.正弦函数、余弦函数的周期性思考 1.证明函数 ysin x 和 ycos x 都是周期函数.答案.sin(x2

3、)sin x，cos(x2 )cos x，ysin x 和 ycos x 都是周期函数，且 2 就是它们的一个周期.思考 2.证明函数 f(x)asin( x )(或 f(x)acos( x )(a 0)是周期函数.答案.由诱导公式一知，对任意 xr，都有 asin( x )2 asin( x )， 2 所以 asin x sin( )，ax 2 即 f x f x ( )，2所以 f(x)asin( x )( 0)是周期函数， 就是它的一个周期.同理，函数 f(x)acos( x )( 0)也是周期函数. .梳理.由 sin(x2k )sin x，cos(x2k )cos x(kz)知，ys

4、in x 与 ycos x 都是周期函数，2k (kz且 k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2 .知识点三.正弦函数、余弦函数的奇偶性思考.对于 xr，sin(x)sin x，cos(x)cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案. 奇偶性.梳理.(1)对于 ysinx，xr恒有 sin(x)sinx，所以正弦函数 ysinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于 ycos x，xr恒有 cos(x)cos x，所以余弦函数 ycos x是偶函数，余弦曲线关于 y轴对称.类型一.三角函数的周期性例 1.求下列函数的最小正周期.(1)ysin(2x )(xr)；3(2

5、)y|sin x|(xr).3解.(1)方法一.令 z2x ，因为 xr，所以 zr.函数 f(x)sin z的最小正周期是 2 ，即变量 z只要且至少要增加到 z2 ，函数 f(x)sin z(zr)的值才能重复取得.33而z2 2x 2 2(x ) ，所以自变量x只要且至少要增加到x ，函数值 x才能重复取得，所以函数 f(x)sin 2 ( r)的最小正周期是 . x3 22方法二.f(x)sin 2 的最小正周期为 . x3(2)因为 y|sin x|sin x(2k x2k )，(kz).sin x(2k 0，1sin x0，(2)由得1sin x0，xr)2的周期t .2.判断函数

6、的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为 的是(.)2xa.ysinb.ysin 2x2x4c.ycos答案.dd.ycos(4x)2|4| 2解析.t . 52.函数f(x)sin 的最小正周期为 ，其中 0，则 等于(.) x6a.5 b.10 c.15 d.20答案.b3.已知ar，函数f(x)sin x|a|(xr)为奇函数，则a等于(.)a.0 b.1 c.1 d.1答案.a. .解析.因为 f(x)为奇函数，所以 f(x

7、)sin(x)|a|f(x)sin x|a|，所以|a|0，从而 a0，故选 a.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是(.)a.ycos|2x|b.y|sin x|3ysin 2x 2xc.22答案.d解析.ycos|2x|是偶函数，y|sin x|是偶函数，ysin 2 cos 2 是偶函数， xxy23x2 sin 2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期 t .cos2k k5.函数 ycos ( 0)的最小正周期不大于 2，则正整数 的最小值应是(.) xk34a.10 b.11 c.12 d.13答案.d2解析.t 2，即 k4 ，k4正整数 k的最小值是 13.|sin

8、x|(1sin x)6.函数 y的奇偶性为(.)1sin xa.奇函数b.既是奇函数也是偶函数c.偶函数d.非奇非偶函数答案.d解析.由题意知，当 1sin x0，即 sin x1 时，|sin x|(1sin x)y|sin x|，1sin x2所以函数的定义域为x|x2k ，kz，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.2 157.函数 f(x)3sin( x)是(.)32. .a.周期为 3 的偶函数c.周期为 3 的奇函数b.周期为 2 的偶函数4d.周期为 的偶函数3答案.a二、填空题48.若 0 ，g(x)sin(2x )是偶函数，则 的值为.2答案.44解析.要使 g(x)sin(2x )为偶函数，42则需 k ，kz， k ，kz.4240 0， 0)在闭区间0，1上至少出现 50个最小值，求 的最小值.2解.函数 yasin x的最小正周