平面向量知识点归纳

1、平面向量一.向量有关概念：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量与数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0,注意零向量的方向就是任意的；uuruuu3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量就是）;|AB|a的相反向量就是一a。如r r r r下列命题：（i）若a b，则a b。两个向量相等的充要条件就是它们的起点相同uuu uuiruuu uuirrAB DC，则ABCD就是平行四边形。若ABCD就是平行四边形，则AB DC。（5）若a r r r

2、r r r（6）若 a/b,b/c,则 a/c。其中正确的就是 （答 ：（4）（5）二.向量的表示方法：1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起点在前，终点在后；2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a, b ,c等；4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量5. 平行向量（也叫共线向量）:方向相同或相反的非零向量 量平行。提醒： 相等向量一定就是共线向量，但共线向量不一定相等 两个向量平行与与两条直线平行就是不同的两个概念 包含两条直线重合；r 平行向量无传递性！（因为有0）； uuu umr 三点A、B、C共线 AB AC共线；6. 相反向量：长度相

3、等方向相反的向量叫做相反向量。，相等向量有传递性；F-F-*Fa、b叫做平行向量，记作:a / b，规定零向量与任何向:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不，终点相同。（3）若 r r r r r b，b c，则 a c。3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i ,j为基底，则平面内的任一向r r r-量a可表示为a xi y j x, y，称 x,y为向量a的坐标,a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果 向 量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三. 平面向量的基本定理：如果e与e2就是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面

4、内的任一向量a,有且只有一对实数 1、2 ,使a= 1 e1 +2e2。女口rrrr1 r(1)若a(1,1),b(1, 1),c( 1,2)，则 c (答:一a -b)；2 2(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的就是iruriruuA、G(0,0), e2(1,2)B、e1(1,2)p(5,7)iruuituu13C、8(3,5),e2(6,10)D、$(2,3),e2(-,4)uult uuuuult已知AD, BE分别就是ABC的边BC, AC上的中线，且ADr uuua,BEr uurr （r答:B）；b，则bc可用向量a,b表示4r -b）； 3为（答2ra3（4）已知 A

5、BC中，点 D在BC边上，且 CD 2 DB ,CD r AB s AC ,则r s的值就是（答：0）四. 实数与向量的积：实数 与向量a的积就是一个向量，记作 a ,它的长度与方向规定如rr_下：1 a I a , 2当 o时， a的方向与a的方向相同，当 o时， a的方向与a的方向相反，当r r“=0时，a 0，注意：a工o。五. 平面向量的数量积：-uuu r uuu r1.两个向量的夹角：对于非零向量a ,b ,作 OA a,OB b , AOB* F-+ F-P- F-* 0称为向量a ,b的夹角，当 = 0时,a ,b同向，当=时,a ,b反向，当=时,a,b垂直。22.平面向量的

6、数量积：如果两个非零向量 积(或内积或点积),记作：a ? b，即a ? b =a,b,它们的夹角为，我们把数量|a|b|cosr ra b cos 。规定:零向量与任一向量的数量积就是叫做a与b的数量o,注意数量积就是一个实数，不再就是一个向量。如ri ri rr已知 a(1-),b(0,-),ca22r r r rr(2) 已知 a 2,b 5,ag)3,则 ar rr(3) 已知a, b就是两个非零向量，且ar ir r r r ukb,d a b,c与d的夹角为，则k等于4b等于一rr r r r rba b ,则a与 a b的夹角为(答:1);(答:“23);(答:30)3. b在a

7、上的投影为| b| cos，它就是一个实数，但不一定大于0。如12(答：)5已知|a| 3, | b | 5,且a b 12,则向量a在向量b上的投影为r4. a ? b的几何意义：数量积a ? b等于a的模|a |与b在a上的投影的积5.向量数量积的性质r :设两个非零向量a,b ,其夹角为 ，则:r rr2当a , b同向时，a ? b = a b，特别地，a2 a ;当a与b反向时，a ? b =- a b a?b 0;a b ；非零向量a, b夹角 的计算公式:cosa?b r r r r ab; |a?b|a|b|。(1)已知a ( ,2 ) ,b (3 ,2),如果a与b的夹角为锐

8、角，则 的取值范围就是4或 0且 -);33六.向量的运算：1.几何运算：向量加法：利用可利用“三角形法则”向量的减法：用 被减向量的终点。注意UUU(1)化简:AB“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量uuurrrr r:设AB a, BC b,那么向量AC叫做a与b的与，即 a b uuu r uuur rr“三角形法则”：设AB a, AC b,那么a:此处减向量与被减向量的起点相同。uuir UULTUUU UULTBC CD _; AB ADuuu r uuuuuu r uuur如uuirDC 一(2)若正方形ABCD的边长为UULT r uuur1, AB

9、 a, BCuuuABUULTAC，如此之外，向量加法还 uuu uuu uuur AB BC AC ;uuuCA，由减向量的终点指向ULLT (ABUUUCD)uuur r r,AC c ,则 | aUULT UULT(AC BD) UULTuuu r(答 : AD ; CB ; 0);(答： 2);2.坐标运算：设a (x1,y1),br r向量的加减法运算：a b(X, X2, y1 y2)。ULUU UUU (1)已知点 A(2,3), B(5,4) ,C(7,10)若 AP AB角平分线上UULTAC(R),则当时，点P在第一、三象限的uu(2)已知作用在点 A(1,1)的三个力F1

10、就是UU(3,4), F2(2,1(答：-);2 urrituruiruu5),F3(3,1),则合力FF1F2F3的终点坐标(答:(9,1)X1,y1uuu若 A(为，yj, B(X2, y2)则 AB 终点坐标减去起点坐标。如实数与向量的积：ax2 x1, y2 y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的uur i uuu uur设 A(2,3), B( 1,5),且 AC 丄 AB, AD 3uuu3AB，则C、D的坐标分别就是 平面向量数量积X1X2y2。如已知向量 a = (sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c = (- 1,0),若 x= 一，求向量

11、a、C 的夹角;rr r3向量的模:|a| x2y2, a |a |2 x2y2。如r ruu r已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60,那么|a 3b | =(答：JT3);下列命题中：a(bc)(b c)(ab)c ;(a b)2 | a |2r r 2 c；a2|a| r b r 干; (a a| b | b |2;若b)22 2 r a b ;(ab)20,则a 0或b 0;若ar2 r r2a2a b b。其中正确的就是c b,则两点间的距离:若 A x1,y1 , B X2,y2,则|AB| X2%2 2y y1。七.向量的运算律：r r rrrr rr r r1.交换律:a b

12、 ba,aa ,a?b b?a;r r rr r r r r rr r rrrr r rr2.结合律：a b ca b c, a b ca b c ,a?ba?b a? brrrr rrr rrrr r r r3.分配律：aa a, a ba b, ab?ca?c b?c。如) 提醒：(1)向量运算与实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b?c) (a?b)c,为什么？r rrr rr 2 r r 2八.向量平行(共线)的充要条件：a/bab(ab)2(| a |b|) x y2y1x2= o。如(1)若向量 a (x,1),b(4, x)，当(2) 已知 a (1,1)b(4, x), u auuruuuuur(3) 设 PA (k,12), PB (4,5), PCrrr r九.向量垂直的充要条件：aba bx =时a与b共线且方向相同(答 ：2);r 7 rr r r2b,v 2a b，且 u/v,则 x=(答：4);(10,k)则 k=时,a,b,c 共线(答:-2 或