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文档简介

1、纵向数据,張文超 2014年6月,目 录,1、什么是纵向数据? 2、介绍这类数据的分析方法,什么是纵向数据?,纵向数据是指一个被试群体在一个或多个变量上,多个时间点的测量结果。例如,一组纵向数据中有N个个体,所关心的变量有M个,测量时间点为T个。与横向数据相比,纵向数据有多个时间点,即T1。而横断数据T=1。纵向数据的第i个个体在第j个变量上的第t次测量结果可以表示Yijt,其(i=1,2,,N;j=1,2,M;t=1,2,T),纵向数据比横断数据多了一个时间维度。,多层(多水平)分析模型,来源:复杂数据统计方法,纵向数据分析方法,(1)方差分析 (2)多层线性统计分析模型 input x1

2、x2 x3 x4; cards; 10.1 9.9 10.2 10.3 7.0 7.1 7.3 7.0 8.1 7.9 8.1 8.1 6.5 6.8 6.9 7.0 10.4 10.9 11.1 10.5 7.4 7.4 7.3 7.2 9.4 9.3 9.6 9.5 16.4 17.1 17.6 17.6 5.5 5.4 5.3 5.3 8.1 8.2 8.1 8.3 6.5 6.6 6.8 6.9 9.7 9.9 9.8 9.9 proc glm data = aaa; model x1 x2 x3 x4 = /nouni; repeated time 4 /printe; run;,n

3、ouni表示不对x1 x4 作单变量方差分析; Repeated语句指示重复测量因素为time变量,共4个水平,各水平值分别为14。Printe 输出球对称性检验结果(即协方差阵的Mauchly检验结果)。,当不满足球形性时,一种是调整F,另一种是进行多元方差分析。,SAS 实现 -两因素重复测量方差分析,data A; input type$ subject time1 time2 time3 time4; cards; 1 1 1.431 1.519 1.477 1.364 1 2 1.385 1.562 1.459 1.372 1 3 1.473 1.487 1.612 1.414 1

4、4 1.452 1.535 1.537 1.403 1 5 1.371 1.469 1.268 1.296 2 6 1.257 0.976 0.725 0.578 2 7 1.232 0.934 0.828 0.609 2 8 1.298 1.036 0.813 0.512 2 9 1.216 1.247 0.694 0.579 2 10 1.275 0.942 0.675 0.621 ; proc glm; class type; model time1 time2 time3 time4 = type /nouni; repeated time 4 / printe; means type

5、; run;,SAS 实现 -多因素重复测量方差分析,用SAS软件实现多因素重复测量设计定量资料的统计分析 胡良平;郭辰仪,Data A3; Input group bdb1-bdb5 nxm1-nxm5 alt1-alt5 ast1-ast5; Cards; 1 2 2 2 3 3 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 1.1 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.3 2.2 2.4 2.5 1 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2.2 1.1 3.3 4

6、.4 5.5 1.1 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.3 2.2 2.4 2.5 2 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 4.2 1.1 2.3 4.4 1.5 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 2 2 2 3 3 1 2 2 2 3 3 2.2 1.1 3.3 4.4 5.5 1.1 1.3 1.4 1.5 1.6 2.1 2.3 2.2 2.4 2.5 ; Run; Proc glm data=A3; Class group; Model bdb1-bdb5 nxm1-nxm5 alt1-alt5 ast1-ast5= group/nouni; Repeated re

7、ponse 4 identity, time 5(0 1 2 3 4); Lsmeans group/cl; Run;,共4个因变量,重复测量了5次,结果:,趋势性分析 推荐:重复测量资料分析方法与SAS程序余松林 利用正交多项式系数表配合正交多项式模型,方差分析的局限性,多水平统计模型简介,多层统计模型的出现,目前,大家基本上接受两组人分别独立开发出同一模型的结果。双方研究成果的发布时间基本相同(上世纪80年代末90年代初)。,S. Raudenbush与A. Bryk H. Goldstein,模型称为:hierarchical linear model; 软件为:HLM,模型称为:mul

8、tilevel models; 软件为:MLwiN(早期版本称ML3,MLn),横截面数据,层次结构数据,临床试验和动物实验的重复测量 多中心临床试验研究 纵向观测如儿童生长发育研究 流行病学现场调查如整群抽样调查 遗传学家系调查资料 meta 分析资料,多水平主成分分析 多水平因子分析 多水平判别分析 多水平logistic回归 多水平Cox模型 多水平Poisson回归 多水平时间序列分析 多元多水平模型 多水平结构方程模型 多水平主成分分析 多水平一般线性模型!(多层线性模型),multilevel models hierarchical linear model random-effe

9、ct model random coefficient model various component model mixed-effect model empirical Bayes model,两水平层次结构数据,水平2,水平1,层次结构数据的普遍性,“水平” (level) :指数据层次结构中的某一层次。例如,子女为低水平即水平1 ,家庭为高水平即水平2。 “单位” (unit) :指数据层次结构中某水平上的一个实体。例如,每个子女是一个水平1单位,每个家庭是一个水平2单位。 对于纵向数据,个体内不同测量时间是水平1,个体间不同个体是水平2。,层次结构数据为一种非独立数据。? 非独立数据

10、不满足经典方法的独立性条件,采用经典方法OLS可能失去参数估计的有效性并导致不合理的推断结论,非独立数据的组内相关结构各异,理论上,不同的结构应采用相应的统计方法。 多水平分析的概念为人们提供了这样一个框架,即可将个体的结局联系到个体特征以及个体所在环境或背景特征进行分析,从而实现研究的事物与其所在背景的统一。,层次结构数据的特殊性,经典模型的基本假定是单一水平和单一的随机误差项,并假定随机误差项独立、服从方差为常量的正态分布,代表不能用模型解释的残留的随机成份。 当数据存在层次结构时,随机误差项则不满足独立常方差的假定。模型的误差项不仅包含了模型不能解释的应变量的残差成份,也包含了高水平单位

11、自身对应变量的效应成份。 构建与数据层次结构相适应的复杂误差结构,这是多水平模型区别于经典模型的根本特征。,基本的多水平模型,随机结局?随机斜率?加入水平1解释变量?水平2解释变量?,固定效应:某研究中有多个不同的处理因素,若研究者感兴趣的各种处理因素都设计在研究当中,则认为这一因素具有固定效应。 Y0=b0+x y1=b1+x 随机效应:若处理包含的各个组别是从更大的总体中得到的随机样本,则认为该处理因素具有随机效应。 Y0=bj+x bj=b0+uj,多层统计分析模型目录:,1.方差成分模型 2.随机系数模型 3.模型参数估计方法 4.反应变量向量的协方差结构(了解) 5.假设检验 6.在

12、多层模型中其他注意事项,方差成分模型,1.1 固定效应模型,1.2 不含协变量的随机效应方差成分模型(空模型),1.3 含协变量的随机效应方差成分模型,1. 方差成份模型(多水平模型中最简单的) (Variance Component Model),1.1 固定效应模型,某研究中有多个不同处理因素,若研究者感兴趣的各种处理都设计在研究当中,则认为这一因素具有固定效应,如以下例2. 1 中对小白鼠给予三种不同的营养素。,若处理包含的各个组别是从更大的总体中得到的随机样本,则认为该处理因素具有随机效应,如以下例2. 2 中病人对社区医生服务的满意度研究。,1.2 随机效应方差成分模型(不含协变量)

13、,假定一个两水平的层次结构数据,医院为水平 2 单位,患者为水平 1 单位,医院为相应总体的随机样本,模型中仅有一个解释变量 X。,1.3含协变量的随机效应方差成分模型,和 分别为第 j 个医院中第 i 个患者应变量观测值和解释变量观测值, 和 为参数估计, 为通常的随机误差项。,示水平 2 单位,示水平 1 单位,以医院和患者为例:,在方差成份模型中 表示 j 个截距值,即当 x 取 0 时,第 j 个医院在基线水平时 y 的平均估计值。,为平均截距,反映 与 的平均关系,即当 x 取 0 时,所有 y 的总平均估计值。 为随机变量,表示第 j 个医院 y 之平均估计值与总均数的离差值,反映

14、了第 j 个医院对 y 的随机效应。,方差成份模型拟合 j 条平行的回归线,截距不同( ),斜率相同( )。,解释变量x,yij,通过图形展示模型,对水平2(医院水平)残差的假定,对水平1(患者水平)残差的假定与传统模型一致,水平 1 上的残差与水平 2 上的残差相互独立,,,,,了解模型假定,此模型需估计4个参数,除两个固定系数 和 ,还需估计两个随机参数 和 。 其中 即为医院水平的方差成份, 为患者水平的方差成份。,这四个参数是我们运行SAS程序,重点关注的!确定了这四个参数这个模型也就知道了。,模型的参数估计,组内相关的度量,方差成份模型中,应变量方差为,总方差,应变量方差,即水平 2

15、 和水平 1 方差之和。 同一医院中两个患者(用i1,i2 表示)间的协方差为:,假定同一医院的随机残差是相互独立的。,组内相关的度量,建立多层模型的第一步,就是检验其是否为0.,组内相关(intra-class correlation, ICC),ICC测量了医院间方差占总方差的比例,实际上它反映了医院内个体间相关,即水平 1 单位(患者)在水平 2 单位(医院)中的聚集性或相似性。 当组内各个体间趋于相互独立时,ICC 趋于0,表示没有群组效应,此时多层模型可简化为固定效应模型。 ICC的显著性检验相当于组间方差为“零”的假设检验。,方差成分模型 SAS程序( proc mixed),*

16、empty model; proc mixed covtest method=ML;/*默认估计方法为REML;covtest选项要求打印出随机效应方差/协方差参数估计值的标准误和Z检验结果*/ class site; Model inject=/solution; Random int / subject=site type=un; Run;,*拟合含年龄协变量的模型; proc mixed covtest method=ML; class site; Model inject=age/solution; Random int /subject=site type=un; Run;,2.随机

17、系数模型(Random Coefficient Model),仍以医院和患者为例,水平1模型。,随机斜率,表明协变量 对反应变量的效应在各个医院间是不同的。,表示第 j 个医院的 y 随 x 变化的斜率; 表示全部医院的 y 随 x 变化的斜率的平均值(平均斜率)。 是指各医院的 y 随 x 变化的斜率的方差。,水平2模型,模型,假定,截距离差和斜率离差值的协方差,反应它们之间的相关关系,随机系数模型拟合 j 条不平行平行的回归线,截距不同,斜率不同,解释变量x,yij,即表达为固定部分与随机部分之和。其中,固定效应用均数描述,它决定了全部医院的平均回归线,这条直线的截距即平均截距 ,直线的斜

18、率即平均斜率 。 为随机系数。,将模型改记为:,随机效应用方差描述,它反映了各医院之间 y 的变异与协变量 x 的关系。模型随机部分具多个残差项,需估计4个随机参数,即方差 、 和 以及协方差 。,模型的反应变量方差为:,表明各医院间 y 的变异与协变量 x 有关,即每条回归线不仅截距不同,且斜率也不同。当 x 取 0 时每个医院 y 的平均估计值 不同,且每个医院 y 随 x 变化的斜率 不同。,组内相关与解释变量有关,值得指出,模型随机部分的解释变量常为其固定部分的一个子集,但亦可以不是。换言之,可以在模型的固定部分或随机部分纳入任何水平上测量的解释变量。,3、模型参数估计方法,3.1最大

19、似然法(ML),包括普通最大似然法(ML)和限制性最大似然法(REML);限制性最大似然法又称作残差最大似然法(residual ML)。 两者用于估计的残差基础不同,后者的残差包括所有的随机变异;,推荐(我没找到):Littell 等(1996,SAS system for mixed model )如何用ML和限制性ML估计矩阵G和R。,最小二乘法(LS),包括迭代广义最小二乘法(IGLS)和限制性迭代广义最小二乘法(RIGLS) 都以普通最小二乘估计(OLS)为初始值进行迭代; 地位及相对关系大致等同于ML和REML; 是MLwiN使用的算法。,经验Bayes方法(EB),“收缩估计(s

20、hrinkage estimator)” 以可靠性权重确定最后的估计值; 对于某些样本量很小的组,则更多的使用总样本的信息,进行“借力(borrow strength)”,经验Bayes方法,空模型的 可靠性权重,对模型拟合的评价,SAS给出:-2LL(-2倍的log likelihood),AIC,AICC,BIC等统计量,其值越小越好;只在比较模型时有用; 对于嵌套模型,使用LR检验(似然比检验); 对于非嵌套模型,LR检验便不再适用,使用AIC,AICC和BIC检验;,4、反应变量向量的协方差结构(了解),从最基本的两水平数据结构来考察反应变量向量的协方差结构,即只包括随机参数 和 。对

21、应于方差成份模型,反应变量方差为水平 1 和水平 2 方差之和:,4.1 方差成分模型的协方差结构,同一个医院所诊疗的两个患者(用 , 表示)间的协方差为:,因此,同一医院所诊疗的三名患者的协差阵为,对两个医院而言,若一个医院诊疗了三名患者,另一个医院诊疗了两个患者,则具有 2 个水平 2 单位的反应变量向量 Y 总的协差阵可表达为:,矩阵的这种分块对角结构表达了不同医院所诊疗的患者间的协方差为 0 ,它可进一步扩展到任意多的医院数。将上述矩阵表达为另一种更简略的形式:,为 维的 1 矩阵, 为 维的单位阵, 的下标 2 表明为两水平模型, 的维数即水平2单位数,主对角线块的维数即水平1单位数

22、,它们均为方阵。在传统 OLS 估计中, 为 0 ,则该协差阵退化为标准形式的 , 即残差方差。,考察包括随机系数的一般形式的两水平模型,或简记为,4.2 随机系数模型的协方差结构,对于具有随机截距与斜率的两水平模型,其反应变量协差阵具有以下典型的分块结构:,矩阵 为水平 2 的随机截距与斜率的协差阵,即随机系数协差阵,矩阵 为水平 1 的随机系数协差阵。 这里,水平 1 只有一个单一的方差项,可进一步采用 表示这些协差阵集。 将上述矩阵展开得到:,这是具有分块结构的一个具有 2 个水平 1 单位的水平 2 单位的反应变量协差阵。此即构造反应变量协差阵的一般模式,它同时也概括了拟合水平 1 复

23、杂变异的可能性。,5.假设检验,全局检验:F检验; 局部检验: 随机效应假设检验: 固定效应假设检验:,在残差方差/协方差的显著检验中,需注意的问题:,6.在多层模型中其他注意事项 6.1 跨层交互作用 6.2 测量中心化 6.3 建模的一般步骤,6.1 跨层交互作用评估,* SAS program3.6.1; Proc mixed method=REML contest IC; Class site; Model inject =HIV_Region|ethnic gender gdmc_age highsch / SOLUTION DDFM=BW notest; Random int et

24、hnic /subject=site G type=UN; Run;,6.2测量中心化,一个连续变量,无论是水平1还是水平2连续变量,如果没有一个有意义的零值,则需要进行中心化,又称定位(Scaling)。 例如:在一个带有成人年龄观察值的回归模型中,与0岁相对应的因变量值就没有意义。必须通过中心化重新定义或转化年龄的测量值,如将样本中的每个年龄测量值减去样本平均年龄。这样,回归截距就代表样本中具有平均年龄者的结局测量相应的期望值。,尤其是模型中存在跨层交互作用时,注意测量中心化,解释回归截距,有助于解释交互作用中变量的主效应,中心化作用,6.3 多层模型建立的一般步骤:,运行空模型以获得IC

25、C,判断是否进行多层模型拟合; 加入水平2解释变量; 加入水平1解释变量; 检验水平1随机斜率; 检验跨水平交互作用(全模型)。SAS 实现程序 模型比较:对于非嵌套模型,LR检验便不再适用。在这种情况下,可以用信息标准测量如AIC、AICC和BIC等进行模型比较。,建模一般步骤,1)运行空模型,以获得ICC,判断是否进行多层模型拟合; 2)加入水平2解释变量,即在空模型中加入组水平变量来解释这种变异。(注:所考虑的组水平变量数不能多于组群数;)。,区分水平2解释变量和 水平1解释变量?,3)将水平1 解释变量纳入截距模型。并将所有的水平1斜率看作是固定斜率。 当用LR检验比较具有相同随机效应

26、,而不同固定效应的模型时,模型估计需用ML法,而不用REML。,4)检验水平1随机斜率;,5)检验跨水平交互作用,发 展 模 型,-针对纵向数据的多水平模型,发展模型建模的顺序,1) 水平1加入时间因素的随机截距模型 2) 随机截距斜率模型 3) 治疗效应的评估(加入一个水平2解释变量,影响随机结局和随机斜率)(与时间可能有交互作用的协变量) 4)在模型中控制个体背景协变量(加入多个水平2解释变量,只影响随机截距,如基线年龄、性别等,不会与时间发生交互作用,因为个体背景不会随时间变化) 5)加入时间变化协变量水平(水平1解释变量) 与多层线性模型,步骤基本相同。,4.6 线性发展模型,4.6.

27、1结局测量随时间变化的形式 4.6.2随机截距发展模型 4.6.3随机截距-斜率发展模型 4.6.4治疗效应的评估 4.6.5在模型中控制个体背景协变量 4.6.6时间尺度编码 4.6.7设定残差方差/协方差结构 4.6.8在模型中纳入时间变化协变量,4.7 曲线发展模型,来源:多层统计分析模型-方法与应用,发展模型(示例),数据需整理成这样的形式:,4.6.1结局测量随时间变化的形式,如果含有随机截距或斜率,说明了初始水平或变化率,会因j/水平2/不同个体不同而变化。随机结局发展模型的个体发展趋势线与模型估计的总体发展趋势线平行。,*SAS Program 4.6.2-1; Options

28、nocenter Ps=500 Ls=150; libname lib d:MLMdata; data data1; set lib.ML; proc mixed covtest noclprint; class id ; id id time qol;/*设定哪些变量被包含在新的SAS 输出数据中*/ /*这里变量ID,TIME和QOL,以及模型估计的结局预测值PRED同时被包括入在model 语句中的outp选项所定义的SAS输出数据集PQOL中。*/ model qol=time/s DDFM=KR outp=PQOL(keep=id time QOL PRED); Random Int

29、/subject=ID;/*要求SAS拟合随机截距模型*/ Run; Proc Gplot data=PQOL; Symbol1 v=none repeat=203 i=join color=cyan; Symbol2 v=none i=sm50s color=red w=4; Plot pred*time=id/haxis=0 to 6 nolegend; Plot2 PRED*Time; label Time=Month; title fitted individual and average lines for random intercept model; run; quit;,水平2

30、残差方差,水平1残差方差,显著,可以拟合多层模型,*SAS Program 4.6.3-1; proc mixed covtest noclprint; class id ; id id time qol;*设定哪些变量被包含在新输出数据中 model qol=time/s ddfm=kR outp=PQOL(keep=id time Qol Pred); random int time/subject=id G type=UN; run; proc gplot data=PQOL; symbol1 v=none repeat=203 i=join color=cyan; symbol2 v=

31、none i=sm50s color=red w=4; plot pred*time=id/haxis=0 to 6 nolegend; plot2 pred*time; lable time=month; title fitted individual and average lines for random intercept model; run; quit;,作图,与之前的随机截距发展模型的不同之处,加入水平2解释变量,*SAS Program 4.6.4-1; proc mixed Method=REML covtest noclprint; class id ; model qol

32、=trt|time/s ddfm=kR;/*同时设定了trt和time的主效应和交互效应*/ random int time/subject=id G type=UN; run;,*SAS Program 4.6.5-1; proc mixed covtest noclprint IC; class id ; id id time qol;*设定哪些变量被包含在新输出数据中 model qol=trt|time age gender edu diagnosis/s ddfm=kR notest; random int time/subject=id G type=UN; run;,需要注意的问

33、题,*SAS Program 4.6.6-1; time_end=time-6;*record time score; proc mixed covtest noclprint IC; class id ; id id time qol;*设定哪些变量被包含在新输出数据中 model qol=trt|time_end /s ddfm=kR notest; random int time_end/subject=id G type=UN; run;,4.6.7 设定残差/协方差结构 与传统的回归分析一样,目前在多层模型分析中,一般假设变量无测量误差。但新发展的多层结构方程模型(不讨论)可在分析多

34、层数据的同时,处理测量误差。,其实,这两类模型的差别不是很严格,随机系数发展模型也可视为一种特殊的协方差模型。 为了确定合适的剩余方差/协方差结构,一般说,应首先检查无特定结构或非结构性残差方差/协方差以及相关系数矩阵。,发展模型(示例),*SAS Program 4.6.7-1; timec=time; proc mixed covtest noclprint; class id timec; model qol=trt|time /s ddfm=kR; repeated timec/subject=id R Rcorr type=UN;/*将timec 处理为代表时间点的一组虚拟变量,以保

35、证在某些时间点有缺失观察值的情况下,SAS能够正确地按时间点排列数据。*/ run;,先前的随机系数发展模型中个,用random语句分析个体“间”变异,这里增加了repeated语句,用来分析个体“内”变异。Repeated语句中的R及Corr,分别要求打印出模型的残差方差/协方差矩阵和残差相关系数矩阵。,在SAS程序中,5种常见的残差方差/协方差结构来拟合模型: 非结构性残差方差/协方差结构(UN):其所有的残差/协方差参数具有不同的估计值。 复合对称残差方差/协方差结构(CS):假设所有的方差和协方差分别相等,仅需估计两个参数,共同方差和共同协方差; 一阶自回归残差方差/协方差结构(AR(

36、1):是时间序列数据中很常见的一种残差方差/协方差结构,它假设残差方差相等,以及时滞残差(time lag resiuals)间的相关系数随时间而呈指数衰减。 Toeplitz 残差方差/协方差结构(TOEP ):适用于共同方差、但任意时滞相关残差的时间序列结构。其不假设序列相关系数随时间而衰减,因此,比 AR(1)局限性小。 Huynh-Feldt 残差方差/协方差结构(HF): 选项设定异值复合对称残差方差/ 协方差结构,其假设残差方差不同,每个协方差由两个相关方差的均值减去一个常数参数取得。可以说AR(1)是TOEP结构的特殊形式;CS是HR结构的特殊形式。 随机系数模型是将方差分成两部

37、分:随机效应或个体间变异和残差方差或测量误差。随机系数模型通过将个体间随机变异纳入模型,但假设残差方差/协方差矩阵为单位矩阵,来分析结局总方差,事实上,随机截距模型与CS模型相同,而随机截距-斜率模型可被认为是CS模型的扩展。,.SAS Program 4.6.7-2 Timec=time; % macro Fit(cov); Ods exclude classlevels iterhistory; Proc Mixed covtest noclprint; Class id timec; Model QOL=Trt|time ddfm=KR; Repeated timec/subject=i

38、d R rcorr type =%fit(HF),4.7 曲线发展模型 4.7.1多项式曲线发展模型 “加入time2 ” 4.7.2高次方多项式发展模型中共线性问题的处理 4.7.3分段发展模型: 将曲线趋势分成数个直线段。,如果将时间分值减去其均值,或者说,将时间尺度的中心点定在观察期的终点,则time 和 time2之间的共线性问题便可完全去除。,发展模型的优点,可处理缺失和不完整数据; 可处理不等时距问题; 不要求对象内独立即其它的限制性假设; 可以容易的加入时间依赖自变量。,应该注意的问题,低水平预测变量的中心化 高水平样本容量 变量之间共线性问题(时间的中心化,不仅能使我们从不同的角度解释模型截距,而且避免了共线性问题。),SAS中固定效应分母自由度的不同方法,补充:,DDFW=Residual 该选项用残差项方差的自由度作为各个固定效应的分母自由度。她通常高估固定效应的理想自由度。 DDFW=Contain 该选项用包容法确定固定效应的分母自由度,要求是对称数据或平衡数据。在SAS现有版本的Proc mixed 程序中DDFM=contain 是默认选项(当使用random语句时)。包容法要求平衡数据,基本不适用与多层模型,所以需要设定DDFM=?来覆盖默认选项。 选项DDFM=BW: 当SAS PROC MIXED 程

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